التوزيع الطبيعي: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في التوزيع الطبيعي مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: المساحة في طرف واحد, المساحة بين قيمتين, المئينات.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
μ = 6567,5P = ?

درجات الامتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. ما النسبة التي تزيد على 67,5 درجة؟ أوجد P(X > x) كعدد عشري.

μ = 65σ = 10x = 67,5
المسألة التالية →
تدرّب على التوزيع الطبيعي مجانًاتدرّب على التوزيع الطبيعي الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةالمساحة في طرف واحد
  2. متوسطةالمساحة بين قيمتين
  3. صعبةالمئينات

كيف تحلّ مسائل التوزيع الطبيعي

  1. حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
  2. ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
  3. للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
  4. للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

أخطاء شائعة

  • قراءة الجدول للذيل الخطأ.
  • نسيان القسمة على σ.
  • عكس إشارة z للمئينات التي تحت 50%.

الصيغ الأساسية

الدرجة المعيارية z
z = (x − μ)/σ
أقل من x
P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين
Φ(z2) − Φ(z1)
المئين
x = μ + z·σ

تعلّم التوزيع الطبيعي من البداية

قبل هذا: الإحصاء الوصفي

1المنحنى الجرسي

كثير من الكميات، مثل الأطوال أو درجات الذكاء أو وزن عبوات تنتجها آلة، تتبع توزيعًا طبيعيًا. معظم القيم قريبة من الوسط، والقيم البعيدة نادرة.

الرسم جرس متماثل. له رقمان: المتوسط μ حيث القمة، والانحراف المعياري σ الذي يحدد العرض.

7085100μ115130

الفكرة الأساسية: الاحتمال مساحة تحت المنحنى. المساحة الكلية 1. والنصف الأيسر المظلل مساحته 0,5، إذن نصف القيم كلها تقع تحت المتوسط.

نحو 68% من القيم تقع ضمن σ واحدة من المتوسط، ونحو 95% ضمن σ اثنتين.

تحقّق ذاتي أوزان العبوات موزعة طبيعيًا بمتوسط 500 g. ما كسر العبوات التي يقل وزنها عن 500 g؟
  1. 0,5
  2. 0,68
  3. 0,95
  4. يعتمد على σ

الإجابة: 0,5. المنحنى متماثل حول المتوسط، فنصف المساحة بالضبط يقع تحت μ، أيًّا كانت σ. و0,68 هي المساحة ضمن σ واحدة على الجانبين.

2الدرجات المعيارية z والجدول

كل توزيع طبيعي يصبح المنحنى نفسه، الطبيعي القياسي (متوسط 0 وσ = 1)، حين تحوّل قيمة x إلى درجة معيارية z:

z = (x − μ) / σ

يعطي الجدول Φ(z): المساحة إلى يسار z. مثلًا Φ(1,2) = 0,8849، إذن 88,49% من القيم تقع تحت z = 1,2.

  • تحت x: P(X < x) = Φ(z).
  • فوق x: P(X > x) = 1 − Φ(z)، لأن المساحة الكلية 1.
  • لـ z سالبة: Φ(−z) = 1 − Φ(z)، بالتماثل. إذن Φ(−1,2) = 0,1151.

قيم ستقابلها كثيرًا: Φ(1) = 0,8413 وΦ(1,5) = 0,9332 وΦ(2) = 0,9772.

تحقّق ذاتي Φ(1,2) = 0,8849. ما P(Z > 1,2)؟
  1. 0,1151
  2. 0,3849
  3. 0,8849
  4. 1,2

الإجابة: 0,1151. يعطي الجدول المساحة إلى اليسار. والمساحة إلى اليمين 1 − 0,8849 = 0,1151. قراءة 0,8849 مباشرة تأخذ الذيل الخطأ.

3بين قيمتين والمئينات

للمساحة بين قيمتين، اطرح المساحتين اليسريين: كل ما تحت القيمة العليا، ناقص كل ما تحت القيمة الدنيا.

