المتتاليات والمتسلسلات: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في المتتاليات والمتسلسلات مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: المتسلسلات الحسابية والهندسية, التقارب ومتسلسلات القوى, كثيرات حدود تايلور وماكلورين.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
kak​12345678

جد مجموع S8 أول 8 حدًا من المتتالية الهندسية 5, 7,5, 11,25، …

a₁ = 5r = 1,5n = 8
المسألة التالية →
تدرّب على المتتاليات والمتسلسلات مجانًاتدرّب على المتتاليات والمتسلسلات الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةالمتسلسلات الحسابية والهندسية
  2. متوسطةالتقارب ومتسلسلات القوى
  3. صعبةكثيرات حدود تايلور وماكلورين

كيف تحلّ مسائل المتتاليات والمتسلسلات

  1. حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
  2. للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
  3. للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
  4. لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

أخطاء شائعة

  • استخدام n بدل n − 1 في aₙ = a₁ + (n − 1)d أو a₁rⁿ⁻¹.
  • استخدام صيغة المجموع اللانهائي عندما |r| ≥ 1، أو مع حد أول خاطئ.
  • استنتاج التقارب لمجرد أن الحدود تؤول إلى 0.
  • قلب نهاية اختبار النسبة: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|، لا مقلوبها.
  • نسيان المضروبات أو الإشارات المتناوبة في كثيرة حدود تايلور.

الصيغ الأساسية

متتالية حسابية
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب
R = lim |ck/ck+1|
كثيرة حدود تايلور
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

تعلّم المتتاليات والمتسلسلات من البداية

قبل هذا: النهايات, المشتقات

1المتتاليات الحسابية والهندسية

المتتالية قائمة أعداد a₁, a₂, a₃, … والمتسلسلة مجموعها. يتكرر نوعان في كل امتحان.

تضيف المتتالية الحسابية الفرق نفسه d في كل خطوة: 3, 7, 11, 15, … لها d = 4.

aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2

لـ 3, 7, 11, …: a₂₀ = 3 + 19·4 = 79 و S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 820. لاحظ n − 1: من الحد الأول إلى الحد العشرين توجد 19 خطوة فقط.

تضرب المتتالية الهندسية في النسبة نفسها r في كل خطوة: 2, 6, 18, … لها r = 3.

aₙ = a₁·rⁿ⁻¹ Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
تحقّق ذاتي ما الحد العاشر من 5, 8, 11, 14, …؟
  1. 29
  2. 30
  3. 32
  4. 35

الإجابة: 32. d = 3، إذن a₁₀ = 5 + 9·3 = 32. استخدام 10·3 بدل 9·3 يعطي 35.

2المتسلسلة الهندسية اللانهائية

واصل جمع حدود 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + … فيقترب المجموع من 4 دون أن يتجاوزه أبدًا.

nSₙ4123456789233,5

عندما |r| < 1 يتناقص الحد rⁿ في Sₙ إلى 0، ويوجد المجموع اللانهائي:

S = a₁/(1 − r)، فقط عندما |r| < 1

هنا a₁ هو الحد الأول في المجموع. لـ Σk=2∞ 8·(1/2)ᵏ الحد الأول 8·(1/2)² = 2، إذن S = 2/(1 − 1/2) = 4.

عندما |r| ≥ 1 لا تتناقص الحدود وليس للمتسلسلة مجموع: إنها متباعدة.

تحقّق ذاتي ما قيمة Σk=0∞ 3·(1/4)ᵏ؟
  1. 12
  2. 2,4
  3. 3
  4. 4

الإجابة: 4. الحد الأول (k = 0) هو 3 و r = 1/4، إذن S = 3/(1 − 1/4) = 4. استخدام 1 + r في المقام يعطي 2,4.

3هل تتقارب المتسلسلة؟

معظم المتسلسلات ليس لها صيغة مجموع بسيطة، لكن يمكنك مع ذلك تحديد هل المجموع منتهٍ. استخدم الاختبارات بهذا الترتيب:

  1. اختبار الحد النوني: إذا لم تؤول الحدود إلى 0 فالمتسلسلة متباعدة. Σ k/(k + 1) متباعدة لأن حدودها تؤول إلى 1.
  2. المتسلسلات المعيارية: Σ1/kᵖ تتقارب فقط عندما p > 1 (فَ Σ1/k، المتسلسلة التوافقية، متباعدة). و Σrᵏ تتقارب فقط عندما |r| < 1.
  3. المقارنة: 1/(k² + 3) أصغر من 1/k²، فَ Σ1/(k² + 3) تتقارب أيضًا.
  4. اختبار النسبة: L = lim |ak+1/ak|. L < 1 تتقارب، L > 1 تتباعد، L = 1 لا يعطي جوابًا. استخدمه للمضروبات والقوى النونية.
  5. المتسلسلة المتناوبة: Σ(−1)ᵏ/k تتقارب، لأن الحدود تتناوب في الإشارة وتتناقص إلى 0.

مثال: لـ Σ k/2ᵏ تكون النسبة ((k + 1)/k)·(1/2)، وتؤول إلى L = 1/2 < 1، فهي تتقارب.

