المعادلات التفاضلية: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في المعادلات التفاضلية مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: النمو والاضمحلال الأسّي, قانون نيوتن للتبريد, الخطية من الرتبة الأولى.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
ty1

يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 4,8y′ + 4y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.

y″ + 4,8y′ + 4y = 0
المسألة التالية →
تدرّب على المعادلات التفاضلية مجانًاتدرّب على المعادلات التفاضلية الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةالنمو والاضمحلال الأسّي
  2. متوسطةقانون نيوتن للتبريد
  3. صعبةالخطية من الرتبة الأولى

الصيغ الأساسية

النمو/الاضمحلال الأسّي
dy/dt = ky → y = y0ekt
عمر النصف
k = ln 2 / t½
قانون نيوتن للتبريد
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
عامل التكامل
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
خزان الخلط
dm/dt = r·c − (r/V)·m

تعلّم المعادلات التفاضلية من البداية

قبل هذا: المشتقات, التكاملات

1ما هي المعادلة التفاضلية

المعادلة التفاضلية تربط كمية بمعدل تغيرها هي. إنها تصف كيف يتغير شيء، لا ما هو.

تنقسم البكتيريا، فالمستعمرة الأكبر تنمو أسرع. ومعدل النمو يتناسب مع عدد الخلايا N:

dN/dt = k · N

هنا dN/dt هي مشتقة N بالنسبة للزمن t، وk هو ثابت المعدل. وعند k = 0,4 h⁻¹ وN = 1000 خلية، تنمو المستعمرة بمقدار 400 خلية في الساعة في تلك اللحظة.

حلّ المعادلة يعني إيجاد الدالة N(t) نفسها. وتحتاج أيضًا إلى قيمة ابتدائية، مثل N(0) = 200. وهذا يسمى الشرط الابتدائي.

تحقّق ذاتي عدد سكان يتبع dN/dt = 0,2 · N. وفي هذه اللحظة N = 500. بأي سرعة ينمو؟
  1. 0,2 في الساعة
  2. 100 في الساعة
  3. 2500 في الساعة
  4. 500 في الساعة

الإجابة: 100 في الساعة. ضع الأرقام في المعادلة: dN/dt = 0,2 · 500 = 100. وقسمة 500 على 0,2 تعطي 2500، وهذا يستخدم k بشكل معكوس.

2النمو والتضاؤل الأسّيان

للمعادلة dy/dt = k·y دائمًا الحل نفسه، وهو دالة أسّية:

y(t) = y0 · ekt

هنا y0 القيمة عند t = 0. وقيمة k الموجبة تعني نموًا. وللتضاؤل تكون المعادلة dy/dt = −k·y والحل y = y0e−kt.

كثيرًا ما يُعطى التحلل الإشعاعي بـ نصف العمر t½: الزمن الذي يبقى بعده نصف المادة. وثابت المعدل ينتج منه:

k = ln 2 / t½

لإيجاد زمن، خذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين:

t = ln(y / y0) / k

مثلًا، 200 خلية تنمو بـ k = 0,4 h⁻¹ تبلغ 1000 خلية بعد t = ln(5)/0,4 ≈ 4,02 h.

تحقّق ذاتي مادة نصف عمرها 10 أيام. تبدأ بـ 80 mg. كم يبقى بعد 20 يومًا؟
  1. 0 mg
  2. 20 mg
  3. 40 mg
  4. 60 mg

الإجابة: 20 mg. 20 يومًا نصفا عمر: 80 ← 40 ← 20 mg. أما 0 mg فتأتي من الظن أن نصفين يصنعان الكل؛ بل تتنصّف الكمية في كل مرة.

3التبريد والمعادلات الخطية

قانون نيوتن للتبريد: الجسم الساخن يبرد أسرع حين يكون أسخن بكثير من الغرفة. مع درجة حرارة الغرفة Ta:

dT/dt = −k · (T − Ta) ⇒ T(t) = Ta + (T0 − Ta) · e−kt

يتضاءل الفرق T − Ta أسّيًا، فتتجه درجة الحرارة نحو حرارة الغرفة ولا تنخفض دونها أبدًا.

لإيجاد k من قياس واحد، عوّض بالقيم المعروفة وخذ ln: k = −ln[(T1 − Ta)/(T0 − Ta)] / t1.

المعادلة الخطية من الرتبة الأولى لها الصيغة y′ + p(x)·y = q(x). اضربها في العامل المكامِل μ:

μ = e∫p dx, (μ·y)′ = μ·q

ثم كامل الطرفين واقسم على μ. وعندما p = 2/x يكون μ = e2 ln x = x².

