الاحتمال: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في الاحتمال مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: نتائج متساوية الاحتمال, العدّ والأحداث المتممة, توزيع ذي الحدين.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
المجموع ≥ 4النرد 1النرد 2112345672234567833456789445678910556789101166789101112P = ?

يُرمى حجرا نرد منتظمان. ما احتمال P أن يكون المجموع 4 على الأقل؟

حجرا نرد≥ 4

أعطِ الاحتمال كعدد عشري بين 0 و 1.

المسألة التالية →
تدرّب على الاحتمال مجانًاتدرّب على الاحتمال الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةنتائج متساوية الاحتمال
  2. متوسطةالعدّ والأحداث المتممة
  3. صعبةتوزيع ذي الحدين

الصيغ الأساسية

الحدث المتمم
P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

تعلّم الاحتمال من البداية

1ما هو الاحتمال

الاحتمال عدد بين 0 و1 يبيّن مدى ترجح حدوث شيء. 0 يعني أنه لا يحدث أبدًا، و1 يعني أنه يحدث دائمًا.

حين تكون جميع النواتج متساوية الاحتمال، عُدّها:

P(A) = عدد النتائج المواتية / العدد الكلي للنتائج

كيس فيه 3 كرات حمراء و5 زرقاء وكرتان خضراوان، المجموع 10. إذا سحبت واحدة عشوائيًا فإن P(أزرق) = 5/10 = 0,5.

لحجر النرد العادل 6 أوجه، إذن P(ستة) = 1/6 ≈ 0,167 وP(زوجي) = 3/6 = 0,5.

يمكن أيضًا كتابة الاحتمال كنسبة مئوية: 0,5 هي 50%. وإجابات الامتحانات عادةً أعداد عشرية بين 0 و1.

تحقّق ذاتي كيس فيه كرتان حمراوان و8 زرقاء و4 خضراء. تسحب واحدة عشوائيًا. ما P(أحمر)؟
  1. 2/12 ≈ 0,167
  2. 2/14 ≈ 0,143
  3. 2/8 = 0,25
  4. 2

الإجابة: 2/14 ≈ 0,143. هناك 2 + 8 + 4 = 14 كرة، وكرتان منها حمراوان: 2/14 ≈ 0,143. القسمة على 12 تعدّ الكرات الأخرى فقط، لكن المجموع يجب أن يشمل الحمراء أيضًا.

2قواعد دمج الأحداث

  • المتممة: P(ليس A) = 1 − P(A). استخدمها لأسئلة «واحد على الأقل»: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء).
  • و، الأحداث المستقلة: اضرب. عملتان عادلتان تعطيان P(صورتان) = 0,5 · 0,5 = 0,25.
  • أو: P(A أو B) = P(A) + P(B) − P(A و B). اطرح التداخل حتى لا تعدّه مرتين.

السحب دون إرجاع يغيّر الكيس. بعد إخراج كرة حمراء، تنقص كرة حمراء واحدة وتنقص كرة واحدة من المجموع.

مع 5 كرات حمراء و4 زرقاء، P(كرتان حمراوان) = 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0,278.

لعدّ مجموعات لا يهم فيها الترتيب، استخدم التوافيق. عدد طرق اختيار k عنصرًا من n هو:

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

هنا n! = n · (n − 1) · … · 1. إذن C(6, 4) = 720 / (24 · 2) = 15 لجنة من 4 أشخاص من 6.

تحقّق ذاتي كيس فيه 5 كرات حمراء و4 زرقاء. تسحب كرتين دون إرجاع الأولى. ما P(كلتاهما حمراء)؟
  1. 0,139
  2. 0,278
  3. 0,309
  4. 0,556

الإجابة: 0,278. 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0,278. استخدام 5/9 · 5/9 ≈ 0,309 ينسى أن الكرة الحمراء الأولى لم تعد في الكيس.

3التوزيع ذو الحدين

تكرر بعض الأسئلة التجربة نفسها n مرة: اختبار 5 مكونات، أو تخمين 8 إجابات، أو رمي عملة 3 مرات. كل تجربة نجاح باحتمال p، باستقلال عن الأخريات.

عدد النجاحات X يتبع عندئذٍ التوزيع ذا الحدين:

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
  • pᵏ: النجاحات k.
  • (1 − p)ⁿ⁻ᵏ: الإخفاقات n − k.
  • C(n, k): عدد الترتيبات المختلفة التي يمكن أن تقع فيها النجاحات.

