التفاضل والتكامل 1: مسائل تدريبية وأسئلة امتحانات

المشتقات والتكاملات: قواعد الاشتقاق، وتطبيقات مثل المماسات والتحسين (القيم القصوى)، وأهم طرق التكامل.

تدرّب على هذا المقرّر مجانًاتدرّب على هذا المقرّرخُض امتحانًا تجريبيًا5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

حزمة المراجعة المكثفة (PDF)أوراق قوانين وخطوات الحل ومسائل تدريبية بحلولها الكاملة، جاهزة للطباعة.

مواضيع هذا المقرّر

  1. النهاياتالتعويض المباشر والتحليل إلى عوامل · النهايات عند اللانهاية · قاعدة لوبيتالحسابات
  2. المشتقاتقاعدة القوة · قاعدتا السلسلة والضرب · المماسات والقيم القصوىحسابات
  3. التحسين (القيم القصوى)أكبر مساحة أو حجم · أدنى تكلفة أو مادة · الربح والإيرادحسابات
  4. التكاملاتكثيرات الحدود · الدوال الأسية واللوغاريتمات والتعويض · المساحات بين المنحنياتحسابات

نصائح امتحان التفاضل والتكامل 1

  • اكتب قاعدة السلسلة كاملة: مشتقة الدالة الخارجية مضروبة في مشتقة الدالة الداخلية.
  • تحقّق من التكامل باشتقاق إجابتك.
  • في التكامل المحدّد، يغيّر التعويض حدود التكامل أيضًا.

أمثلة محلولة

النهاياتسهلة
xyx = 1

أوجد النهاية L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1).

f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1

المطلوب: L

أظهر التلميحات
  1. التعويض يعطي 0/0. حلّل البسط.
  2. xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
  3. x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

جرّب التعويض المباشر

البسط → 0 والمقام → 0، لذا الصيغة 0/0.

حلّل واختصر

(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1

عوّض

L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4

الإجابة

L = 4

هذه مشتقة xⁿ عند x = a: n·aⁿ⁻¹.

المشتقاتمتوسطة
xyx = 1

لتكن f(x) = x3·e−x. أوجد f′(1).

f(x) = x3·e−xx = 1

المطلوب: f′(1)

أظهر التلميحات
  1. قاعدة الضرب مع u = x3 و v = e−x.
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدة الضرب

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

عوّض

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

الإجابة

f′(1) = 0,7358

كيف يعمل التدريب

  • يمزج «تدرّب على هذا المقرّر» مسائل من كل مواضيعه، كما في امتحان حقيقي.
  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • الامتحانات التجريبية محدّدة بوقت ومن دون تلميحات، وتحصل في النهاية على درجتك ومراجعة كاملة.

آلات حاسبة لهذا المقرّر

حاسبة المشتقات مع الخطواتحاسبة التكامل (المحدد وغير المحدد)

مقرّرات ذات صلة

مسائل تدريب AP Calculusالرياضيات الهندسيةالمعادلات التفاضليةالرياضيات الهندسية 2التفاضل والتكامل 2مبادئ الإحصاءالإحصاء 2: الاستدلال الإحصائيالطرائق العددية
تدرّب على هذا المقرّر مجانًاتدرّب على هذا المقرّرخُض امتحانًا تجريبيًا5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.