التفاضل والتكامل لعدة متغيرات: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في التفاضل والتكامل لعدة متغيرات مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: المشتقات الجزئية والتكاملات الثنائية, التدرج والمستوى المماس وقاعدة السلسلة, النقاط الحرجة والتكاملات على المناطق.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
xy3−3P

للدالة f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xy، جد المشتقة الجزئية ∂f/∂x عند النقطة (3, −3).

f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xyP = (3, −3)
المسألة التالية →
تدرّب على التفاضل والتكامل لعدة متغيرات مجانًاتدرّب على التفاضل والتكامل لعدة متغيرات الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةالمشتقات الجزئية والتكاملات الثنائية
  2. متوسطةالتدرج والمستوى المماس وقاعدة السلسلة
  3. صعبةالنقاط الحرجة والتكاملات على المناطق

كيف تحلّ مسائل التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

  1. للمشتقة الجزئية عامل المتغير الآخر كثابت واستخدم قواعد المتغير الواحد.
  2. في أسئلة التدرج احسب ∇f = (fx, fy) عند النقطة؛ واستخدم |∇f| لأشد ميل و ∇f·u مع متجه وحدة u للمشتقة الاتجاهية.
  3. للنهايات القصوى حلّ fx = 0 و fy = 0 معًا، ثم صنّف كل نقطة بـ D = fxx·fyy − fxy².
  4. لتكامل ثنائي ارسم المنطقة، واختر الترتيب (أو الإحداثيات القطبية للأقراص) بحيث تكون الحدود الداخلية هي المنحنيات المحيطة، وكامل الداخل أولًا.

أخطاء شائعة

  • اشتقاق المتغير الذي يجب إبقاؤه ثابتًا.
  • نسيان تطبيع متجه الاتجاه.
  • كتابة D = fxx·fyy + fxy² أو وصف نقطة ذات D < 0 بأنها نهاية قصوى.
  • استخدام حدود داخلية ثابتة لمنطقة محدودة بمنحنيات.
  • إسقاط العامل r في dA = r dr dθ.

الصيغ الأساسية

المشتقات الجزئية
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
الفرق
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
المشتقة الاتجاهية
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
المستوى المماس
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
قاعدة السلسلة
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
اختبار المشتقة الثانية
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
التكامل الثنائي
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
الإحداثيات القطبية
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

تعلّم التفاضل والتكامل لعدة متغيرات من البداية

قبل هذا: المشتقات, التكاملات

1المشتقات الجزئية

الدالة في متغيرين، z = f(x, y)، سطح فوق المستوى xy. وفي الخريطة تُرسم بمنحنيات المستوى، وهي خطوط تكون لـ f عليها القيمة نفسها.

تقيس المشتقة الجزئية الميل في اتجاه واحد. في ∂f/∂x (وتُكتب أيضًا fx) تُبقي y ثابتة وتشتق بالنسبة إلى x بالقواعد العادية.

مثال: f(x, y) = x²y + 3y². عامل y كعدد من أجل fx، و x كعدد من أجل fy:

fx = 2xy fy = x² + 6y

عند (1, 2) يعطي هذا fx = 4 و fy = 1 + 12 = 13.

الاشتقاق مرة أخرى يعطي المشتقات الجزئية الثانية fxx و fyy و fxy. ترتيب المشتقة المختلطة لا يهم: fxy = fyx. هنا fxy = 2x.

تحقّق ذاتي ما قيمة ∂f/∂y للدالة f(x, y) = x³y²؟
  1. 2x³y
  2. 3x²y²
  3. 6x²y
  4. x³y²

الإجابة: 2x³y. أبقِ x ثابتة: x³ عامل ثابت، و y² تعطي 2y، إذن fy = 2x³y. أما 3x²y² فهي ∂f/∂x.

2التدرج والمشتقة الاتجاهية

يجمع التدرج المشتقتين الجزئيتين: ∇f = (fx, fy). يشير إلى الاتجاه الذي ترتفع فيه f أسرع ما يمكن، عموديًا على منحنى المستوى.

xy∇fP

أشد ميل هو الطول |∇f| = √(fx² + fy²).

