التفاضل والتكامل 2: مسائل تدريبية وأسئلة امتحانات

مقرر التفاضل والتكامل الثاني: تقنيات التكامل، والمتتاليات والمتسلسلات مع اختبارات التقارب، ومتسلسلات القوى وكثيرات حدود تايلور، وحساب التفاضل والتكامل في عدة متغيرات بالمشتقات الجزئية والتدرجات والنقاط الحرجة والتكاملات الثنائية. بحسب المنهاج، يُدرَّس جزء من هذه المادة بوصفه التفاضل والتكامل 3.

تدرّب على هذا المقرّر مجانًاتدرّب على هذا المقرّرخُض امتحانًا تجريبيًا5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

حزمة المراجعة المكثفة (PDF)أوراق قوانين وخطوات الحل ومسائل تدريبية بحلولها الكاملة، جاهزة للطباعة.

مواضيع هذا المقرّر

  1. التكاملاتكثيرات الحدود · الدوال الأسية واللوغاريتمات والتعويض · المساحات بين المنحنياتحسابات
  2. المتتاليات والمتسلسلاتالمتسلسلات الحسابية والهندسية · التقارب ومتسلسلات القوى · كثيرات حدود تايلور وماكلورينحسابات
  3. التفاضل والتكامل لعدة متغيراتالمشتقات الجزئية والتكاملات الثنائية · التدرج والمستوى المماس وقاعدة السلسلة · النقاط الحرجة والتكاملات على المناطقحسابات
  4. المعادلات التفاضليةالنمو والاضمحلال الأسّي · قانون نيوتن للتبريد · الخطية من الرتبة الأولىحسابات

نصائح امتحان التفاضل والتكامل 2

  • قبل أي اختبار تقارب، تحقق من أن الحدود تؤول إلى 0؛ فإن لم تفعل فالمتسلسلة متباعدة.
  • اكتب كثيرة حدود تايلور مع المضروبات في موضعها قبل أن تعوّض عددًا.
  • في التكامل الثنائي ارسم المنطقة أولًا: يعطيك الرسم حدود التكامل الداخلي.

أمثلة محلولة

التكاملاتسهلة
xy3y = 0,5x

تُدوَّر المنطقة تحت y = 0,5x من x = 0 إلى x = 3 حول المحور x. أوجد حجم الجسم V (مخروط).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 3

المطلوب: V

أظهر التلميحات
  1. الشريحة عند x قرص نصف قطره y = 0,5x.
  2. V = π∫₀3 (0,5x)² dx.
  3. = π·0,25·x³/3.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

طريقة الأقراص

V = π∫₀3 0,25x² dx

كامل

V = π·0,25·3³/3 = 7,069

الإجابة

V = 7,069

تحقق: للمخروط الذي نصف قطره 1,5 وارتفاعه 3 الحجم (1/3)πr²h = 7,069.

المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة
kSn​12345678910S = ?

جد المجموع S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

المطلوب: S

أظهر التلميحات
  1. الكسور الجزئية: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. اكتب الحدود القليلة الأولى: يُختزل معظمها (مجموع متداخل telescoping).
  3. الباقي هو (12/3)·(1 + … + 1/3).
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

التقارب: إذا لم تؤول الحدود إلى 0 فالمتسلسلة متباعدة (اختبار الحد النوني). Σ1/kᵖ تتقارب فقط عندما p > 1، و Σrᵏ فقط عندما |r| < 1. قارن متسلسلة بإحداهما عندما تسلك حدودها سلوكهما لـ k كبيرة. اختبار النسبة: L = lim |ak+1/ak|؛ اختبار الجذر: L = lim |ak|1/k. L < 1 تتقارب، L > 1 تتباعد، L = 1 لا يحسم شيئًا. متسلسلة القوى Σck(x − x₀)ᵏ تتقارب لـ |x − x₀| < R مع R = lim |ck/ck+1|؛ والمتسلسلة المتناوبة التي تتناقص حدودها إلى 0 تتقارب.

الكسور الجزئية

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

إلغاء

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

الإجابة

S = 7,333

كيف يعمل التدريب

  • يمزج «تدرّب على هذا المقرّر» مسائل من كل مواضيعه، كما في امتحان حقيقي.
  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • الامتحانات التجريبية محدّدة بوقت ومن دون تلميحات، وتحصل في النهاية على درجتك ومراجعة كاملة.

آلات حاسبة لهذا المقرّر

حاسبة عمر النصف والاضمحلال الأسّيحاسبة التكامل (المحدد وغير المحدد)

مقرّرات ذات صلة

الرياضيات الهندسية 2مسائل تدريب AP Calculusالرياضيات الهندسيةالمعادلات التفاضليةالطرائق العدديةالتفاضل والتكامل 1مبادئ الإحصاءالإحصاء 2: الاستدلال الإحصائي
تدرّب على هذا المقرّر مجانًاتدرّب على هذا المقرّرخُض امتحانًا تجريبيًا5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.