波与光学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 4 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

弹簧与单摆

弹簧振子
T = 2π·√(m/k)
单摆
T = 2π·√(L/g)
角频率
ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度
vmax = A·ω, amax = A·ω²
能量
E = ½·k·A²

波、声与光学

波速
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
声级
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点声源
I = P/(4πr²)
驻波
弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
折射率
n = c/v, λ = λ0/n
斯涅尔定律
n1sin θ1 = n2sin θ2
临界角
sin θc = n2/n1
光纤
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
透镜与反射镜
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
双缝
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
光栅
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
单缝
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

  1. 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
  2. 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
  3. 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
  4. 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.弹簧与单摆中等
t (s)x (cm)1.4 s

一个连在 k = 350 N/m 弹簧上的 1.2 kg 物体被沿正方向拉开 12 cm，在 t = 0 时由静止释放。 求 t = 1.4 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 1.2 kgk = 350 N/mA = 12 cmt = 1.4 s
x = cm
2.弹簧与单摆困难
1.8 kgk = 470 N/mA = 5 cm

一个 1.8 kg 的物体连在 k = 470 N/m 的弹簧上，从平衡位置拉开 5 cm 后释放。 求它的最大速度 vmax。

m = 1.8 kgk = 470 N/mA = 5 cm
vmax = m/s
3.波、声与光学中等
Pβ = ?r = 10 m

一个小扬声器向各个方向均匀辐射 2 W 的声功率。求 10 m 处的声强级 β。

P = 2 Wr = 10 mI0 = 10⁻¹² W/m²
β = dB
4.波、声与光学困难
f1​ = 10 cmf2​ = 12 cm12 cm15 cm

两个薄透镜共轴，相距 15 cm：透镜 1 的 f₁ = 10 cm，透镜 2 的 f₂ = 12 cm。一个物体位于透镜 1 前 12 cm 处。求最终像从透镜 2 量起的位置 di2（透镜 2 之后为正，采用实像为正的规定）。

f1 = 10 cmf2 = 12 cms = 15 cmdo = 12 cm
di2 = cm

3溶液

1.弹簧与单摆

答案: x = 4.088 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(350/1.2) = 17.08 rad/s
ω·t = 17.08·1.4 = 23.91 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 12·cos(23.91) = 4.088 cm

答案

x = 4.088 cm
2.弹簧与单摆

答案: vmax = 0.8079 m/s

简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。

角频率

ω = √(470/1.8) = 16.16 rad/s

最大速度

vmax = A·ω = 0.05·16.16 = 0.8079 m/s

答案

vmax = 0.8079 m/s
3.波、声与光学

答案: β = 92.02 dB

波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。

声强

I = P/(4πr²) = 0.001592 W/m²

难度

β = 10·log₁₀(0.001592/10⁻¹²) = 92.02 dB

答案

β = 92.02 dB
4.波、声与光学

答案: di2 = 9.474 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。

透镜 1 的像

1/di1 = 1/10 − 1/12 → di1 = 60 cm

透镜 2 的物

do2 = 15 − 60 = −45 cm

最终的像

1/di2 = 1/12 − 1/(−45) → di2 = 9.474 cm

答案

di2 = 9.474 cm

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