الميل في أي اتجاه آخر v هو المشتقة الاتجاهية. اجعل v أولًا متجه وحدة u = v/|v|، ثم خذ الجداء السلمي:

Duf = ∇f·u

لـ f = x²y + 3y² عند (1, 2): ∇f = (4, 13). في الاتجاه v = (3, 4)، u = (0,6, 0,8)، إذن Duf = 4·0,6 + 13·0,8 = 12,8.

تحقّق ذاتي عند نقطة ∇f = (3, 4). ما أكبر معدل ازدياد لـ f هناك؟
  1. 12
  2. 25
  3. 5
  4. 7

الإجابة: 5. إنه |∇f| = √(3² + 4²) = 5. جمع المركّبتين يعطي 7، ونسيان الجذر التربيعي يعطي 25.

3المستوى المماس وقاعدة السلسلة

قرب نقطة (a, b) يكون السطح شبه مستوٍ. المستوى المماس هو

z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)

يعطي التقريب الخطي f(a + Δx, b + Δy) ≈ f(a, b) + fxΔx + fyΔy.

مثال: f = x²y + 3y² لها f(1, 2) = 14، إذن قرب (1, 2): f(1,1, 1,9) ≈ 14 + 4·0,1 + 13·(−0,1) = 13,1. والقيمة الدقيقة 13,129.

عندما يعتمد x و y كلاهما على t، تجمع قاعدة السلسلة المسارين: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

4النقاط الحرجة

عند نهاية عظمى أو صغرى أو نقطة سرج يكون السطح مسطحًا: fx = 0 و fy = 0. تسمى هذه النقاط نقاطًا حرجة.

يستخدم اختبار المشتقة الثانية العلاقة D = fxxfyy − fxy² عند النقطة:

  • D > 0 و fxx > 0: نهاية صغرى محلية.
  • D > 0 و fxx < 0: نهاية عظمى محلية.
  • D < 0: نقطة سرج، صعودًا في اتجاه ونزولًا في آخر.
  • D = 0: الاختبار لا يحسم شيئًا.
مثال محلول

جد النقاط الحرجة للدالة f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4y وصنّفها.

1

ضع المشتقتين الجزئيتين تساويان الصفر

fx = 3x² − 3 = 0 → x = ±1 fy = 2y − 4 = 0 → y = 2

النقطتان الحرجتان هما (1, 2) و (−1, 2).

2

المشتقات الثانية

fxx = 6x, fyy = 2, fxy = 0
3

اختبر (1, 2)

D = 6·2 − 0 = 12 > 0 و fxx = 6 > 0: نهاية صغرى محلية، مع f(1, 2) = 1 − 3 + 4 − 8 = −6.

4

اختبر (−1, 2)

D = −6·2 − 0 = −12 < 0: نقطة سرج.

الإجابة

نهاية صغرى محلية عند (1, 2) مع f = −6؛ ونقطة سرج عند (−1, 2).

5التكاملات الثنائية

يجمع التكامل الثنائي ∬R f dA قيم f على منطقة R؛ ولـ f = 1 يكون مساحة R. احسبه كتكاملين مفردين، الداخلي أولًا.

على مستطيل تكون الحدود أعدادًا: ∫02∫01 (x + 2y) dy dx. التكامل الداخلي يعطي x + 1، و ∫02 (x + 1) dx = 4.

على منطقة عامة تكون الحدود الداخلية هي المنحنيات التي تحدها. للمنطقة بين y = x² و y = 2x، يمتد y من x² حتى 2x، و x من 0 إلى 2.

xyy = 2xy = x²2
المساحة = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3

للأقراص والقطاعات استخدم الإحداثيات القطبية: x² + y² = r² و dA = r dr dθ. على القرص r ≤ 2: ∬(x² + y²) dA = ∫02π∫02 r³ dr dθ = 2π·4 = 8π.

