اختبارات مربع كاي: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في اختبارات مربع كاي مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: جودة المطابقة, اختبار الاستقلالية, القرار بالقيمة الحرجة.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
اللونحمراءبرتقاليأصفرخضراءزرقاءالمشاهَد6129442145المدّعى30%20%20%15%15%

يدّعي مصنع حلوى نسب الألوان المبيّنة في الجدول. عيّنة عشوائية من 200 حبة حلوى تعطي التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي لجودة المطابقة χ² للفرضية H₀: النسب المدّعاة صحيحة.

n = 200k = 5
المسألة التالية →
تدرّب على اختبارات مربع كاي مجانًاتدرّب على اختبارات مربع كاي الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةجودة المطابقة
  2. متوسطةاختبار الاستقلالية
  3. صعبةالقرار بالقيمة الحرجة

الصيغ الأساسية

إحصائية الاختبار
χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار
ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit

تعلّم اختبارات مربع كاي من البداية

قبل هذا: اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

1ماذا يفعل اختبار مربع كاي

يقارن اختبار مربع كاي (χ²) أعدادًا. ويسأل هل تختلف الأعداد التي تلاحظها عن الأعداد التي تتوقعها بأكثر من مجرد الصدفة.

مثال: ترمي حجر نرد 60 مرة. إذا كان عادلًا، يجب أن يظهر كل وجه نحو 60 · 1/6 = 10 مرات. هذه هي الأعداد المتوقعة E.

تلاحظ 8 و12 و9 و11 و6 و14. هذه هي الأعداد المشاهَدة O. وهي لا تساوي 10 تمامًا أبدًا، حتى لو كان النرد عادلًا. والسؤال هو هل ابتعدت كثيرًا.

كما في كل اختبار فرضيات، تقول H₀ إنه لا يحدث شيء خاص: النرد عادل، أو المتغيران مستقلان.

تحقّق ذاتي يُرمى حجر نرد 120 مرة لاختبار هل هو عادل. ما العدد المتوقع لكل وجه؟
  1. 1/6
  2. 120
  3. 20
  4. 6

الإجابة: 20. E = n · p = 120 · 1/6 = 20. الاحتمال 1/6 ليس عددًا؛ يجب أن تضربه في عدد الرميات.

2إحصاءة الاختبار

لكل فئة، خذ الفرق O − E ثم ربّعه واقسمه على E. ثم اجمع على كل الفئات:

χ² = Σ (O − E)² / E

التربيع يجعل كل حد موجبًا. والقسمة على E تجعل فرقًا قدره 4 أهم حين كان المتوقع 10 فقط مما لو كان المتوقع 1000.

للنرد: (8 − 10)²/10 + (12 − 10)²/10 + … + (14 − 10)²/10 = (4 + 4 + 1 + 1 + 16 + 16)/10 = 4,2.

درجات الحرية في اختبار جودة المطابقة هذا هي df = k − 1، حيث k عدد الفئات. ستة أوجه تعطي df = 5.

χ² الكبيرة تعني أن البيانات تطابق H₀ بصورة سيئة. ارفض H₀ إذا كانت χ² أكبر من القيمة الحرجة من الجدول. عند α = 0,05:

  • df 1: 3,841, df 2: 5,991, df 3: 7,815
  • df 4: 9,488, df 5: 11,070, df 6: 12,592

للنرد، 4,2 أقل من 11,070، فلا دليل على أنه غير عادل.

تحقّق ذاتي في فئة ما O = 14 وE = 10. كم تضيف إلى χ²؟
  1. 0,4
  2. 1,6
  3. 16
  4. 4

الإجابة: 1,6. (14 − 10)²/10 = 16/10 = 1,6. نسيان التربيع يعطي 0,4، ونسيان القسمة على E يعطي 16.

3اختبار الاستقلال

جدول الاقتران يعدّ الحالات حسب متغيرين في آن واحد، مثل المعالجة (الصفوف) والنتيجة (الأعمدة). H₀: المتغيران مستقلان.

إذا كانا مستقلين، فإن العدد المتوقع في كل خلية ينتج من المجاميع:

E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي

ثم تُحسب χ² بالصيغة نفسها السابقة، على كل خلية في الجدول، دون المجاميع.

df = (r − 1)(c − 1)

هنا r عدد الصفوف وc عدد الأعمدة، دون احتساب المجاميع. والجدول 2×2 له df = 1.