تحقّق ذاتي يُترك شاي عند 90 °C في غرفة عند 20 °C. إلى أي درجة حرارة يقترب بعد زمن طويل جدًا؟
  1. 0 °C
  2. 20 °C
  3. 55 °C
  4. 90 °C

الإجابة: 20 °C. الحد (T0 − Ta)e−kt يؤول إلى 0، فتقترب T من Ta = 20 °C. وكانت 0 °C ستكون الجواب لو نسيت حرارة الغرفة.

4الطريقة خطوة بخطوة

  1. تعرّف على النوع: dy/dt = ky (نمو أو تضاؤل)، أو تبريد نيوتن، أو y′ + p(x)y = q(x).
  2. اكتب الحل القياسي لذلك النوع.
  3. استخدم المعطيات لإيجاد الثوابت: y0 من البداية، وk من نصف العمر أو من قياس ثانٍ.
  4. أجب عن السؤال: ضع زمنًا لإيجاد قيمة، أو استخدم ln لإيجاد زمن.
  5. تحقّق من وحدات k (h⁻¹ وmin⁻¹) بالنسبة لوحدات t.

للمعادلة الخطية: أوجد μ، وكامل (μy)′ = μq، وأضف الثابت C، ثم استخدم الشرط الابتدائي لإيجاد C.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

لمتتبّع مشع نصف عمر 8 أيام. تحتوي عينة على 60 mg في البداية. يتبع التحلل dm/dt = −k·m. كم تبقى m بعد 12 يومًا؟

1

تعرّف على النوع

هذا تضاؤل أسّي، فالحل هو:

m(t) = m0 · e−kt, m0 = 60 mg
2

أوجد k من نصف العمر

k = ln 2 / 8 = 0,6931 / 8 = 0,08664 يوم⁻¹
3

ضع الزمن

k · t = 0,08664 · 12 = 1,0397
m = 60 · e−1,0397 = 60 · 0,3536 = 21,21 mg
4

تحقّق من الإجابة

12 يومًا تساوي 1,5 نصف عمر. بعد 8 أيام يبقى 30 mg وبعد 16 يومًا 15 mg، فـ 21,2 mg تقع بينهما، كما هو متوقع.

60 · 0,51,5 = 21,21 mg
tm608301615247,51221,2
الإجابة

يبقى m ≈ 21,2 mg بعد 12 يومًا.

6أخطاء شائعة

  • في قانون نيوتن للتبريد، نسيان الطرح ثم إعادة إضافة درجة حرارة الغرفة Ta.
  • استخدام أس موجب للتضاؤل، فتنمو الكمية بدلًا من أن تتناقص.
  • استخدام log10 بدلًا من اللوغاريتم الطبيعي ln.
  • الخلط بين وحدات الزمن، مثل k بـ min⁻¹ مع t بالساعات.
  • مع العامل المكامِل، ضرب الطرف الأيسر فقط في μ.
تحقّق ذاتي قطعة عند 80 °C تبرد في غرفة عند 20 °C. عند زمن ما t يكون e−kt = 0,5. ما درجة حرارتها حينئذٍ؟
  1. 30 °C
  2. 40 °C
  3. 50 °C
  4. 60 °C

الإجابة: 50 °C. T = 20 + (80 − 20) · 0,5 = 20 + 30 = 50 °C. وتنصيف 80 مباشرةً يعطي 40 °C، وهذا ينسى حرارة الغرفة.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: النمو والتضاؤل الأسّيان. أوجد الكمية بعد زمن، أو الزمن لبلوغ كمية، غالبًا من نصف العمر.
  • متوسط: قانون نيوتن للتبريد. استخدم قياسًا واحدًا لإيجاد k، ثم أوجد درجة حرارة أو زمنًا.
  • صعب: معادلة خطية من الرتبة الأولى مثل y′ + 2y/x = 3 مع y(1) = 1. استخدم العامل المكامِل وأوجد y عند x آخر.

فحص سريع: يجب أن تقع إجابات التضاؤل والتبريد بين القيمة الابتدائية والقيمة النهائية (0، أو حرارة الغرفة).

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
rr² + br + c?

