波与光学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 4 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

弹簧与单摆

弹簧振子: T = 2π·√(m/k)
单摆: T = 2π·√(L/g)
角频率: ω = √(k/m) = 2π/T
最大速度和最大加速度: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
能量: E = ½·k·A²

波、声与光学

波速: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
声级: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点声源: I = P/(4πr²)
驻波: 弦或两端开口的管 f_n = n·v/(2L); 闭管 f_n = n·v/(4L)，n 为奇数
多普勒效应: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
折射率: n = c/v, λ = λ₀/n
斯涅尔定律: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
临界角: sin θ_c = n₂/n₁
光纤: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
透镜与反射镜: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
双缝: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
光栅: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
单缝: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

方法

判断题目类型：波速、声级、驻波、多普勒、折射、透镜或反射镜，还是干涉。
先写出关系式：v = fλ，β = 10·log(I/I₀)，fₙ = n·v/(2L) 或 n·v/(4L)，f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)，n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂，1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ，d·sin θ = mλ。
换算单位：nm、mm 和 cm 换成 m，并检查角度是否从法线量起。
检查符号和合理性：虚像的 dᵢ < 0，靠近的声源音调更高，闭管只有奇次谐波。

2练习题

1.弹簧与单摆中等

一个连在 k = 200 N/m 弹簧上的 3.2 kg 物体被沿正方向拉开 11 cm，在 t = 0 时由静止释放。求 t = 0.65 s 时它相对于平衡位置的位移 x（带符号）。

m = 3.2 kgk = 200 N/mA = 11 cmt = 0.65 s

x = cm

2.弹簧与单摆困难

一个物体做简谐振动，周期为 1 s，振幅为 17 cm。它从平衡位置运动到位移 15.3 cm 处所需的最短时间 t 是多少？

T = 1 sA = 17 cmx = 15.3 cm

t = s

3.波、声与光学中等

一个高 2 cm 的物体位于焦距为 8 cm 的薄会聚透镜前 10 cm 处。求像高 h_i（倒立的像为负）。

h_o = 2 cmd_o = 10 cmf = 8 cm

h_i = cm

4.波、声与光学困难

静止的泊车传感器向以 5 m/s 的速度远离的汽车发射 40 kHz 的超声波。求传感器接收到的回波频率 f″（声速为 343 m/s）。

f = 40 kHzu = 5 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.弹簧与单摆

答案: x = 4.549 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

角频率

ω = √(200/3.2) = 7.906 rad/s

ω·t = 7.906·0.65 = 5.139 rad

位移

x = A·cos(ω·t) = 11·cos(5.139) = 4.549 cm

答案

x = 4.549 cm

2.弹簧与单摆

答案: t = 0.1782 s

角频率

ω = 2π/T = 2π/1 = 6.283 rad/s

求解时间

0.9 = sin(ω·t) → ω·t = arcsin(0.9) = 1.12 rad

t = 1.12/6.283 = 0.1782 s

答案

t = 0.1782 s

3.波、声与光学

答案: h_i = −8 cm

几何光学：在界面处，n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（斯涅尔定律），角度从法线量起，n = c/v。进入传播较慢的介质时，光线向法线偏折。从光密介质 (n₁ > n₂) 射出时，超过临界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) 后，所有光都被反射：全反射。薄透镜和球面镜服从 1/f = 1/d_o + 1/d_i，放大率为 m = −d_i/d_o。符号规定：会聚透镜和凹面镜 f > 0 (f = R/2)，发散透镜和凸面镜 f < 0；实像 d_i > 0，虚像 d_i < 0，倒立的像 m < 0。

薄透镜方程

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/10

d_i = 40 cm

放大率与像高

m = −40/10 = −4

h_i = −4·2 = −8 cm

答案

h_i = −8 cm

4.波、声与光学

答案: f″ = 38851 Hz

驻波与多普勒效应：两端固定的弦或两端开口的管容纳整数个半波长：L = nλ/2，f_n = n·v/(2L)，n = 1, 2, 3, … 一端封闭的管在封闭端有波节，在开口端有波腹：L = nλ/4，且 n 只能取奇数，f_n = n·v/(4L)。当声源或观察者沿两者连线运动时，f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)：相向运动时取上面的符号。两个频率几乎相等的波以 |f₁ − f₂| 的频率产生拍。

汽车处的频率

f′ = 40000·(343 − 5)/343 = 39417 Hz

回波的频率

f″ = f′·343/(343 + 5) = 38851 Hz

答案

f″ = 38851 Hz

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