تحقّق ذاتي في الإحداثيات القطبية، إلى ماذا يتحول dA؟
  1. dr dθ
  2. r dr dθ
  3. r² dr dθ
  4. θ dr dθ

الإجابة: r dr dθ. رقعة قطبية صغيرة عرضها Δr وطولها r·Δθ، إذن dA = r dr dθ. نسيان العامل r هو الخطأ الأكثر شيوعًا.

6أخطاء شائعة وأسئلة الامتحان

  • اشتقاق المتغير «الثابت» أيضًا في مشتقة جزئية.
  • استخدام v بدل متجه الوحدة u في مشتقة اتجاهية.
  • كتابة D = fxxfyy + fxy²، أو تصنيف نقطة ذات D < 0 على أنها نهاية قصوى.
  • استخدام أعداد كحدود داخلية عندما تكون المنطقة محدودة بمنحنيات.
  • نسيان العامل r في الإحداثيات القطبية.

سهل: المشتقات الجزئية عند نقطة والتكاملات على المستطيلات. متوسط: التدرج والمشتقة الاتجاهية والمستوى المماس وقاعدة السلسلة. صعب: تصنيف النقاط الحرجة والتكاملات على مناطق منحنية، بالإحداثيات القطبية أو بعكس الترتيب.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
xy−1−3P

للدالة f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xy، جد المشتقة الجزئية ∂f/∂x عند النقطة (−1, −3).

f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xyP = (−1, −3)

المطلوب: fx(−1, −3)

أظهر التلميحات
  1. عامل y كعدد ثابت واشتق بالنسبة إلى x.
  2. ∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y
  3. عوّض x = −1 و y = −3.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

المشتقات الجزئية: ∂f/∂x هي المشتقة العادية بالنسبة إلى x مع بقاء y ثابتة (عامل y كعدد)، و∂f/∂y بالعكس. قواعد الاشتقاق (القوة والضرب والسلسلة) هي نفسها كما في متغير واحد. تعطي المشتقات الثانية المختلطة النتيجة نفسها بأي ترتيب: fxy = fyx. يُحسب التكامل الثنائي على مستطيل كتكاملين مفردين، الداخلي أولًا: ∫∫ f dA = ∫(∫ f dy) dx.

اشتق

y ثابتة.

∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y

عوّض

fx(−1, −3) = −4

الإجابة

fx(−1, −3) = −4
مثال 2متوسطة

z = 2x²e3y مع x = −t − 2 و y = t² + 2. استخدم قاعدة السلسلة لإيجاد dz/dt عند t = 0.

z = 2x²e3yx = −t − 2y = t² + 2t = 0

المطلوب: dz/dt

أظهر التلميحات
  1. dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
  2. عند t = 0: x = −2، y = 2، dx/dt = −1، dy/dt = 0.
  3. fx = 4xe3y, fy = 6x²e3y
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

التدرج: ∇f = (fx, fy) يشير إلى اتجاه أشد صعود، و|∇f| أكبر معدل تغير. المشتقة الاتجاهية في الاتجاه v هي Duf = ∇f·u مع متجه الوحدة u = v/|v|. المستوى المماس عند (a, b) هو z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)؛ ويعطي التقريب الخطي لـ f قرب تلك النقطة. قاعدة السلسلة: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

النقطة والمعدلات

x(0) = −2, y(0) = 2
dx/dt = −1, dy/dt = 2t = 0

المشتقات الجزئية

fx = 4xe3y = −3227
fy = 6x²e3y = 9682

قاعدة السلسلة

dz/dt = (−3227)·(−1) + 9682·0 = 3227

الإجابة

dz/dt = 3227
مثال 3صعبة
xy02−1012(0, 0)(1, 1)

للدالة f(x, y) = x³ + y³ − 3xy نقطة حرجة عند (1, 1). احسب المميِّز D = fxxfyy − fxy² هناك.

f(x, y) = x³ + y³ − 3xyP = (1, 1)

المطلوب: D

أظهر التلميحات
  1. جد المشتقات الثانية الثلاث fxx و fyy و fxy.
  2. عند النقطة: fxx = 6، fyy = 6، fxy = −3.
  3. D = fxxfyy − fxy².
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

