الطرائق العددية: مسائل تدريبية وأسئلة امتحانات

حساب إجابات لا صيغة لها: جذور المعادلات بالتنصيف ونيوتن–رافسون، والاستيفاء في الجداول، والتكامل العددي بقاعدتي شبه المنحرف وسيمبسون، والمعادلات التفاضلية بأويلر وهوين ورونج–كوتا. تطلب الامتحانات بضع تكرارات في جدول ومقدار الخطأ.

تدرّب على هذا المقرّر مجانًاتدرّب على هذا المقرّرخُض امتحانًا تجريبيًا5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

حزمة المراجعة المكثفة (PDF)أوراق قوانين وخطوات الحل ومسائل تدريبية بحلولها الكاملة، جاهزة للطباعة.

مواضيع هذا المقرّر

  1. الطرائق العدديةالجذور والاستيفاء · قاعدتا شبه المنحرف وسيمبسون · أويلر وهوين ورونج–كوتاحسابات
  2. المتتاليات والمتسلسلاتالمتسلسلات الحسابية والهندسية · التقارب ومتسلسلات القوى · كثيرات حدود تايلور وماكلورينحسابات
  3. المصفوفات والمحدداتمحدد 2×2 · 3×3 والضرب · القيم الذاتية والأنظمةحسابات
  4. المعادلات التفاضليةالنمو والاضمحلال الأسّي · قانون نيوتن للتبريد · الخطية من الرتبة الأولىحسابات

نصائح امتحان الطرائق العددية

  • احتفظ بستة أرقام معنوية على الأقل في كل تكرار وقرّب الجواب النهائي فقط.
  • اكتب أوزان قاعدة التكامل تحت جدول القيم قبل أن تجمع أي شيء.
  • استخدم كثيرات حدود تايلور لتفسير الخطأ: خطأ أويلر يتناسب مع h، وخطأ سيمبسون مع h⁴.

أمثلة محلولة

الطرائق العدديةسهلة

تبدأ طريقة التنصيف على مجال طوله 4. كل خطوة تنصّف المجال. كم خطوة n لازمة على الأقل قبل أن يصبح المجال أقصر من 0,0001؟

b − a = 4ε = 0,0001

المطلوب: n

أظهر التلميحات
  1. بعد n خطوة يكون طول المجال (b − a)/2ⁿ.
  2. حلّ 4/2ⁿ < 0,0001، أي 2ⁿ > 40000.
  3. n > log₂(40000) = 15,29
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

إيجاد الجذور والاستيفاء: تحتفظ طريقة التنصيف بمجال [a, b] تغيّر عليه f إشارتها؛ وتأخذ كل خطوة نقطة المنتصف c = (a + b)/2 وتحتفظ بالنصف الذي ما زالت الإشارة تتغير فيه، فبعد n خطوة يكون عرض المجال (b − a)/2ⁿ. وتتبع طريقة نيوتن–رافسون المماس إلى المحور: xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn)؛ وقرب جذر بسيط تضاعف تقريبًا عدد الأرقام الصحيحة في كل خطوة. الاستيفاء الخطي بين نقطتين من جدول: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁).

الشرط

4/2ⁿ < 0,0001 → 2ⁿ > 40000

اللوغاريتم

n > ln(40000)/ln 2 = 15,29
n = 16

تحقّق

2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536

الإجابة

n = 16
المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة
kSn​12345678910S = ?

جد المجموع S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

المطلوب: S

أظهر التلميحات
  1. الكسور الجزئية: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. اكتب الحدود القليلة الأولى: يُختزل معظمها (مجموع متداخل telescoping).
  3. الباقي هو (12/3)·(1 + … + 1/3).
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

التقارب: إذا لم تؤول الحدود إلى 0 فالمتسلسلة متباعدة (اختبار الحد النوني). Σ1/kᵖ تتقارب فقط عندما p > 1، و Σrᵏ فقط عندما |r| < 1. قارن متسلسلة بإحداهما عندما تسلك حدودها سلوكهما لـ k كبيرة. اختبار النسبة: L = lim |ak+1/ak|؛ اختبار الجذر: L = lim |ak|1/k. L < 1 تتقارب، L > 1 تتباعد، L = 1 لا يحسم شيئًا. متسلسلة القوى Σck(x − x₀)ᵏ تتقارب لـ |x − x₀| < R مع R = lim |ck/ck+1|؛ والمتسلسلة المتناوبة التي تتناقص حدودها إلى 0 تتقارب.

الكسور الجزئية

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

إلغاء

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

الإجابة

S = 7,333

كيف يعمل التدريب

  • يمزج «تدرّب على هذا المقرّر» مسائل من كل مواضيعه، كما في امتحان حقيقي.
  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • الامتحانات التجريبية محدّدة بوقت ومن دون تلميحات، وتحصل في النهاية على درجتك ومراجعة كاملة.

آلات حاسبة لهذا المقرّر

حاسبة محدِّد المصفوفة ومعكوسهاحاسبة القيم الذاتية والمتجهات الذاتيةحاسبة عمر النصف والاضمحلال الأسّيحلّال أنظمة المعادلات الخطية (2×2 و3×3)

مقرّرات ذات صلة

الرياضيات الهندسية 2الرياضيات الهندسيةالمعادلات التفاضليةالتفاضل والتكامل 2مسائل تدريب AP Calculusالتفاضل والتكامل 1مبادئ الإحصاءالإحصاء 2: الاستدلال الإحصائي
تدرّب على هذا المقرّر مجانًاتدرّب على هذا المقرّرخُض امتحانًا تجريبيًا5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.