لـ «على الأكثر واحد»، اجمع P(X = 0) وP(X = 1). ولـ «واحد على الأقل»، استخدم 1 − P(X = 0).

تحقّق ذاتي ترمي عملة عادلة 3 مرات. ما احتمال الحصول على صورتين بالضبط؟
  1. 0,125
  2. 0,25
  3. 0,375
  4. 0,667

الإجابة: 0,375. C(3, 2) · 0,5² · 0,5 = 3 · 0,125 = 0,375. نسيان C(3, 2) يعطي 0,125: وهو ترتيب واحد فقط، مثل HHT، لكن THH وHTH تُحسبان أيضًا.

4الطريقة خطوة بخطوة

  1. اكتب ما هو ناتج واحد وكم ناتجًا في المجموع.
  2. ترجم الكلمات: «و» تعني اضرب، و«أو» تعني اجمع (ناقص التداخل)، و«ليس» تعني 1 − P.
  3. لـ «واحد على الأقل»، احسب المتممة «لا شيء» أولًا.
  4. دون إرجاع: خفّض الأعداد بعد كل سحب. أو عُدّ بالتوافيق.
  5. تجارب مستقلة متكررة باحتمال ثابت p: استخدم صيغة ذات الحدين.
  6. تحقق من أن الإجابة بين 0 و1.

يساعد مخطط الشجرة حين تكون هناك عدة خطوات: اضرب على طول فرع، واجمع الفروع التي تحتاجها.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

كيس فيه 4 كرات حمراء و6 زرقاء. تسحب كرتين دون إرجاع الأولى. ما الاحتمال P أن تكون إحداهما حمراء على الأقل؟

1

استخدم المتممة

«حمراء واحدة على الأقل» لها ثلاث حالات: أحمر-أحمر، وأحمر-أزرق، وأزرق-أحمر. وعكسها، «لا حمراء»، له حالة واحدة فقط: أزرق-أزرق.

P(حمراء واحدة على الأقل) = 1 − P(كلتاهما زرقاء)
2

السحب الأول

هناك 6 كرات زرقاء من 10.

P(الأولى زرقاء) = 6/10
3

السحب الثاني

ذهبت كرة زرقاء، فتبقى 5 كرات زرقاء من 9.

P(كلتاهما زرقاء) = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 1/3
4/10R3/9R12/906/9B24/906/10B4/9R24/905/9B30/90

في الشجرة، R كرة حمراء وB كرة زرقاء. والفرع الغامق هو أزرق-أزرق.

4

خذ المتممة

P = 1 − 1/3 = 2/3 ≈ 0,667
5

تحقّق من الإجابة

عُدّ بالتوافيق: هناك C(10, 2) = 45 زوجًا، منها C(6, 2) = 15 أزرق-أزرق. 15/45 = 1/3، وهي النتيجة نفسها السابقة.

وتجمع الفروع الثلاثة الأخرى في الشجرة إلى 12/90 + 24/90 + 24/90 = 60/90 = 2/3 أيضًا.

الإجابة

P = 2/3 ≈ 0,667

6أخطاء شائعة

  • جمع الاحتمالات لـ «واحد على الأقل» بدل استخدام 1 − P(لا شيء).
  • نسيان خفض الأعداد عند السحب دون إرجاع.
  • نسيان العامل C(n, k) في صيغة ذات الحدين.
  • القسمة على مجموع خاطئ، مثلًا الألوان الأخرى فقط.
  • إعطاء احتمال أكبر من 1 أو أصغر من 0. هذا دائمًا علامة على خطأ.
تحقّق ذاتي ترمي حجر نرد عادلًا مرتين. ما احتمال ظهور ستة واحدة على الأقل؟
  1. 1/3 ≈ 0,333
  2. 1/36 ≈ 0,028
  3. 11/36 ≈ 0,306
  4. 25/36 ≈ 0,694

الإجابة: 11/36 ≈ 0,306. 1 − P(لا ستة) = 1 − (5/6)² = 1 − 25/36 = 11/36. جمع 1/6 + 1/6 يعطي 1/3، وهو يعدّ حالة ستتين مرتين.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: نواتج متساوية الاحتمال. سحبة واحدة من كيس كرات ملونة، أو رمية واحدة لحجر نرد.
  • متوسط: العدّ والمتممات. لجان بـ C(n, k)، أو سحبتان دون إرجاع.
  • صعب: التوزيع ذو الحدين. k نجاحات بالضبط، أو «على الأكثر واحد» كـ P(X = 0) + P(X = 1).

