المصفوفات والمحددات: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في المصفوفات والمحددات مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: محدد 2×2, 3×3 والضرب, القيم الذاتية والأنظمة.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
A =9−6−8−5

أوجد المحدد det A للمصفوفة A المعروضة.

A = [9 −6; −8 −5]

إجابة دقيقة: عدد صحيح، دون تقريب.

المسألة التالية →
تدرّب على المصفوفات والمحددات مجانًاتدرّب على المصفوفات والمحددات الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةمحدد 2×2
  2. متوسطة3×3 والضرب
  3. صعبةالقيم الذاتية والأنظمة

الصيغ الأساسية

محدد 2×2
det = ad − bc
معكوس مصفوفة 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
المنتج
(AB)ij = Σk AikBkj
القيم الذاتية
det(A − λI) = 0
قاعدة كرامر
xi = det(Ai)/det(A)

تعلّم المصفوفات والمحددات من البداية

1المصفوفات والمحدد 2×2

المصفوفة جدول أعداد في صفوف وأعمدة. والمصفوفة ذات صفين وثلاثة أعمدة تسمى مصفوفة 2×3: الصفوف أولًا ثم الأعمدة.

يستخدم المهندسون المصفوفات لكتابة معادلات كثيرة دفعة واحدة. فالنظام 2x + y = 5 وx − y = 1 يُخزَّن على شكل مصفوفة معاملاته [2 1; 1 −1].

للمصفوفة المربعة عدد خاص هو محدّدها، ويُكتب det A. وفي المصفوفة 2×2 هو حاصل ضرب أحد القطرين ناقص حاصل ضرب القطر الآخر.

abcdA =+ad−bc
det A = a·d − b·c

للمصفوفة [3 1; 2 4] المحدد 3·4 − 1·2 = 10.

إذا كان det A = 0، فلا معكوس للمصفوفة، وليس لنظام المعادلات حل وحيد.

تحقّق ذاتي كم محدد [4 2; 3 5]؟ (الصف 1 هو 4 2، والصف 2 هو 3 5.)
  1. 14
  2. 26
  3. 9
  4. −14

الإجابة: 14. a·d − b·c = 4·5 − 2·3 = 20 − 6 = 14. وجمع الحاصلين يعطي 26، وأخذ bc − ad يعطي −14.

2المحددات 3×3 والضرب

في المصفوفة 3×3، فُكَّ على امتداد الصف الأول. يُضرب كل عنصر في مُصغَّره: المحدد 2×2 الباقي عند شطب صف ذلك العنصر وعموده.

det A = a11·M11 − a12·M12 + a13·M13

تسير الإشارات + − + على امتداد الصف الأول. وهذا النمط من الإشارات هو أسهل ما يُنسى.

حاصل ضرب المصفوفتين AB يُبنى من صفوف A وأعمدة B. العنصر في الصف i والعمود j هو الصف i من A مضروبًا في العمود j من B: اضرب الأزواج واجمع.

[1 2; 3 4] · [5; 6] = [1·5 + 2·6; 3·5 + 4·6] = [17; 39]

لا يوجد حاصل الضرب إلا إذا كان عدد أعمدة A يساوي عدد صفوف B. وبوجه عام AB لا تساوي BA.

تحقّق ذاتي A = [2 1; 0 3] وB = [1 4; 2 1]. ما العنصر في الصف 1 والعمود 2 من AB؟
  1. 13
  2. 4
  3. 6
  4. 9

الإجابة: 9. الصف 1 من A هو (2, 1) والعمود 2 من B هو (4, 1): 2·4 + 1·1 = 9. وضرب العناصر المتناظرة فقط يعطي 1·4 = 4، و13 هو العنصر في BA.

3القيم الذاتية والأنظمة

القيمة الذاتية λ للمصفوفة A عدد يحقق A·v = λ·v لمتجه ما v ≠ 0. المصفوفة تمدّد ذلك المتجه فقط ولا تديره.

تجد القيم الذاتية من المعادلة المميِّزة. وهنا I هي مصفوفة الوحدة [1 0; 0 1].

det(A − λI) = 0

وللمصفوفة 2×2 تصبح معادلة تربيعية. معاملها الأوسط هو الأثر a + d وحدها الثابت det A:

λ² − (a + d)·λ + (ad − bc) = 0

للمصفوفة [4 1; 2 3]: λ² − 7λ + 10 = 0، إذن (λ − 2)(λ − 5) = 0 والقيمتان الذاتيتان 2 و5.

