المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: المقدار والمركّبات, الضرب القياسي, الضرب الاتجاهي والعزوم.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
xyza

أوجد مقدار |a| المتّجه a = (6, −5, 9).

a = (6, −5, 9)
المسألة التالية →
تدرّب على المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي مجانًاتدرّب على المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةالمقدار والمركّبات
  2. متوسطةالضرب القياسي
  3. صعبةالضرب الاتجاهي والعزوم

كيف تحلّ مسائل المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

  1. اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
  2. للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
  3. استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
  4. استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

أخطاء شائعة

  • جمع المقادير بدلًا من جمع المركّبات.
  • الخطأ في إشارة المركّبة الوسطى (y) في الضرب الاتجاهي.
  • استخدام موضع النقطة بدلًا من r = A − O في حساب العزم.
  • حساب arctan دون التحقق من الربع الذي تقع فيه الزاوية.

الصيغ الأساسية

المقدار
|a| = √(ax² + ay² + az²)
متّجه الوحدة
û = a/|a|
المركّبات من زاوية
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
الضرب القياسي
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b
a·b/|b|
الشغل
W = F·d
الضرب الاتجاهي
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
المساحات
متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O
MO = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح
V = |a·(b × c)|

تعلّم المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي من البداية

1ما هو المتجه

بعض الكميات تحتاج إلى رقم فقط: كتلة 5 kg أو درجة حرارة 20 °C. هذه كميات قياسية (scalars).

كميات أخرى تحتاج إلى اتجاه أيضًا. فقوة 40 N تدفع إلى الأعلى تختلف كثيرًا عن 40 N تدفع جانبًا. هذه متجهات (vectors).

تصف المتجه بـ مركّباته: إلى أي مدى يمتد على x وعلى y وعلى z. المتجه a = (4, 3, 0) يمتد 4 وحدات على x و3 على y و0 على z.

xyaax​ = 4ay​ = 3θO

القوى والإزاحات والسرعات كلها متجهات. ويستخدم المهندسون رياضيات المتجهات لجمع القوى وإيجاد الزوايا وحساب العزوم في ثلاثة أبعاد.

تُجمع المتجهات مركّبة مركّبة: (1, 2, 0) + (3, −1, 4) = (4, 1, 4). هكذا تجد محصلة عدة قوى.

تحقّق ذاتي ما طول المتجه a = (3, 4, 0)؟
  1. 1
  2. 25
  3. 5
  4. 7

الإجابة: 5. الطول √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5. وجمع المركّبات (7) خطأ لأنها متعامدة، و25 تنسى الجذر التربيعي.

2الطول والاتجاه والمركّبات

المقدار |a| هو طول المتجه. إنه فيثاغورس في ثلاثة أبعاد:

|a| = √(ax² + ay² + az²)

متجه الوحدة طوله 1 ويشير في الاتجاه نفسه. تحصل عليه بقسمة كل مركّبة على المقدار:

û = a / |a|

للمتجه a = (0, 3, 4) المقدار 5، إذن û = (0, 0,6, 0,8). تحقّق: 0,6² + 0,8² = 1.

غالبًا تُعطى القوة في مستوى xy بمقدار F وزاوية θ مقيسة عكس عقارب الساعة من محور x الموجب. ومركّباتها:

Fx = F·cos θ Fy = F·sin θ

يعطي الجيب وجيب التمام الإشارات تلقائيًا. القوة عند 120° لها مركّبة x سالبة لأن cos 120° = −0,5.

عند العودة من المركّبات إلى زاوية، لا يعطي arctan(Ry/Rx) إلا إجابات بين −90° و90°. فإذا كانت Rx سالبة أضف 180°. وإذا كانت Ry وحدها سالبة أضف 360°.

تحقّق ذاتي ما المركّبة y لمتجه الوحدة في اتجاه a = (0, 3, 4)؟
  1. 0,12
  2. 0,43
  3. 0,6
  4. 3

الإجابة: 0,6. اقسم على المقدار 5: 3/5 = 0,6. أما 3 فتنسى القسمة، و0,12 تقسم على |a|² = 25، و0,43 تقسم على مجموع المركّبات (7).

