اختبارات الفرضيات وفترات الثقة: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في اختبارات الفرضيات وفترات الثقة مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: إحصائية z, إحصائية t, فترات الثقة.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
μ₀x̄c = ?α = 0,05

يزعم مورّد أن متوسط مقاومة الكسر لكابل 50 kN؛ وتشكّ أنه أعلى. الانحراف المعياري معلوم ويساوي 8 kN. ستأخذ عينة من 25 كابلًا وتختبر H₀: μ = 50 kN مقابل H₁: μ > 50 kN عند α = 0,05. فوق أيّ متوسط عينة x̄c سترفض H₀؟

μ₀ = 50 kNσ = 8 kNn = 25α = 0,05
kN
المسألة التالية →
تدرّب على اختبارات الفرضيات وفترات الثقة مجانًاتدرّب على اختبارات الفرضيات وفترات الثقة الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةإحصائية z
  2. متوسطةإحصائية t
  3. صعبةفترات الثقة

كيف تحلّ مسائل اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

  1. اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
  2. احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
  3. قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
  4. ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

أخطاء شائعة

  • استخدام قيمة حرجة أحادية الطرف لاختبار ثنائي الطرف.
  • القول إن H₀ ثبتت صحتها عندما لا تُرفض.
  • نسيان √n في الخطأ المعياري.

الصيغ الأساسية

اختبار z للمتوسط
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%
ارفض H0 إذا |z| > 1,96
فترة الثقة
x̄ ± z·σ/√n

تعلّم اختبارات الفرضيات وفترات الثقة من البداية

قبل هذا: فترات الثقة

1فكرة الاختبار

يجب أن تملأ آلة زجاجات بمتوسط 500 mL. عينة من الزجاجات متوسطها 496 mL. هل الآلة خاطئة، أم هذا مجرد صدفة؟

يجيب اختبار الفرضيات عن هذا السؤال بالأرقام. تبدأ من عبارتين:

  • الفرضية الصفرية H₀: لم يتغير شيء. هنا H₀: μ = 500.
  • الفرضية البديلة H₁: ما تشك فيه. هنا H₁: μ ≠ 500 (ذات طرفين)، أو μ < 500 إذا كان قلقك من نقص التعبئة فقط (ذات طرف واحد).

تفترض أن H₀ صحيحة وتسأل: ما مدى شذوذ هذه العينة؟ فإذا كانت شاذة جدًا، ترفض H₀.

تحقّق ذاتي يدّعي مورّد أن مقاومات منتجاته 220 Ω في المتوسط. تريد اختبار هذا الادعاء. ما H₀؟
  1. x̄ = 220 Ω
  2. μ > 220 Ω
  3. μ = 220 Ω
  4. μ ≠ 220 Ω

الإجابة: μ = 220 Ω. H₀ هي الادعاء المختبَر، وهي عن متوسط المجتمع μ. أما μ ≠ 220 Ω فهي الفرضية البديلة H₁، والفرضية لا تكون أبدًا عن متوسط العينة x̄ الذي تعرفه أصلًا.

2إحصاءة الاختبار

تقيس إحصاءة الاختبار كم يبعد متوسط العينة عن μ₀، القيمة في H₀، بوحدات الخطأ المعياري.

z = (x̄ − μ₀) / (σ / √n)

استخدم z حين يكون الانحراف المعياري للمجتمع σ معلومًا. وحين يُعلم الانحراف المعياري للعينة s فقط، استخدم t:

t = (x̄ − μ₀) / (s / √n), df = n − 1

قيمة z أو t قرب 0 تعني أن العينة تتفق مع H₀. وقيمة موجبة أو سالبة كبيرة تعني أن العينة بعيدة عن μ₀.

تحقّق ذاتي H₀: μ = 120 وσ = 8 وn = 16 وx̄ = 118. ما z؟
  1. 1
  2. −0,25
  3. −1
  4. −4

الإجابة: −1. الخطأ المعياري 8/√16 = 2، إذن z = (118 − 120)/2 = −1. القسمة على σ = 8 بدل σ/√n تعطي −0,25. الإشارة سالبة لأن x̄ أقل من μ₀.

3القرار: القيم الحرجة وقيم p

قبل أن تنظر في البيانات، اختر مستوى الدلالة α، وهو عادةً 0,05. إنه مخاطرة رفض H₀ صحيحة التي تقبلها.

لاختبار z عند α = 0,05:

  • ذو طرفين (H₁: μ ≠ μ₀): ارفض H₀ إذا |z| > 1,96.
  • ذو طرف واحد (H₁: μ > μ₀): ارفض H₀ إذا z > 1,645. ولـ μ < μ₀: ارفض إذا z < −1,645.