P(x₁ < X < x₂) = Φ(z₂) − Φ(z₁)

يعمل المئين بالعكس. المئين التسعون هو القيمة التي تقع 90% من المساحة إلى يسارها.

  • أوجد z التي تساوي Φ(z) المساحة. لـ 90%، z = 1,2816. ولـ 80%، z = 0,8416.
  • حوّل إلى x: x = μ + z · σ.

لمئين أقل من 50%، تكون z سالبة. المئين العاشر له z = −1,2816.

تحقّق ذاتي درجات الذكاء طبيعية بـ μ = 100 وσ = 15. قيمة z للمئين الثمانين هي 0,8416. ما المئين الثمانون؟
  1. 100,8
  2. 112,6
  3. 115
  4. 87,4

الإجابة: 112,6. x = 100 + 0,8416 · 15 = 112,6. استخدام إشارة الناقص يعطي 87,4، وهو المئين العشرون؛ و100,8 تنسى الضرب في σ.

4الطريقة خطوة بخطوة

  1. ارسم منحنى الجرس، وعلّم μ والقيمة أو القيم، وظلّل المساحة المطلوبة.
  2. حوّل كل قيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
  3. ابحث عن Φ(z) في الجدول، وهي المساحة على اليسار.
  4. تحت: Φ(z). فوق: 1 − Φ(z). بين: Φ(z₂) − Φ(z₁).
  5. للمئين، اذهب بالعكس: المساحة ← z ← x = μ + zσ.
  6. قارن برسمك: مساحة مظللة أصغر من النصف يجب أن تعطي عددًا أقل من 0,5.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

درجات الذكاء موزعة طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 15. ما الكسر P الواقع بين 91 و121؟

1

ارسم المساحة

91x₁100121x₂

تغطي المساحة المظللة الوسط وجزءًا أكبر من الجانب الأيمن. توقع عددًا أعلى قليلًا من 0,5.

2

الدرجة المعيارية الدنيا

z₁ = (91 − 100) / 15 = −9/15 = −0,6
3

الدرجة المعيارية العليا

z₂ = (121 − 100) / 15 = 21/15 = 1,4
4

ابحث عن المساحتين

Φ(1,4) = 0,9192
Φ(−0,6) = 1 − Φ(0,6) = 1 − 0,7257 = 0,2743
5

اطرح

P = 0,9192 − 0,2743 = 0,6449

هذا أعلى قليلًا من 0,5، كما توقع الرسم.

الإجابة

P ≈ 0,645: نحو 64,5% من الدرجات تقع بين 91 و121.

6أخطاء شائعة

  • قراءة الذيل الخطأ: استخدام Φ(z) حين يطلب السؤال المساحة فوق x.
  • نسيان القسمة على σ في الدرجة المعيارية.
  • جمع المساحتين اليسريين لفاصل بدل طرحهما.
  • استخدام إشارة z الخطأ لمئين أقل من 50%.
  • الخلط بين σ والتباين σ². اقسم على σ، الانحراف المعياري.
تحقّق ذاتي درجات الامتحان طبيعية بـ μ = 65 وσ = 10. Φ(−1,5) = 0,0668. ما كسر من يحصلون على أكثر من 50؟
  1. 0,0668
  2. 0,4332
  3. 0,5668
  4. 0,9332

الإجابة: 0,9332. z = (50 − 65)/10 = −1,5، وP(X > 50) = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332. و0,0668 هي المساحة تحت 50: الذيل الخطأ. معظم الطلاب يحصلون على أكثر من 50، لذا يجب أن تكون الإجابة كبيرة.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: المساحة في ذيل واحد. أوجد P(X < x) أو P(X > x) بدرجة معيارية واحدة.
  • متوسط: المساحة بين قيمتين، Φ(z₂) − Φ(z₁)، كما في المثال.
  • صعب: المئينات. أوجد القيمة التي تقع تحتها 80% أو 90% من البيانات.

ارسم دائمًا أولًا. رسم من عشر ثوان يكشف معظم أخطاء الذيول.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
μ = 3236,8P = ?