3الضرب القياسي والضرب الاتجاهي

هناك طريقتان لضرب متجهين. الضرب القياسي يعطي عددًا. والضرب الاتجاهي يعطي متجهًا جديدًا.

a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ

هنا θ الزاوية بين المتجهين. يقيس الضرب القياسي مقدار إشارة المتجهين في الاتجاه نفسه. وهو صفر حين يكونان متعامدين.

dFθ|F|·cos θ
  • الزاوية: cos θ = a·b / (|a|·|b|).
  • الإسقاط القياسي للمتجه a على b (جزء a على امتداد b): a·b / |b|.
  • الشغل الذي تبذله قوة ثابتة على إزاحة: W = F·d.
  • يكون المتجهان متعامدين عندما a·b = 0.

الضرب الاتجاهي a × b متجه عمودي على كل من a وb. وطوله يساوي مساحة متوازي الأضلاع الذي يشكله المتجهان.

a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
aba × bA

للمتجهين a = (1, 2, 0) وb = (3, 1, 0): a × b = (2·0 − 0·1, 0·3 − 1·0, 1·1 − 2·3) = (0, 0, −5). مساحة متوازي الأضلاع 5 ومساحة المثلث نصفها، 2,5.

الترتيب مهم: b × a = −(a × b). وعزم قوة F تؤثر عند النقطة A حول النقطة O هو M = r × F، حيث r = A − O.

تحقّق ذاتي للمتجهين a = (2, 1, 0) وb = (1, 4, 0)، ما المركّبة z للضرب a × b؟
  1. 6
  2. 7
  3. 9
  4. −7

الإجابة: 7. المركّبة z = axby − aybx = 2·4 − 1·1 = 7. أما −7 فهي b × a (الترتيب معكوس)، و6 هو الضرب القياسي، و9 تجمع الحاصلين بدلًا من طرحهما.

4الطريقة خطوة بخطوة

  1. اكتب كل متجه بمركّباته. وللقوة المعطاة بمقدار وزاوية استخدم F·cos θ وF·sin θ.
  2. إذا أعطى السؤال نقاطًا، فابنِ المتجهات منها: المتجه من A إلى B هو B − A.
  3. قرر الأداة التي تحتاجها. الأطوال والاتجاهات: المقدار ومتجه الوحدة. الزوايا والإسقاطات والشغل: الضرب القياسي. المساحات والمتجهات المتعامدة والعزوم: الضرب الاتجاهي.
  4. اكتب الصيغة أولًا، ثم ضع الأرقام مركّبة مركّبة. وأبقِ الإشارات بين أقواس.
  5. تحقّق من النتيجة: متجه الوحدة طوله 1، وa × b عمودي على a (فـ a·(a × b) = 0)، والزاوية بين متجهين تقع بين 0° و180°.

لمتجه وحدة عمودي على متجهين، خذ n = a × b واقسمه على طوله. وإذا أراد السؤال مركّبة z موجبة وكانت مركّبتك سالبة، فاقلب كل الإشارات.

حجم الصندوق (متوازي السطوح) ذي الأحرف a وb وc هو |a·(b × c)|: الضرب الاتجاهي أولًا ثم الضرب القياسي.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

قوة ثابتة F = (6, 2, −3) N تدفع جسمًا في خط مستقيم من النقطة A(1, 0, 2) إلى النقطة B(3, 4, 2). الإحداثيات بالأمتار. أوجد الشغل W الذي تبذله القوة والزاوية θ بين القوة والإزاحة.

1

ابنِ الإزاحة

الإزاحة هي المتجه من A إلى B: اطرح البداية من النهاية.

d = B − A = (3 − 1, 4 − 0, 2 − 2) = (2, 4, 0) m
2

اعمل بالضرب القياسي

الشغل هو الضرب القياسي للقوة والإزاحة. اضرب المركّبات المتناظرة واجمع.

