弹簧与单摆
- 弹簧振子
- T = 2π·√(m/k)
- 单摆
- T = 2π·√(L/g)
- 角频率
- ω = √(k/m) = 2π/T
- 最大速度和最大加速度
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- 能量
- E = ½·k·A²
波与光学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 4 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
波、声与光学
- 波速
- v = fλ, T = 1/f
- 弦
- v = √(T/μ), μ = m/L
- 声级
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- 点声源
- I = P/(4πr²)
- 驻波
- 弦或两端开口的管 fn = n·v/(2L); 闭管 fn = n·v/(4L)，n 为奇数
- 多普勒效应
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- 折射率
- n = c/v, λ = λ0/n
- 斯涅尔定律
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- 临界角
- sin θc = n2/n1
- 光纤
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- 透镜与反射镜
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- 双缝
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- 光栅
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- 单缝
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
方法
- 判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
- 先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
- 换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
- 检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。
2练习题
1.弹簧与单摆中等
要使单摆的周期为 1.9 s，摆长应为多少？取 g = 9.81 m/s²。求 L。
T = 1.9 sg = 9.81 m/s²
L = m
2.弹簧与单摆困难
一个物体做简谐振动，周期为 2.7 s，振幅为 19 cm。 它从最大位移 19 cm 处运动到位移 15.2 cm 处所需的最短时间 t 是多少？
T = 2.7 sA = 19 cmx = 15.2 cm
t = s
3.波、声与光学中等
一个小声源向各个方向均匀发声。距它 1 m 处的声级为 80 dB。忽略吸收和反射，求 3 m 处的声级 β2。
β1 = 80 dBr1 = 1 mr2 = 3 m
β2 = dB
4.波、声与光学困难
用单色光照射相距 0.4 mm 的两条缝。在 2 m 外的屏上，第 2 条亮条纹距中央条纹 6 mm。求波长 λ。
d = 0.4 mmL = 2 my2 = 6 mmm = 2
λ = nm
3溶液
1.弹簧与单摆
答案: L = 0.897 m
简谐运动：质量为 m 的物体连在劲度系数为 k 的弹簧上，振动的角频率为 ω = √(k/m)，周期为 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)。摆长为 L 的单摆周期为 T = 2π·√(L/g)。振幅为 A 时，最大速度为 A·ω，最大加速度为 A·ω²，能量为 ½·k·A²。
求摆长
L = g·(T/2π)² = 9.81·(1.9/2π)² = 0.897 m
答案
L = 0.897 m
2.弹簧与单摆
答案: t = 0.2765 s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
角频率
ω = 2π/T = 2π/2.7 = 2.327 rad/s
求解时间
0.8 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.8) = 0.6435 rad
t = 0.6435/2.327 = 0.2765 s
答案
t = 0.2765 s
3.波、声与光学
答案: β2 = 70.46 dB
波：周期波在一个周期内前进一个波长，所以 v = fλ，T = 1/f。在拉紧的弦上 v = √(T/μ)，其中 T 是张力，μ = m/L 是每米质量。声音在 20 °C 的空气中传播速度约为 343 m/s，光在真空中的速度为 c = 3.00 × 10⁸ m/s。响度用对数标度衡量：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB，I₀ = 10⁻¹² W/m²，所以强度增加到 10 倍，声级增加 10 dB。点声源把功率 P 分布在球面上：I = P/(4πr²)。
强度比
I₂/I₁ = (1/3)² = 0.1111
新的声级
β₂ = 80 + 10·log₁₀(0.1111) = 70.46 dB
答案
β2 = 70.46 dB
距离每加倍一次，声级降低约 6 dB。
4.波、声与光学
答案: λ = 600 nm
干涉与衍射：来自相距 d 的两条缝的光，到达屏上某点时光程差为 d·sin θ。在 d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …) 处出现亮条纹。对于距离 L ≫ d 的屏，第 m 级亮条纹位于 y = mλL/d，条纹间距为 Δy = λL/d。每毫米 N 条刻线的光栅有 d = 1/N，在 d·sin θ = mλ 处出现尖锐的极大值；由于 sin θ ≤ 1，最高级次是满足 m ≤ d/λ 的最大整数 m。宽度为 a 的单缝在 a·sin θ = mλ，m = ±1, ±2, … 处出现暗条纹。
波长
λ = y·d/(mL) = 0.006·0.0004/(2·2) = 6 × 10⁻⁷ m = 600 nm
答案
λ = 600 nm
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