تحلّ قاعدة كرامر نظامًا بالمحددات. استبدل العمود i من A بالطرف الأيمن لتحصل على Ai، ثم xi = det Ai / det A.

للنظام 2x + y = 5 وx − y = 1: det A = −3 وdet Ax = 5·(−1) − 1·1 = −6، إذن x = −6/−3 = 2.

تحقّق ذاتي ما القيمة الذاتية الأكبر للمصفوفة [2 1; 1 2]؟
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

الإجابة: 3. λ² − 4λ + 3 = 0 تعطي (λ − 1)(λ − 3) = 0، فالقيمتان الذاتيتان 1 و3. أما 4 فهو الأثر، وهو مجموع القيمتين الذاتيتين، وليس إحداهما.

4الطريقة خطوة بخطوة

  1. انسخ المصفوفة بعناية مع كل إشارة سالبة.
  2. المحدد 2×2: ad − bc.
  3. المحدد 3×3: لكل عنصر في الصف الأول، اشطب صفه وعموده وأوجد المُصغَّر 2×2.
  4. اجمع بالإشارات + − +: a11M11 − a12M12 + a13M13.
  5. القيم الذاتية: اكتب λ² − (a + d)λ + det A = 0 وحُلّ المعادلة التربيعية.
  6. تحقّق: صف كله أصفار، أو صفان متساويان، يعطي دائمًا det A = 0.

نصيحة: فُكَّ على امتداد صف أو عمود فيه أصفار كثيرة. كل عنصر يساوي صفرًا يوفّر عليك مُصغَّرًا.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

أوجد محدد المصفوفة 3×3 A = [2 1 0; 1 3 1; 0 2 4].

1

المُصغَّر الأول

210131024A =

اشطب الصف 1 والعمود 1 للعنصر 2. الباقي هو [3 1; 2 4].

M11 = 3·4 − 1·2 = 10
2

المُصغَّر الثاني

210131024A =

اشطب الصف 1 والعمود 2 للعنصر 1. الباقي هو [1 1; 0 4].

M12 = 1·4 − 1·0 = 4
3

المُصغَّر الثالث

العنصر a13 يساوي 0، فحدّه 0 مهما كان المُصغَّر. يمكنك تخطيه.

4

اجمع بـ + − +

det A = 2·10 − 1·4 + 0 = 20 − 4 = 16
5

تحقّق من الإجابة

في المصفوفات 3×3 تعطي قاعدة ساروس القيمة نفسها: ثلاثة حواصل ضرب لأقطار «نازلة» ناقص ثلاثة حواصل ضرب لأقطار «صاعدة».

(2·3·4 + 1·1·0 + 0·1·2) − (0·3·0 + 2·1·2 + 1·1·4) = 24 − 8 = 16
الإجابة

det A = 16

6أخطاء شائعة

  • نسيان الإشارة السالبة للحد الأوسط في فك 3×3.
  • حساب bc − ad بدلًا من ad − bc.
  • فقدان إشارة سالبة عندما يكون العنصر سالبًا: −2 · −3 تساوي +6.
  • ضرب المصفوفات عنصرًا بعنصر بدلًا من صف في عمود.
  • اعتبار الأثر أو عنصر قطري قيمة ذاتية بدلًا من حل المعادلة المميِّزة.
تحقّق ذاتي كم محدد [1 2 0; 3 1 0; 0 0 2]؟
  1. 10
  2. 14
  3. −10
  4. −14

الإجابة: −10. det = 1·(1·2 − 0) − 2·(3·2 − 0) + 0 = 2 − 12 = −10. واستخدام + للحد الأوسط يعطي 2 + 12 = 14، وهي الزلّة الأشيع.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: محدد مصفوفة 2×2، غالبًا بعناصر سالبة. استخدم ad − bc.
  • متوسط: محدد 3×3 أو حاصل ضرب مصفوفتين. فُكَّ على امتداد الصف الأول بـ + − +.
  • صعب: القيم الذاتية لمصفوفة 2×2، أو مجهول واحد من نظام 2×2 بقاعدة كرامر.

