التفاضل والتكامل 1: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

النهايات

التعويض المباشر: جرّب x = a أولًا؛ 0/0 يعني أنه يجب التبسيط
حلّل واختصر: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
المرافق: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
النهايات عند اللانهاية: اقسم على أعلى قوة لـ x؛ الدرجات المتساوية تعطي نسبة المعاملات الرئيسية
نهاية خاصة: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
قاعدة لوبيتال: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

التحسين (القيم القصوى)

الطريقة: اكتب Q(x) بمتغيّر واحد، وحلّ Q′(x) = 0، وتحقّق من Q″ أو من نقاط الطرفين
القيمة العظمى: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
القيمة الصغرى: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
أسطوانة مغلقة: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
الربح: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

2مسائل تدريبية

1.النهاياتمتوسطة

أوجد النهاية L = lim_x→∞ (1 + 3/x)^x. أعطِ قيمة عشرية.

f(x) = (1 + 3/x)^xx → ∞

L =

2.النهاياتصعبة

أوجد النهاية L = lim_x→0 ln(1 + x)/sin(2x)، مع x بالراديان.

f(x) = ln(1 + x)/sin(2x)x → 0

L =

3.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = ln(x² + 5). أوجد f′(1).

f(x) = ln(x² + 5)x = 1

f′(1) =

4.المشتقاتصعبة

المماس لـ f(x) = x² + 2x + 5 عند x = 2 يقطع المحور y عند y = b. أوجد b.

f(x) = x² + 2x + 5x = 2

b =

5.التحسين (القيم القصوى)متوسطة

علبة أسطوانية مغلقة (لها غطاء وقاع) يجب أن تتّسع لـ 750 cm³. المعدن المستخدم يتناسب مع المساحة السطحية الكلية. أوجد نصف القطر r الذي يستهلك أقل كمية من المادة.

V = 750 cm³

r = cm

6.التحسين (القيم القصوى)صعبة

يبيع مسرح 400 تذكرة في كل عرض بسعر €10 للتذكرة. تُظهر دراسة السوق أن كل زيادة بمقدار €1 في سعر التذكرة تعني بيع 25 تذكرة أقل (وكل تخفيض بمقدار €1 يعني 25 تذكرة أكثر). أوجد سعر التذكرة p الذي يجعل الإيراد أكبر ما يمكن.

400 × €1025 / €1

p = €

7.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₀² 2x·(x² + 1)¹ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 2]

I =

8.التكاملاتصعبة

تُدوَّر المنطقة بين المستقيم y = 2x والقطع المكافئ y = x² حول المحور x. أوجد حجم الجسم V.

y = 2xy = x²

V =

3المحاليل

1.النهايات

الإجابة: L = 20,09

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

خذ اللوغاريتم

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 3/x)

احسب

ln(1 + u)/u → 1 عندما u → 0، لذا x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·3 = 3

أزل اللوغاريتم

L = e³ = 20,09

الإجابة

L = 20,09

2.النهايات

الإجابة: L = 0,5

قاعدة لوبيتال

L = lim_x→0 [1/(1 + x)]/[2·cos 2x]

عوّض x = 0

L = 1/2 = 0,5

الإجابة

L = 0,5

3.المشتقات

الإجابة: f′(1) = 0,3333

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدة السلسلة للوغاريتم

f′(x) = 2x/(x² + 5)

عوّض

f′(1) = 2/6 = 0,3333

الإجابة

f′(1) = 0,3333

4.المشتقات

الإجابة: b = 1

النقطة والميل

f(2) = 13

f′(x) = 2x + 2 → f′(2) = 6

المماس عند x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 13 − 6·2 = 1

الإجابة

b = 1

5.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: r = 4,924 cm

التحسين (القيم القصوى): اكتب الكمية المراد تحسينها كدالة في متغيّر واحد، مستخدمًا القيد لحذف المتغيّر الآخر. اجعل المشتقة صفرًا وحلّ. تحقّق من أن النقطة الحرجة قيمة عظمى أو صغرى (بالمشتقة الثانية أو بتغيّر إشارة المشتقة الأولى) وأنها تقع داخل المجال المسموح؛ فنقطة طرفية مثل ضلع طوله صفر ليست هي الإجابة.

المساحة كدالة في r

h = 750/(πr²)

A(r) = 2πr² + 1500/r

ساوِ المشتقة بالصفر

A″(r) = 4π + 3000/r³ > 0، لذا هذه قيمة صغرى.

4πr − 1500/r² = 0 → r = ∛(750/(2π)) = 4,924 cm

الارتفاع والمساحة

h = 750/(π·4,924²) = 2r = 9,847 cm

A = 2π·4,924² + 1500/4,924 = 457 cm²

الإجابة

r = 4,924 cm

أرخص علبة مغلقة ارتفاعها يساوي عرضها: h = 2r.

6.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: p = 13 €

الإيرادات كدالة في السعر

n(p) = 650 − 25p

R(p) = 650p − 25p²

ساوِ المشتقة بالصفر

R″(p) = −50 < 0، لذا هذه قيمة عظمى.

p = 650/50 = €13

أقصى إيراد

n = 650 − 25·13 = 325

R = 13·325 = €4225

الإجابة

p = €13

7.التكاملات

الإجابة: I = 12

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

التعويض

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u¹ du

كامل وعوّض الحدود

I = [u²/2]₁⁵ = (25 − 1)/2 = 12

الإجابة

I = 12

8.التكاملات

الإجابة: V = 13,4

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

نقاط التقاطع

2x = 1x² → x = 0, x = 2

طريقة الحلقات (الواشر)

V = π∫₀² ((2x)² − (1x²)²) dx

كامل

V = π(4·2³/3 − 1·2⁵/5) = π·4,267 = 13,4

الإجابة

V = 13,4

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1