波与光学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 4 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 310 N/m 弹簧上的 3.4 kg 物体在无摩擦表面上以 14 cm 的振幅振动。求它距平衡位置 13 cm 时的速度 v。

m = 3.4 kgk = 310 N/mA = 14 cmx = 13 cm

v = m/s

2.弹簧与单摆困难

一颗以 200 m/s 运动的 8 g 子弹击中并留在一个放在无摩擦表面上的 2.5 kg 木块中。木块连在一根 k = 800 N/m 的水平弹簧上。求由此产生的振动的振幅 A，以 cm 表示。

m = 8 gv = 200 m/sM = 2.5 kgk = 800 N/m

A = cm

3.波、声与光学中等

对于入射角大于 40° 的每一个角度，透明块内的光在与乙醇（n = 1.36）的界面上都发生全反射。求该透明块的折射率 n₁。

θ_c = 40°n₂ = 1.36

n₁ =

4.波、声与光学困难

一个每毫米 200 条刻线的光栅，在偏离直进方向 11.2° 处出现某条谱线的第 2 级极大。求该谱线的波长 λ。

N = 200 mm⁻¹θ₂ = 11.2°m = 2

λ = nm

3溶液

1.弹簧与单摆

答案: v = 0.4962 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(310/3.4) = 9.549 rad/s

x 处的速度

v = ω·√(A² − x²) = 9.549·√(0.14² − 0.13²) = 0.4962 m/s

答案

v = 0.4962 m/s

2.弹簧与单摆

答案: A = 3.572 cm

撞击后的速度

V = m·v/(m + M) = 0.008·200/2.508 = 0.638 m/s

角频率

ω = √(k/(m + M)) = √(800/2.508) = 17.86 rad/s

振幅

A = V/ω = 0.638/17.86 = 0.03572 m = 3.572 cm

答案

A = 3.572 cm

3.波、声与光学

答案: n₁ = 2.116

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

透明块的折射率

n₁ = n₂/sin θc = 1.36/0.6428 = 2.116

答案

n₁ = 2.116

4.波、声与光学

答案: λ = 485.6 nm

干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。

波长

λ = d·sin θ/m = 5 × 10⁻⁶·sin 11.2°/2 = 485.6 nm

答案

λ = 485.6 nm

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