أزمنة التوصيل موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 32 min وانحراف معياري 6 min. ما النسبة التي تزيد على 36,8 min؟ أوجد P(X > x) كعدد عشري.

μ = 32σ = 6x = 36,8

المطلوب: P(X > x)

أظهر التلميحات
  1. حوّل إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
  2. z = (36,8 − 32)/6 = 0,8.
  3. المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z).
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجة المعيارية z

z = (36,8 − 32)/6 = 0,8

الاحتمال

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

الإجابة

P = 0,2119

أي 21,19%.

مثال 2متوسطة
750 g769,7 gX + Y?

X طبيعي بمتوسط 250 g وانحراف معياري 4 g؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 500 g وانحراف معياري 9 g. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 769,7 g. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 769,7 g

المطلوب: P

أظهر التلميحات
  1. E(X + Y) = 250 + 500 = 750 g.
  2. σ = √(4² + 9²) = 9,849 g.
  3. z = (769,7 − 750)/9,849.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (769,7 − 750)/9,849 = 2

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

الإجابة

P = 0,02275
مثال 3صعبة
μ = 178x = ?20%

أطوال الرجال البالغين موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 20% منها (المئين 20).

μ = 178σ = 7P = 20%

المطلوب: x (cm)

أظهر التلميحات
  1. اعمل عكسيًا: أوجد في الجدول قيمة z التي تحقق Φ(z) = P/100.
  2. z = −0,8416.
  3. ثم x = μ + z·σ.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

العودة إلى x

x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm

الإجابة

x = 172,11 cm

أسئلة وأجوبة

ما هو التوزيع الطبيعي؟

كثير من الكميات، مثل الأطوال أو درجات الذكاء أو وزن عبوات تنتجها آلة، تتبع توزيعًا طبيعيًا. معظم القيم قريبة من الوسط، والقيم البعيدة نادرة.

الرسم جرس متماثل. له رقمان: المتوسط μ حيث القمة، والانحراف المعياري σ الذي يحدد العرض.

كيف تحل مسائل التوزيع الطبيعي خطوة بخطوة؟
  1. حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
  2. ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
  3. للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
  4. للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
ما الأخطاء الشائعة في التوزيع الطبيعي؟
  • قراءة الجدول للذيل الخطأ.
  • نسيان القسمة على σ.
  • عكس إشارة z للمئينات التي تحت 50%.
ماذا تغطي تمارين التوزيع الطبيعي؟
  • سهلة: المساحة في طرف واحد
  • متوسطة: المساحة بين قيمتين
  • صعبة: المئينات

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

الإحصاء الوصفي

ثم تابع مع

فترات الثقة

الآلات الحاسبة

حاسبة الدرجة المعيارية والاحتمال الطبيعيحاسبة التوزيع الطبيعي

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

مناهج البحث والإحصاء في علم النفسمبادئ الإحصاءالرياضيات الهندسيةالإحصاء 2: الاستدلال الإحصائيالتدريب لاختبار FE للهندسة المدنيةمسائل تدريب AP Statisticsالتدريب على الأساليب الكمية والدخل الثابت في CFA Level I

مواضيع أخرى في الرياضيات والإحصاء

النهاياتالمشتقاتالتحسين (القيم القصوى)التكاملاتالمتتاليات والمتسلسلاتالتفاضل والتكامل لعدة متغيراتالمعادلات التفاضليةالأعداد المركبةالطرائق العدديةالمصفوفات والمحدداتالمتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيالمنطق القضوي والبراهينالمجموعات والعلاقات والدوالنظرية البياناتنظرية الأعداد والحساب المودوليالاحتمالالإحصاء الوصفيفترات الثقةاختبارات الفرضيات وفترات الثقةالانحدار الخطي والارتباطاختبارات مربع كاي

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل التوزيع الطبيعي مع الإجابات
تدرّب على التوزيع الطبيعي مجانًاتدرّب على التوزيع الطبيعي الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.