تحقّق ذاتي في جدول مجموعه الكلي 120، لخلية ما مجموع صفها 40 ومجموع عمودها 30. ما عددها المتوقع؟
  1. 10
  2. 1200
  3. 3
  4. 70

الإجابة: 10. E = 40 · 30 / 120 = 1200/120 = 10. القيمة 1200 تنسى القسمة على المجموع الكلي.

4الطريقة خطوة بخطوة

  1. اذكر H₀: النسب المدّعاة صحيحة (جودة المطابقة)، أو المتغيران مستقلان.
  2. احسب كل الأعداد المتوقعة: E = n · p، أو مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي.
  3. لكل خلية احسب (O − E)²/E. اجمعها كلها لتحصل على χ².
  4. أوجد df: k − 1 لجودة المطابقة، و(r − 1)(c − 1) للاستقلال.
  5. ابحث عن القيمة الحرجة لذلك df عند α = 0,05.
  6. ارفض H₀ إذا كانت χ² أكبر من القيمة الحرجة. واذكر الاستنتاج بالكلمات.

تحقق: الأعداد المتوقعة في كل صف وعمود تجمع إلى المجاميع نفسها للأعداد المشاهَدة.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

في تجربة، يتلقى 120 مريضًا دواءً جديدًا (الصف A) ويتلقى 100 دواءً وهميًا (الصف B). يعدّ العمود 1 المرضى الذين تحسّنوا، والعمود 2 الذين لم يتحسنوا. اختبر عند α = 0,05 هل النتيجة مستقلة عن المعالجة.

1

اقرأ الجدول

12ΣABΣ56641205446100110110220

مجموعا الصفين: 120 و100. مجموعا العمودين: 110 و110. المجموع الكلي: 220.

2

التكرارات المتوقَّعة

EA1 = 120 · 110 / 220 = 60, EA2 = 60
EB1 = 100 · 110 / 220 = 50, EB2 = 50
12ΣABΣ56(60)64(60)12054(50)46(50)100110110220
3

الإحصاءة

χ² = (56 − 60)²/60 + (64 − 60)²/60 + (54 − 50)²/50 + (46 − 50)²/50
χ² = 0,267 + 0,267 + 0,32 + 0,32 = 1,173
4

درجات الحرية والقيمة الحرجة

df = (2 − 1)(2 − 1) = 1, χ²crit = 3,841
5

قرّر

3,8415%1,17χ²

1,173 أصغر من 3,841، فلا تقع χ² في منطقة الرفض. لا ترفض H₀.

الإجابة

χ² ≈ 1,17 < 3,841: لا دليل معنوي على أن التحسن يعتمد على المعالجة.

6أخطاء شائعة

  • استخدام النسب المئوية أو النسب بدل الأعداد. تعمل χ² مع الأعداد فقط.
  • القسمة على O بدل E.
  • إدخال صف أو عمود المجاميع في الجمع.
  • استخدام df خاطئة: في الجدول هي (r − 1)(c − 1)، لا عدد الخلايا ناقص واحد.
  • رفض H₀ حين تكون χ² أصغر من القيمة الحرجة. χ² الكبيرة وحدها دليل ضد H₀.
تحقّق ذاتي يستخدم اختبار استقلال جدولًا من 3 صفوف و4 أعمدة (دون احتساب المجاميع). كم درجة حرية له؟
  1. 11
  2. 12
  3. 5
  4. 6

الإجابة: 6. df = (3 − 1)(4 − 1) = 2 · 3 = 6. القيمة 11 هي عدد الخلايا ناقص واحد، أي قاعدة جودة المطابقة طُبقت على جدول بالخطأ.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: جودة المطابقة. أعداد أوجه نرد أو ألوان حلوى مقابل نسب مدّعاة؛ احسب χ².
  • متوسط: اختبار الاستقلال. احسب الأعداد المتوقعة من المجاميع، ثم χ²، دون تصحيح الاستمرارية.
  • صعب: قرار القيمة الحرجة. أوجد df والقيمة الحرجة χ²crit عند α = 0,05 من الجدول.