W = F·d = 6·2 + 2·4 + (−3)·0 = 12 + 8 + 0 = 20 J
3

المقداران

|F| = √(6² + 2² + (−3)²) = √49 = 7 N
|d| = √(2² + 4² + 0²) = √20 ≈ 4,472 m
4

الزاوية

dFθ|F|·cos θ

استخدم الصيغة الأخرى للضرب القياسي، F·d = |F|·|d|·cos θ، وحُلّ لإيجاد cos θ.

cos θ = 20 / (7 · 4,472) = 0,6389
θ = arccos 0,6389 ≈ 50,3°
5

تحقّق من الإجابة

الشغل موجب، فيجب أن تكون الزاوية أقل من 90°. وهي كذلك.

الجزء من القوة على امتداد الحركة هو |F|·cos θ = 7 · 0,6389 ≈ 4,47 N. وبضربه في المسافة 4,472 m نحصل على 20 J مرة أخرى.

الإجابة

W = 20 J وθ ≈ 50,3°.

6أخطاء شائعة

  • جمع المقادير بدلًا من المركّبات. قوتان 3 N و4 N متعامدتان تعطيان 5 N لا 7 N.
  • استخدام إحداثيات النقطة بدلًا من r = A − O في حساب العزم.
  • الخطأ في إشارة المركّبة الوسطى (y) في الضرب الاتجاهي. هي azbx − axbz وليس العكس.
  • تبديل الترتيب في الضرب الاتجاهي. b × a يشير عكس a × b.
  • أخذ arctan للاتجاه دون التحقق من أي ربع يقع فيه المتجه.
  • نسيان ½ لمساحة المثلث: هي نصف |AB × AC|.
تحقّق ذاتي قوة F = (0, 10, 0) N تؤثر عند النقطة A(3, 0, 0) m. ما مقدار عزمها حول O(1, 0, 0) m؟
  1. 10 N·m
  2. 20 N·m
  3. 30 N·m
  4. 40 N·m

الإجابة: 20 N·m. r = A − O = (2, 0, 0) m، إذن M = r × F = (0, 0, 2·10) = (0, 0, 20) N·m. واستخدام النقطة A نفسها كـ r يعطي 30 N·m، وA + O يعطي 40 N·m، وO وحدها تعطي 10 N·m.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: المقدار والمركّبات. طول متجه، أو مركّبة واحدة لمتجه وحدة، أو مركّبة قوة معطاة بمقدار وزاوية، أو مقدار أو اتجاه محصلة قوتين.
  • متوسط: الضرب القياسي. ضرب قياسي، أو الزاوية بين متجهين، أو إسقاط قياسي، أو الشغل الذي تبذله قوة بين نقطتين، أو قيمة k التي تجعل متجهين متعامدين.
  • صعب: الضرب الاتجاهي والعزوم. مركّبة واحدة من a × b، أو مساحة متوازي أضلاع أو مثلث، أو عزم قوة حول نقطة، أو متجه عمودي وحدوي، أو حجم صندوق من الضرب الثلاثي.

في سؤال التعامد، ضع a·b = 0. فيعطي معادلة خطية في k.

لمثلث رؤوسه A وB وC، استخدم متجهي الضلعين AB = B − A وAC = C − A. المساحة هي ½·|AB × AC|.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
xy135°F1​F2​

قوتان تؤثّران عند نقطة في المستوى xy: F₁ = 110 N عند 0° و F₂ = 190 N عند 135°، وكلتاهما مقيستان عكس عقارب الساعة من المحور x الموجب. أوجد اتجاه φ محصّلتهما، مقيسًا عكس عقارب الساعة من المحور x الموجب (بين 0° و 360°).

F1 = 110 N, θ1 = 0°F2 = 190 N, θ2 = 135°

المطلوب: φ (°)

أظهر التلميحات
  1. حلّل كل قوة إلى مركّبتين x و y.
  2. اجمع المركّبات x والمركّبات y كلًّا على حدة.
  3. Rₓ = −24,35 N, Ry = 134,4 N.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

Vectors: a vector a = (ax, ay, az) has magnitude |a| = √(ax² + ay² + az²), and the unit vector in its direction is û = a/|a|. A vector of magnitude F at an angle θ measured anticlockwise from the positive x-axis has components Fx = F·cos θ and Fy = F·sin θ. Vectors add component by component.