فحص سريع للقيم الذاتية: يجب أن يكون مجموعها الأثر a + d وحاصل ضربها det A.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
A =1−8−10

أوجد المحدد det A للمصفوفة A المعروضة.

A = [1 −8; −1 0]

المطلوب: det A

أظهر التلميحات
  1. لمصفوفة 2×2، det = ad − bc.
  2. يقع a و d على القطر الرئيسي، و b و c على القطر الآخر.
  3. ad = 0.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.

حاصلا ضرب القطرين

ad − bc = 1·0 − (−8)·(−1) = 0 − 8 = −8

الإجابة

det A = −8
مثال 2متوسطة
A =−153−5−1−3−513

أوجد المحدد det A للمصفوفة A ذات 3×3 المعروضة.

A = [−1 5 3; −5 −1 −3; −5 1 3]

المطلوب: det A

أظهر التلميحات
  1. انشر على الصف الأول بالإشارات + − +.
  2. كل حد هو عنصر مضروب في محدد 2×2 المتبقي عند شطب صفه وعموده.
  3. المصغّرات: 0, −30, −10.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.

مصغّرات 2×2 للصف الأول

M₁₁ = 0, M₁₂ = −30, M₁₃ = −10

النشر بالمعاملات المرافقة

det A = (−1)·0 − 5·(−30) + 3·(−10) = 120

الإجابة

det A = 120
مثال 3صعبة
A =−3−5−2−4b =19

حُلّ النظام −3x − 5y = 1 و −2x − 4y = 9. أوجد x.

−3x − 5y = 1−2x − 4y = 9

المطلوب: x

أظهر التلميحات
  1. قاعدة كرامر: x = det(Aₓ)/det(A)، حيث استُبدل العمود الأول في Aₓ بالطرف الأيمن.
  2. det A = 2.
  3. det Aₓ = 41.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.

محدد مصفوفة المعاملات

det A = (−3)·(−4) − (−5)·(−2) = 2

استبدل عمود x

det Aₓ = 1·(−4) − (−5)·9 = 41
x = 41/2 = 20,5

الإجابة

x = 20,5
y = −12,5

أسئلة وأجوبة

ما هو المصفوفات والمحددات؟

يستخدم المهندسون المصفوفات لكتابة معادلات كثيرة دفعة واحدة. فالنظام 2x + y = 5 وx − y = 1 يُخزَّن على شكل مصفوفة معاملاته [2 1; 1 −1].

للمصفوفة المربعة عدد خاص هو محدّدها، ويُكتب det A. وفي المصفوفة 2×2 هو حاصل ضرب أحد القطرين ناقص حاصل ضرب القطر الآخر.

كيف تحل مسائل المصفوفات والمحددات خطوة بخطوة؟

المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.

ماذا تغطي تمارين المصفوفات والمحددات؟
  • سهلة: محدد 2×2
  • متوسطة: 3×3 والضرب
  • صعبة: القيم الذاتية والأنظمة

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

الآلات الحاسبة

حاسبة محدِّد المصفوفة ومعكوسهاحاسبة القيم الذاتية والمتجهات الذاتيةحلّال أنظمة المعادلات الخطية (2×2 و3×3)

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

الرياضيات الهندسيةالرياضيات الهندسية 2الطرائق العددية

مواضيع أخرى في الرياضيات والإحصاء

النهاياتالمشتقاتالتحسين (القيم القصوى)التكاملاتالمتتاليات والمتسلسلاتالتفاضل والتكامل لعدة متغيراتالمعادلات التفاضليةالأعداد المركبةالطرائق العدديةالمتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيالمنطق القضوي والبراهينالمجموعات والعلاقات والدوالنظرية البياناتنظرية الأعداد والحساب المودوليالاحتمالالإحصاء الوصفيالتوزيع الطبيعيفترات الثقةاختبارات الفرضيات وفترات الثقةالانحدار الخطي والارتباطاختبارات مربع كاي

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل المصفوفات والمحددات مع الإجابات
تدرّب على المصفوفات والمحددات مجانًاتدرّب على المصفوفات والمحددات الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.