للمعادلة y″ + 4y′ + 3y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.

y″ + 4y′ + 3y = 0

المطلوب: r

أظهر التلميحات
  1. عوّض y = ert.
  2. r² + 4r + 3 = 0.
  3. حلّل إلى عوامل أو استخدم قانون المعادلة التربيعية.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = ert: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·er₁t + B·er₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·ert (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 تكون ωn التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

المعادلة المميزة

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

الجذور

r = −1, r = −3
الأقرب إلى الصفر: r = −1

الإجابة

r = −1

الحل العام هو y = A·e−1t + B·e−3t.

مثال 2متوسطة
t (min)T (°C)5Ta​73 °C50 °C

كوب قهوة عند 81 °C تُرك في غرفة عند 21 °C. بعد 5 min تكون درجة حرارتها 73 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 50 °C؟

T0 = 81 °CTa = 21 °CT(5) = 73 °CT = 50 °C

المطلوب: t (min)

أظهر التلميحات
  1. أوجد أولًا k من القياس عند t = 5 min.
  2. k = ln(60/52)/5 = 0,02862 min⁻¹.
  3. t = ln((T₀ − Tₐ)/(T − Tₐ))/k.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

ثابت التبريد

k = ln(60/52)/5 = 0,02862 min⁻¹

الزمن لبلوغ القيمة المستهدفة

t = ln(60/29)/0,02862 = 25,4 min

الإجابة

t = 25,4 min
مثال 3صعبة
ty1y(1) = ?

حلّ y′ + y = 4e−2t مع y(0) = 4. أوجد y(1).

y′ + y = 4e−2ty(0) = 4

المطلوب: y(1)

أظهر التلميحات
  1. عامل التكامل μ = et.
  2. (ety)′ = 4e−t → ety = 4/(−1)·e−t + C.
  3. y = −4·e−2t + C·e−t. استخدم y(0) لإيجاد C.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

عامل التكامل

μ = et
(ety)′ = 4e−t

الحل العام

y = 4/(−1)·e−2t + C·e−t = −4·e−2t + C·e−t

الشرط الابتدائي

4 = −4 + C → C = 8

احسب

y(1) = −4·0,1353 + 8·0,3679 = 2,402

الإجابة

y(1) = 2,402

أسئلة وأجوبة

ما هو المعادلات التفاضلية؟

تنقسم البكتيريا، فالمستعمرة الأكبر تنمو أسرع. ومعدل النمو يتناسب مع عدد الخلايا N:

هنا dN/dt هي مشتقة N بالنسبة للزمن t، وk هو ثابت المعدل. وعند k = 0,4 h⁻¹ وN = 1000 خلية، تنمو المستعمرة بمقدار 400 خلية في الساعة في تلك اللحظة.

كيف تحل مسائل المعادلات التفاضلية خطوة بخطوة؟

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = ert: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·er₁t + B·er₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·ert (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 تكون ωn التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

ما الأخطاء الشائعة في المعادلات التفاضلية؟
  • هذا هو الجذر الآخر، الأبعد عن الصفر؛ وحدّه يتلاشى أسرع.
  • المعادلة r² + br + c = 0 مع b وc موجبتين لها جذران سالبان.
  • العبارة −b/2 هي منتصف الجذرين، وليست جذرًا.
ماذا تغطي تمارين المعادلات التفاضلية؟
  • سهلة: النمو والاضمحلال الأسّي
  • متوسطة: قانون نيوتن للتبريد
  • صعبة: الخطية من الرتبة الأولى

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

المشتقاتالتكاملات

ثم تابع مع

تحويلات لابلاسالطرائق العددية

الآلات الحاسبة

حاسبة عمر النصف والاضمحلال الأسّي

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

الرياضيات الهندسيةالمعادلات التفاضليةالرياضيات الهندسية 2التفاضل والتكامل 2الطرائق العدديةمسائل تدريب AP Calculus

مواضيع أخرى في الرياضيات والإحصاء

النهاياتالمشتقاتالتحسين (القيم القصوى)التكاملاتالمتتاليات والمتسلسلاتالتفاضل والتكامل لعدة متغيراتالأعداد المركبةالطرائق العدديةالمصفوفات والمحدداتالمتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيالمنطق القضوي والبراهينالمجموعات والعلاقات والدوالنظرية البياناتنظرية الأعداد والحساب المودوليالاحتمالالإحصاء الوصفيالتوزيع الطبيعيفترات الثقةاختبارات الفرضيات وفترات الثقةالانحدار الخطي والارتباطاختبارات مربع كاي

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
تدرّب على المعادلات التفاضلية مجانًاتدرّب على المعادلات التفاضلية الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.