القيمة p هي احتمال نتيجة متطرفة بهذا القدر على الأقل إذا كانت H₀ صحيحة. ارفض H₀ حين p < α.

عدم رفض H₀ لا يثبتها. إنه يعني فقط أن البيانات ليست دليلًا قويًا بما يكفي ضدها.

يتفق الاختبار وفاصل الثقة: اختبار ذو طرفين عند 5% يرفض H₀ بالضبط حين تقع μ₀ خارج فاصل 95% x̄ ± 1,96 · σ/√n.

تحقّق ذاتي يعطي اختبار z ذو طرفين عند α = 0,05 القيمة z = 1,8. ماذا تستنتج؟
  1. H₀ ثبتت صحتها
  2. ارفض H₀
  3. ارفض H₁ واقبل H₀ كأنها ثبتت
  4. لا ترفض H₀

الإجابة: لا ترفض H₀. |1,8| أصغر من 1,96، فالنتيجة غير معنوية ولا تُرفض H₀. وهذا لا يثبت H₀؛ فالدليل ببساطة غير قوي بما يكفي.

4الطريقة خطوة بخطوة

  1. اذكر H₀ وH₁، وحدد هل الاختبار ذو طرف أو طرفين.
  2. اختر z (σ معلومة) أو t (s فقط معلومة، df = n − 1).
  3. احسب الخطأ المعياري σ/√n أو s/√n.
  4. احسب إحصاءة الاختبار (x̄ − μ₀) / الخطأ المعياري.
  5. قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
  6. اذكر الاستنتاج بالكلمات، بدلالة السؤال.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

يجب أن تملأ آلة زجاجات بمتوسط 500 mL. σ = 12 mL. عينة من 36 زجاجة متوسطها 496 mL. اختبر H₀: μ = 500 مقابل H₁: μ ≠ 500 عند α = 0,05.

1

الفرضيات

H₀: μ = 500 mL. H₁: μ ≠ 500 mL. هذا اختبار ذو طرفين، فالقيمتان الحرجتان ±1,96.

2

الخطأ المعياري

σ معلومة، لذا استخدم z.

σ / √n = 12 / √36 = 12 / 6 = 2 mL
3

إحصائية الاختبار

z = (496 − 500) / 2 = −4 / 2 = −2
4

قارن

−1,9601,962,5%2,5%95%z = −2

|−2| = 2 أكبر من 1,96، فتقع z في منطقة الرفض المظللة.

5

تحقق بفاصل

496 ± 1,96 · 2 = [492,08, 499,92]

القيمة 500 تقع خارج فاصل 95%، فيعطي الفاصل القرار نفسه.

الإجابة

z = −2. ارفض H₀ عند مستوى 5%: متوسط تعبئة الآلة يختلف عن 500 mL.

6أخطاء شائعة

  • استخدام قيمة حرجة لطرف واحد (1,645) في اختبار ذي طرفين، أو العكس.
  • القول إن H₀ ثبتت صحتها عندما لا تُرفض.
  • نسيان √n في الخطأ المعياري.
  • كتابة x̄ − μ₀ بالعكس، فتنقلب إشارة z.
  • استخدام z حين يُعلم s للعينة فقط وهي صغيرة.
تحقّق ذاتي اختبار ذو طرف واحد بـ H₁: μ > μ₀ عند α = 0,05 يعطي z = 1,8. ماذا تستنتج؟
  1. ارفض H₀، لأن 1,8 > 1,645
  2. ارفض H₀، لأن z موجبة
  3. لا ترفض H₀، لأن 1,8 < 1,96
  4. لا ترفض H₀، لأن 1,8 < 2,576

الإجابة: ارفض H₀، لأن 1,8 > 1,645. الاختبار ذو الطرف الواحد عند 5% يضع الـ 5% كلها في ذيل واحد، فالقيمة الحرجة 1,645. المقارنة بـ 1,96 تستخدم قيمة الطرفين خطأً.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: إحصاءة z. σ معلومة؛ احسب z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n).
  • متوسط: إحصاءة t. المعطى الانحراف المعياري للعينة s فقط؛ احسب t = (x̄ − μ₀)/(s/√n).
  • صعب: فواصل الثقة. أوجد الحد الأدنى أو الأعلى لـ x̄ ± z · σ/√n عند 95% أو 99%.