تحقّق ذاتي أي من هذه المتسلسلات تتباعد؟
  1. Σ (2/3)ᵏ
  2. Σ 1/k²
  3. Σ 1/√k
  4. Σ 3ᵏ/k!

الإجابة: Σ 1/√k. 1/√k = 1/k1/2 متسلسلة p مع p = 1/2 ≤ 1، فهي تتباعد. و 1/k² لها p = 2، و (2/3)ᵏ هندسية مع r < 1، ويعطي اختبار النسبة L = 0 لـ 3ᵏ/k!.

4متسلسلات القوى ونصف قطر التقارب

متسلسلة القوى Σ ck(x − x₀)ᵏ هي كثيرة حدود بلا نهاية. تتقارب عندما يكون x قريبًا بما يكفي من المركز x₀.

يعطي اختبار النسبة على الحد كله نصف قطر التقارب R: تتقارب المتسلسلة عندما |x − x₀| < R وتتباعد عندما |x − x₀| > R.

R = lim |ck/ck+1|

مثال: Σ xᵏ/(k·3ᵏ) لها ck/ck+1 = 3(k + 1)/k، وتؤول إلى 3. إذن R = 3 وتتقارب المتسلسلة عندما −3 < x < 3.

عند الطرفين لا يعطي الاختبار جوابًا؛ افحصهما على حدة إذا طلب السؤال المجال الكامل.

5كثيرات حدود تايلور وماكلورين

قرب نقطة a تبدو الدالة الملساء مثل كثيرة حدود. تطابق كثيرة حدود تايلور من الدرجة n القيمة والمشتقات n الأولى عند a:

Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!

عندما a = 0 تسمى كثيرة حدود ماكلورين. احفظ هذه المتسلسلات عن ظهر قلب:

eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …
cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …
ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …
xeˣP₁P₂1

كلما أخذت حدودًا أكثر، ظلت كثيرة الحدود قريبة من الدالة لمدى أطول.

مثال محلول

قرّب e0,5 بكثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 3، وحدّ الخطأ.

1

اكتب كثيرة الحدود

P₃(x) = 1 + x + x²/2 + x³/6
2

عوّض x = 0,5

P₃(0,5) = 1 + 0,5 + 0,125 + 0,020833 = 1,645833
3

حد خطأ لاغرانج

الخطأ على الأكثر M·|x|⁴/4!، حيث M أكبر قيمة للمشتقة الرابعة eᵗ بين 0 و 0,5: M = e0,5 ≈ 1,6487.

|R₃| ≤ 1,6487·0,5⁴/24 = 0,0043
4

قارن

تعطي الآلة الحاسبة e0,5 = 1,648721، فالخطأ الحقيقي 0,0029، داخل الحد.

الإجابة

e0,5 ≈ 1,6458، بخطأ لا يزيد على 0,0043.

6أخطاء شائعة وأسئلة الامتحان

  • استخدام n بدل n − 1 خطوة للحد النوني.
  • كتابة a/(1 − r) مع حد أول خاطئ عندما لا يبدأ المجموع من k = 0.
  • استنتاج أن متسلسلة تتقارب لأن حدودها تؤول إلى 0. Σ1/k هي المثال المضاد.
  • نسيان المضروبات في كثيرة حدود تايلور، أو إشارات الناقص في sin و cos.
  • استخدام |x|ⁿ/n! بدل |x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! في حد الخطأ.

سهل: مجاميع المتتاليات الحسابية والهندسية. متوسط: تحديد التقارب، واختبار النسبة، ونصف قطر التقارب. صعب: كثيرات حدود تايلور ومعاملاتها وحدود أخطائها.

تحقّق ذاتي ما معامل x³ في متسلسلة ماكلورين للدالة sin x؟
  1. 1/3
  2. 1/6
  3. −1/3
  4. −1/6

الإجابة: −1/6. sin x = x − x³/3! + …، و 3! = 6، إذن المعامل −1/6. نسيان إشارة الناقص يعطي 1/6.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
kak​13579111315ε = 0,2

المتتالية الهندسية aₙ = 5·0,85ⁿ⁻¹ تتناقص. جد أول دليل n يكون عنده aₙ < 0,2.

a₁ = 5r = 0,85ε = 0,2

المطلوب: n

أظهر التلميحات
  1. حلّ 5·0,85ⁿ⁻¹ < 0,2 باللوغاريتمات.
  2. ln 0,85 سالب: القسمة عليه تقلب اتجاه المتباينة.
  3. n − 1 > ln(0,2/5)/ln 0,85 = 19,81
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

المتسلسلات الحسابية والهندسية: المتتالية الحسابية تضيف الفرق نفسه d في كل خطوة، aₙ = a₁ + (n − 1)d، ومجموعها Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. والمتتالية الهندسية تضرب في النسبة نفسها r، aₙ = a₁·rⁿ⁻¹، مع Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r). عندما |r| < 1 تتناقص الحدود بسرعة كافية ليوجد المجموع اللانهائي: S = a₁/(1 − r)، حيث a₁ هو الحد الأول في المجموع.