أعطِ الإجابة كعدد عشري بين 0 و1، مقرَّبًا إلى ثلاث أو أربع منازل عشرية.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
xp(x)1?20,2530,1540,250,15

يعطي الجدول التوزيع الاحتمالي للمتغير X، لكن أحد الاحتمالات مفقود. أوجد P(X = 1).

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): ?, 0,25, 0,15, 0,2, 0,15

المطلوب: P(X = 1)

أظهر التلميحات
  1. مجموع كل احتمالات التوزيع يساوي 1.
  2. اجمع الاحتمالات المعروفة.
  3. P = 1 − 0,75.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

مجموع الاحتمالات المعروفة

0,25 + 0,15 + 0,2 + 0,15 = 0,75

الاحتمال المفقود

P(X = 1) = 1 − 0,75 = 0,25

الإجابة

P(X = 1) = 0,25
مثال 2متوسطة
xp(x)10,1520,3530,0540,350,15μ = 2,95

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,35, 0,05, 0,3, 0,15

المطلوب: Var(X)

أظهر التلميحات
  1. μ = Σx·p(x) = 2,95.
  2. عندئذٍ E(X²) = Σx²·p(x).
  3. Var(X) = E(X²) − μ².
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,05 + 4·0,3 + 5·0,15 = 2,95

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,05 + 16·0,3 + 25·0,15 = 10,55

التباين

Var(X) = 10,55 − 2,95² = 1,848

الإجابة

Var(X) = 1,848
مثال 3صعبة
n = 12, p = 0,3: P(X = 5) = ?k0123456789101112

يحتوي اختبار على 12 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,3، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 5 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 12p = 0,3k = 5

المطلوب: P

أظهر التلميحات
  1. هذا توزيع ذو الحدين: عدد ثابت من المحاولات المستقلة، واحتمال نجاح ثابت.
  2. P(X = k) = C(n, k)·pk·(1 − p)n−k.
  3. C(12, 5) = 792.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صيغة ذي الحدين

P(X = 5) = 792·0,35·0,77 = 792·0,00243·0,08235 = 0,1585

الإجابة

P = 0,1585

أسئلة وأجوبة

ما هو الاحتمال؟

الاحتمال عدد بين 0 و1 يبيّن مدى ترجح حدوث شيء. 0 يعني أنه لا يحدث أبدًا، و1 يعني أنه يحدث دائمًا.

حين تكون جميع النواتج متساوية الاحتمال، عُدّها:

كيف تحل مسائل الاحتمال خطوة بخطوة؟

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

ما الأخطاء الشائعة في الاحتمال؟
  • هذا هو مجموع الاحتمالات المعروفة. والاحتمال المفقود هو 1 ناقص هذا المجموع.
  • القيم ليست متساوية الاحتمال: استخدم أن مجموع كل الاحتمالات 1.
  • E(X²) ليس التباين: اطرح μ².
ماذا تغطي تمارين الاحتمال؟
  • سهلة: نتائج متساوية الاحتمال
  • متوسطة: العدّ والأحداث المتممة
  • صعبة: توزيع ذي الحدين

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

ثم تابع مع

إحصاءات الممارسة المبنية على الدليل

الآلات الحاسبة

حاسبة التوزيع ذي الحدينحاسبة توزيع بواسونحاسبة التبديلات والتوافيق (nPr وnCr)حاسبة القيمة المتوقعة والتباين

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

مناهج البحث والإحصاء في علم النفسمبادئ الإحصاءالرياضيات الهندسيةمسائل تدريب AP Statisticsالتدريب على الأساليب الكمية والدخل الثابت في CFA Level I

مواضيع أخرى في الرياضيات والإحصاء

النهاياتالمشتقاتالتحسين (القيم القصوى)التكاملاتالمتتاليات والمتسلسلاتالتفاضل والتكامل لعدة متغيراتالمعادلات التفاضليةالأعداد المركبةالطرائق العدديةالمصفوفات والمحدداتالمتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيالمنطق القضوي والبراهينالمجموعات والعلاقات والدوالنظرية البياناتنظرية الأعداد والحساب المودوليالإحصاء الوصفيالتوزيع الطبيعيفترات الثقةاختبارات الفرضيات وفترات الثقةالانحدار الخطي والارتباطاختبارات مربع كاي

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل الاحتمال مع الإجابات
تدرّب على الاحتمال مجانًاتدرّب على الاحتمال الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.