فحص سريع: χ² لا تكون سالبة أبدًا، وتساوي 0 فقط حين يساوي كل عدد مشاهَد عدده المتوقع.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
الوجه123456المشاهَد534862505433

يُرمى حجر نرد 300 مرة لاختبار ما إذا كان عادلًا. تكرارات كل وجه مبيّنة. احسب إحصاءة مربع كاي لجودة المطابقة χ² للفرضية H₀: احتمال كل وجه 1/6.

n = 300k = 6

المطلوب: χ²

أظهر التلميحات
  1. التكرارات المتوقَّعة تحت H₀: E = n·p لكل فئة.
  2. E = 50, 50, 50, 50, 50, 50.
  3. اجمع (O − E)²/E على كل الفئات.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

E = 300·p = 50, 50, 50, 50, 50, 50

إحصاءة مربع كاي

χ² = (53 − 50)²/50 + (48 − 50)²/50 + (62 − 50)²/50 + (50 − 50)²/50 + (54 − 50)²/50 + (33 − 50)²/50
χ² = 9,24

الإجابة

χ² = 9,24

df = 5. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 11,070، لذا فإن H₀ غير مرفوضة.

مثال 2متوسطة
سعاللا سعالالمجموعالمدخّنون334780غير المدخّنين3961100المجموع72108180

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1802 × 2

المطلوب: χ²

أظهر التلميحات
  1. التكرار المتوقَّع لكل خلية: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي.
  2. E = 32, 48 | 40, 60.
  3. اجمع (O − E)²/E على كل الخلايا الـ 4.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

المدخّنون: 80·72/180 = 32, 80·108/180 = 48
غير المدخّنين: 100·72/180 = 40, 100·108/180 = 60

إحصاءة مربع كاي

χ² = (33 − 32)²/32 + (47 − 48)²/48 + (39 − 40)²/40 + (61 − 60)²/60
χ² = 0,09375

الإجابة

χ² = 0,09375

df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.

مثال 3صعبة

يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 2 صفوف و 6 أعمدة (دون احتساب المجاميع). كم درجة حرية df للاختبار؟

2 × 6

المطلوب: df

أظهر التلميحات
  1. تعدّ درجات الحرية عدد الخلايا التي يمكن أن تتغيّر بحرية بعد تثبيت المجاميع (وأي معلَمات مقدَّرة).
  2. جودة المطابقة: k − 1، ناقص واحد لكل معلَمة مقدَّرة.
  3. الاستقلالية: (r − 1)(c − 1).
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

درجات الحرية

df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5

الإجابة

df = 5

أسئلة وأجوبة

ما هو اختبارات مربع كاي؟

يقارن اختبار مربع كاي (χ²) أعدادًا. ويسأل هل تختلف الأعداد التي تلاحظها عن الأعداد التي تتوقعها بأكثر من مجرد الصدفة.

مثال: ترمي حجر نرد 60 مرة. إذا كان عادلًا، يجب أن يظهر كل وجه نحو 60 · 1/6 = 10 مرات. هذه هي الأعداد المتوقعة E.

كيف تحل مسائل اختبارات مربع كاي خطوة بخطوة؟

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

ما الأخطاء الشائعة في اختبارات مربع كاي؟
  • اقسم كل فرق مربّع على التكرار المتوقَّع E، لا على التكرار المشاهَد O.
  • اقسم كل فرق مربّع على تكراره المتوقَّع E قبل الجمع، لا المجموع على n.
  • التكرارات المتوقَّعة تأتي من المجاميع الهامشية، لا من توزيع المجموع بالتساوي: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي.
ماذا تغطي تمارين اختبارات مربع كاي؟
  • سهلة: جودة المطابقة
  • متوسطة: اختبار الاستقلالية
  • صعبة: القرار بالقيمة الحرجة

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الآلات الحاسبة

حاسبة اختبار مربع كاي لجودة المطابقة

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

مناهج البحث والإحصاء في علم النفسالإحصاء 2: الاستدلال الإحصائيمسائل تدريب AP Statistics

مواضيع أخرى في الرياضيات والإحصاء

النهاياتالمشتقاتالتحسين (القيم القصوى)التكاملاتالمتتاليات والمتسلسلاتالتفاضل والتكامل لعدة متغيراتالمعادلات التفاضليةالأعداد المركبةالطرائق العدديةالمصفوفات والمحدداتالمتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيالمنطق القضوي والبراهينالمجموعات والعلاقات والدوالنظرية البياناتنظرية الأعداد والحساب المودوليالاحتمالالإحصاء الوصفيالتوزيع الطبيعيفترات الثقةاختبارات الفرضيات وفترات الثقةالانحدار الخطي والارتباط

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل اختبارات مربع كاي مع الإجابات
تدرّب على اختبارات مربع كاي مجانًاتدرّب على اختبارات مربع كاي الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.