المتباينة

5·0,85ⁿ⁻¹ < 0,2 → 0,85ⁿ⁻¹ < 0,04

اللوغاريتمات

(n − 1)·ln 0,85 < ln 0,04 → n − 1 > 19,81
n = 21

تحقّق

a20 = 0,227997 ≥ 0,2
a21 = 0,193798 < 0,2

الإجابة

n = 21
مثال 2متوسطة
kSn​12345678910S = ?

جد المجموع S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

المطلوب: S

أظهر التلميحات
  1. الكسور الجزئية: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. اكتب الحدود القليلة الأولى: يُختزل معظمها (مجموع متداخل telescoping).
  3. الباقي هو (12/3)·(1 + … + 1/3).
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

التقارب: إذا لم تؤول الحدود إلى 0 فالمتسلسلة متباعدة (اختبار الحد النوني). Σ1/kᵖ تتقارب فقط عندما p > 1، و Σrᵏ فقط عندما |r| < 1. قارن متسلسلة بإحداهما عندما تسلك حدودها سلوكهما لـ k كبيرة. اختبار النسبة: L = lim |ak+1/ak|؛ اختبار الجذر: L = lim |ak|1/k. L < 1 تتقارب، L > 1 تتباعد، L = 1 لا يحسم شيئًا. متسلسلة القوى Σck(x − x₀)ᵏ تتقارب لـ |x − x₀| < R مع R = lim |ck/ck+1|؛ والمتسلسلة المتناوبة التي تتناقص حدودها إلى 0 تتقارب.

الكسور الجزئية

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

إلغاء

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

الإجابة

S = 7,333
مثال 3صعبة

تُقرَّب f(x) = cos x عند x = 1 بكثيرة حدود ماكلورين من الدرجة n. مع حد لاغرانج M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! و M = 1، جد أصغر درجة n تضمن خطأً أقل من 1 × 10⁻⁶.

f(x) = cos xx = 1M = 1ε = 1 × 10⁻⁶

المطلوب: n

أظهر التلميحات
  1. جرّب n = 1, 2, 3, … واحسب 1·1ⁿ⁺¹/(n + 1)! في كل مرة.
  2. يتزايد المضروب بسرعة، فتكفي بضع خطوات.
  3. توقف عند أول n يكون فيه الحد أقل من 1 × 10⁻⁶.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

n(n + 1)!الحد011120,5260,16673240,0416741200,00833357200,001389650400,00019847403202,48 × 10⁻⁵83628802,756 × 10⁻⁶936288002,756 × 10⁻⁷

الحدود لقيم n متزايدة

n = 8: 2,756 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 9: 2,756 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶

أصغر درجة

n = 9

الإجابة

n = 9

أسئلة وأجوبة

ما هو المتتاليات والمتسلسلات؟

تضيف المتتالية الحسابية الفرق نفسه d في كل خطوة: 3, 7, 11, 15, … لها d = 4.

لـ 3, 7, 11, …: a₂₀ = 3 + 19·4 = 79 و S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 820. لاحظ n − 1: من الحد الأول إلى الحد العشرين توجد 19 خطوة فقط.

كيف تحل مسائل المتتاليات والمتسلسلات خطوة بخطوة؟
  1. حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
  2. للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
  3. للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
  4. لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
ما الأخطاء الشائعة في المتتاليات والمتسلسلات؟
  • استخدام n بدل n − 1 في aₙ = a₁ + (n − 1)d أو a₁rⁿ⁻¹.
  • استخدام صيغة المجموع اللانهائي عندما |r| ≥ 1، أو مع حد أول خاطئ.
  • استنتاج التقارب لمجرد أن الحدود تؤول إلى 0.
  • قلب نهاية اختبار النسبة: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|، لا مقلوبها.
  • نسيان المضروبات أو الإشارات المتناوبة في كثيرة حدود تايلور.
ماذا تغطي تمارين المتتاليات والمتسلسلات؟
  • سهلة: المتسلسلات الحسابية والهندسية
  • متوسطة: التقارب ومتسلسلات القوى
  • صعبة: كثيرات حدود تايلور وماكلورين

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

النهاياتالمشتقات

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

الرياضيات الهندسية 2التفاضل والتكامل 2الطرائق العدديةمسائل تدريب AP Calculus

مواضيع أخرى في الرياضيات والإحصاء

النهاياتالمشتقاتالتحسين (القيم القصوى)التكاملاتالتفاضل والتكامل لعدة متغيراتالمعادلات التفاضليةالأعداد المركبةالطرائق العدديةالمصفوفات والمحدداتالمتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيالمنطق القضوي والبراهينالمجموعات والعلاقات والدوالنظرية البياناتنظرية الأعداد والحساب المودوليالاحتمالالإحصاء الوصفيالتوزيع الطبيعيفترات الثقةاختبارات الفرضيات وفترات الثقةالانحدار الخطي والارتباطاختبارات مربع كاي

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل المتتاليات والمتسلسلات مع الإجابات
تدرّب على المتتاليات والمتسلسلات مجانًاتدرّب على المتتاليات والمتسلسلات الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.