فحص سريع: إذا كانت x̄ أقل من μ₀ فيجب أن تكون إحصاءة الاختبار سالبة.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
z −1,9601,96

يُفترض أن تملأ آلة الزجاجات بـ 100 mL في المتوسط. الانحراف المعياري معلوم ويساوي 4 mL. متوسط عينة من 81 زجاجة هو 99,6 mL. أوجد إحصائية الاختبار z لـ H₀: μ = 100.

μ₀ = 100 mLx̄ = 99,6 mLσ = 4 mLn = 81

المطلوب: z

أظهر التلميحات
  1. الخطأ المعياري للمتوسط هو الانحراف المعياري مقسومًا على √n.
  2. SE = 4/√81 = 0,4444.
  3. ثم اقسم الفرق x̄ − μ₀ على الخطأ المعياري. احتفظ بالإشارة.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

إحصائية الاختبار

z = (99,6 − 100)/0,4444 = −0,9

الإجابة

z = −0,9

|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

مثال 2متوسطة
t −1,99801,998

عينة من 64 طالبًا متوسط درجاتها 504,5 وانحرافها المعياري 15. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 504,5s = 15n = 64

المطلوب: t

أظهر التلميحات
  1. الخطأ المعياري للمتوسط هو الانحراف المعياري مقسومًا على √n.
  2. SE = 15/√64 = 1,875.
  3. ثم اقسم الفرق x̄ − μ₀ على الخطأ المعياري. احتفظ بالإشارة.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

إحصائية الاختبار

t = (504,5 − 500)/1,875 = 2,4

الإجابة

t = 2,4
t0,025; df = 63 = 1,998

|t| > 1,998، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

مثال 3صعبة
z −2,57602,576

عينة من 64 قياسًا متوسطها 80. الانحراف المعياري للمجتمع 20. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 99% للمتوسط.

x̄ = 80σ = 20n = 6499%

المطلوب: L

أظهر التلميحات
  1. فترة الثقة: x̄ ± z*·σ/√n.
  2. z* = 2,576 لمستوى 99%.
  3. σ/√n = 2,5.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

هامش الخطأ

E = 2,576·20/√64 = 6,44

حد الفترة

L = 80 − 6,44 = 73,56

الإجابة

L = 73,56

أسئلة وأجوبة

ما هو اختبارات الفرضيات وفترات الثقة؟

يجب أن تملأ آلة زجاجات بمتوسط 500 mL. عينة من الزجاجات متوسطها 496 mL. هل الآلة خاطئة، أم هذا مجرد صدفة؟

يجيب اختبار الفرضيات عن هذا السؤال بالأرقام. تبدأ من عبارتين:

كيف تحل مسائل اختبارات الفرضيات وفترات الثقة خطوة بخطوة؟
  1. اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
  2. احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
  3. قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
  4. ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
ما الأخطاء الشائعة في اختبارات الفرضيات وفترات الثقة؟
  • استخدام قيمة حرجة أحادية الطرف لاختبار ثنائي الطرف.
  • القول إن H₀ ثبتت صحتها عندما لا تُرفض.
  • نسيان √n في الخطأ المعياري.
ماذا تغطي تمارين اختبارات الفرضيات وفترات الثقة؟
  • سهلة: إحصائية z
  • متوسطة: إحصائية t
  • صعبة: فترات الثقة

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

فترات الثقة

ثم تابع مع

اختبارات مربع كاي

الآلات الحاسبة

حاسبة اختبار tحاسبة القيمة الاحتمالية pحاسبة تحليل التباين ANOVA أحادي الاتجاه

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

مناهج البحث والإحصاء في علم النفسمبادئ الإحصاءالإحصاء 2: الاستدلال الإحصائيالممارسة المبنية على الأدلةمسائل تدريب AP Statisticsالتدريب على الأساليب الكمية والدخل الثابت في CFA Level I

مواضيع أخرى في الرياضيات والإحصاء

النهاياتالمشتقاتالتحسين (القيم القصوى)التكاملاتالمتتاليات والمتسلسلاتالتفاضل والتكامل لعدة متغيراتالمعادلات التفاضليةالأعداد المركبةالطرائق العدديةالمصفوفات والمحدداتالمتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيالمنطق القضوي والبراهينالمجموعات والعلاقات والدوالنظرية البياناتنظرية الأعداد والحساب المودوليالاحتمالالإحصاء الوصفيالتوزيع الطبيعيفترات الثقةالانحدار الخطي والارتباطاختبارات مربع كاي

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل اختبارات الفرضيات وفترات الثقة مع الإجابات
تدرّب على اختبارات الفرضيات وفترات الثقة مجانًاتدرّب على اختبارات الفرضيات وفترات الثقة الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.