弹簧与单摆
- 弹簧振子
- T = 2π·√(m/k)
- 单摆
- T = 2π·√(L/g)
- 角频率
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大速度和最大加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 能量
- E = ½·k·A²
波与光学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 4 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
波、声与光学
- 波速
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 声级
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点声源
- I = P/(4πr²)
- 驻波
- 弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
- 多普勒效应
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 折射率
- n = c/v, λ = λ0/n
- 斯涅尔定律
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 临界角
- sin θc = n2/n1
- 光纤
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- 透镜与反射镜
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 双缝
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 光栅
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 单缝
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
方法
- 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
- 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
- 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
- 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。
2练习题
1.弹簧与单摆中等
一个单摆的摆长为 2.1 m。取 g = 9.81 m/s²。求小角度摆动时的周期 T。
L = 2.1 mg = 9.81 m/s²
T = s
2.弹簧与单摆困难
一个连在 k = 380 N/m 弹簧上的物体在无摩擦表面上以 17 cm 的振幅振动。 求它距平衡位置 9 cm 时的动能 K。
k = 380 N/mA = 17 cmx = 9 cm
K = J
3.波、声与光学中等
光在甘油（n = 1.47）中向与乙醇（n = 1.36）的平面界面传播。求超过后会发生全反射的临界角 θc。
n1 = 1.47n2 = 1.36
θc = °
4.波、声与光学困难
一根光纤的纤芯 n₁ = 1.62，包层 n₂ = 1.54。求从空气射入光纤端面且仍能通过全反射被导引的光线与光纤轴所成的最大角 θa。
n1 = 1.62n2 = 1.54n0 = 1.00
θa = °
3溶液
1.弹簧与单摆
答案: T = 2.907 s
简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。
单摆周期
T = 2π·√(2.1/9.81) = 2.907 s
答案
T = 2.907 s
2.弹簧与单摆
答案: K = 3.952 J
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
总能量
E = ½·k·A² = ½·380·0.17² = 5.491 J
x 处的弹簧能量
U = ½·k·x² = ½·380·0.09² = 1.539 J
动能
K = 5.491 − 1.539 = 3.952 J
答案
K = 3.952 J
3.波、声与光学
答案: θc = 67.69 °
几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。
折射角为 90°
sin θc = n₂/n₁ = 1.36/1.47 = 0.9252
临界角
θc = arcsin(0.9252) = 67.69°
答案
θc = 67.69°
4.波、声与光学
答案: θa = 30.18 °
几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θc = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/do + 1/di，放大率为 m = −di/do。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 di > 0，虚像 di < 0，倒立的像 m < 0。
包层处的临界角
sin θc = 1.54/1.62 = 0.9506 → θc = 71.92°
数值孔径
NA = √(1.62² − 1.54²) = 0.5028
接收角
θa = arcsin(0.5028) = 30.18°
答案
θa = 30.18°
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