النقاط الحرجة والتكاملات الثنائية: النقطة الحرجة فيها fx = fy = 0. اختبار المشتقة الثانية مع D = fxxfyy − fxy²: D > 0 و fxx > 0 نهاية صغرى محلية، و D > 0 و fxx < 0 نهاية عظمى محلية، و D < 0 نقطة سرج، و D = 0 لا يحسم شيئًا. لتكامل ثنائي على منطقة عامة، اجعل حدود التكامل الداخلي المنحنيات التي تحد المنطقة؛ وللأقراص والقطاعات استخدم الإحداثيات القطبية، x = r cos θ و y = r sin θ و dA = r dr dθ (لا تنسَ العامل r).

المشتقات الثانية

fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3

المميِّز

D = 6·6 − (−3)² = 27
→ نهاية صغرى محلية

الإجابة

D = 27

أسئلة وأجوبة

ما هو التفاضل والتكامل لعدة متغيرات؟

الدالة في متغيرين، z = f(x, y)، سطح فوق المستوى xy. وفي الخريطة تُرسم بمنحنيات المستوى، وهي خطوط تكون لـ f عليها القيمة نفسها.

تقيس المشتقة الجزئية الميل في اتجاه واحد. في ∂f/∂x (وتُكتب أيضًا fx) تُبقي y ثابتة وتشتق بالنسبة إلى x بالقواعد العادية.

كيف تحل مسائل التفاضل والتكامل لعدة متغيرات خطوة بخطوة؟
  1. للمشتقة الجزئية عامل المتغير الآخر كثابت واستخدم قواعد المتغير الواحد.
  2. في أسئلة التدرج احسب ∇f = (fx, fy) عند النقطة؛ واستخدم |∇f| لأشد ميل و ∇f·u مع متجه وحدة u للمشتقة الاتجاهية.
  3. للنهايات القصوى حلّ fx = 0 و fy = 0 معًا، ثم صنّف كل نقطة بـ D = fxx·fyy − fxy².
  4. لتكامل ثنائي ارسم المنطقة، واختر الترتيب (أو الإحداثيات القطبية للأقراص) بحيث تكون الحدود الداخلية هي المنحنيات المحيطة، وكامل الداخل أولًا.
ما الأخطاء الشائعة في التفاضل والتكامل لعدة متغيرات؟
  • اشتقاق المتغير الذي يجب إبقاؤه ثابتًا.
  • نسيان تطبيع متجه الاتجاه.
  • كتابة D = fxx·fyy + fxy² أو وصف نقطة ذات D < 0 بأنها نهاية قصوى.
  • استخدام حدود داخلية ثابتة لمنطقة محدودة بمنحنيات.
  • إسقاط العامل r في dA = r dr dθ.
ماذا تغطي تمارين التفاضل والتكامل لعدة متغيرات؟
  • سهلة: المشتقات الجزئية والتكاملات الثنائية
  • متوسطة: التدرج والمستوى المماس وقاعدة السلسلة
  • صعبة: النقاط الحرجة والتكاملات على المناطق

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

المشتقاتالتكاملات

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

الرياضيات الهندسية 2التفاضل والتكامل 2

مواضيع أخرى في الرياضيات والإحصاء

النهاياتالمشتقاتالتحسين (القيم القصوى)التكاملاتالمتتاليات والمتسلسلاتالمعادلات التفاضليةالأعداد المركبةالطرائق العدديةالمصفوفات والمحدداتالمتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيالمنطق القضوي والبراهينالمجموعات والعلاقات والدوالنظرية البياناتنظرية الأعداد والحساب المودوليالاحتمالالإحصاء الوصفيالتوزيع الطبيعيفترات الثقةاختبارات الفرضيات وفترات الثقةالانحدار الخطي والارتباطاختبارات مربع كاي

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل التفاضل والتكامل لعدة متغيرات مع الإجابات
تدرّب على التفاضل والتكامل لعدة متغيرات مجانًاتدرّب على التفاضل والتكامل لعدة متغيرات الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.