مركّبتا المحصّلة

Rₓ = 110·cos 0° + 190·cos 135° = −24,35 N
Ry = 110·sin 0° + 190·sin 135° = 134,4 N

الاتجاه

Rₓ سالبة، لذا تشير المحصّلة إلى الربع الثاني أو الثالث: أضف 180° إلى زاوية الآلة الحاسبة.

arctan(Ry/Rₓ) = arctan(134,4/−24,35) = −79,73°
φ = 100,3°

الإجابة

φ = 100,3°
مثال 2متوسطة
xyzab

أوجد قيمة k التي يكون عندها المتّجهان a = (−4, −4, 0) و b = (k, 6, 4) متعامدين.

a = (−4, −4, 0)b = (k, 6, 4)

المطلوب: k

أظهر التلميحات
  1. المتّجهان المتعامدان ضربهما القياسي صفر.
  2. اكتب a·b = 0 مع k مجهولًا وحلّ المعادلة الخطية.
  3. (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

الضرب القياسي يساوي صفرًا

a·b = (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0
−24 + (−4)·k = 0

حلّ لإيجاد k

k = −(−24)/(−4) = −6

الإجابة

k = −6
مثال 3صعبة
xyzABC

أوجد مساحة A المثلث الذي رؤوسه A(−3, −4, −1) و B(−4, 3, −3) و C(1, 4, −4). الإحداثيات بالمتر.

A(−3, −4, −1)B(−4, 3, −3)C(1, 4, −4)

المطلوب: A (m²)

أظهر التلميحات
  1. كوّن متّجهي ضلعين من الرأس نفسه: AB = B − A و AC = C − A.
  2. المساحة ½·|AB × AC|.
  3. AB × AC = (−5, −11, −36).
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

متّجها الضلعين

AB = B − A = (−1, 7, −2)
AC = C − A = (4, 8, −3)

الضرب الاتجاهي

(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = 7·(−3) − (−2)·8 = −5
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = (−2)·4 − (−1)·(−3) = −11
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = (−1)·8 − 7·4 = −36
|AB × AC| = √((−5)² + (−11)² + (−36)²) = 37,97

مساحة المثلث

A = ½·37,97 = 18,99 m²

الإجابة

A = 18,99 m²

أسئلة وأجوبة

ما هو المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي؟

بعض الكميات تحتاج إلى رقم فقط: كتلة 5 kg أو درجة حرارة 20 °C. هذه كميات قياسية (scalars).

كميات أخرى تحتاج إلى اتجاه أيضًا. فقوة 40 N تدفع إلى الأعلى تختلف كثيرًا عن 40 N تدفع جانبًا. هذه متجهات (vectors).

كيف تحل مسائل المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي خطوة بخطوة؟
  1. اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
  2. للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
  3. استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
  4. استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.
ما الأخطاء الشائعة في المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي؟
  • جمع المقادير بدلًا من جمع المركّبات.
  • الخطأ في إشارة المركّبة الوسطى (y) في الضرب الاتجاهي.
  • استخدام موضع النقطة بدلًا من r = A − O في حساب العزم.
  • حساب arctan دون التحقق من الربع الذي تقع فيه الزاوية.
ماذا تغطي تمارين المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي؟
  • سهلة: المقدار والمركّبات
  • متوسطة: الضرب القياسي
  • صعبة: الضرب الاتجاهي والعزوم

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

الاستاتيكاالرياضيات الهندسيةالرياضيات الهندسية 2

مواضيع أخرى في الرياضيات والإحصاء

النهاياتالمشتقاتالتحسين (القيم القصوى)التكاملاتالمتتاليات والمتسلسلاتالتفاضل والتكامل لعدة متغيراتالمعادلات التفاضليةالأعداد المركبةالطرائق العدديةالمصفوفات والمحدداتالمنطق القضوي والبراهينالمجموعات والعلاقات والدوالنظرية البياناتنظرية الأعداد والحساب المودوليالاحتمالالإحصاء الوصفيالتوزيع الطبيعيفترات الثقةاختبارات الفرضيات وفترات الثقةالانحدار الخطي والارتباطاختبارات مربع كاي

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي مع الإجابات
تدرّب على المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي مجانًاتدرّب على المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.