حاسبة التبديلات والتوافيق (nPr وnCr)
أدخل قيمك. تتحدّث الإجابة والحل المفصّل الكامل أثناء الكتابة.
النتيجة
احسب عدد طرق اختيار r من العناصر من بين n. تعدّ التبديلات nPr الترتيبات المرتبة، وتعدّ التوافيق nCr الاختيارات التي لا يهم فيها الترتيب. وتعطي الحاسبة أيضًا الأعداد عندما يجوز تكرار العناصر، وتعمل بأعداد صحيحة دقيقة لـ n وr حتى 1000: وتعرض الخطوات كل رقم، حتى في النتائج الكبيرة جدًا.
الحل خطوة بخطوة
التبديلات: الترتيب مهم
التوافيق: الترتيب غير مهم
مع السماح بالتكرار
الصيغ الأساسية
- التباديل
- P(n, r) = n!/(n − r)!
- التوافيق
- C(n, r) = n!/(r!·(n − r)!)
- مع التكرار
- nr إذا كان الترتيب مهمًا، وC(n + r − 1, r) إذا لم يكن
كيف تحسب التبديلات والتوافيق
- حدّد هل الترتيب مهم. ترتيب أشخاص في صف، أو منح الجائزة الأولى والثانية، أو تكوين رمز: الترتيب مهم، فاستخدم التبديلات. واختيار فريق أو يد من أوراق اللعب: الترتيب غير مهم، فاستخدم التوافيق.
- التبديلات: nPr = n!/(n − r)!، أي حاصل ضرب r من العوامل n·(n − 1)···(n − r + 1).
- التوافيق: nCr = n!/(r!(n − r)!) = nPr/r!. القسمة على r! تزيل r! من الترتيبات في كل اختيار.
- مع السماح بالتكرار، تعطي الاختيارات المرتبة nʳ وتعطي الاختيارات غير المرتبة C(n + r − 1, r).
- تحقّق بحالة صغيرة: C(4, 2) = 6 وP(4, 2) = 12، لأن كل زوج يمكن كتابته بترتيبين.
أسئلة وأجوبة
ما الفرق بين التبديل والتوفيق؟
التبديل ترتيب مرتب، والتوفيق اختيار غير مرتب. من الحروف A وB وC يمكنك تكوين 6 أزواج مرتبة (AB وBA وAC وCA وBC وCB) لكن 3 أزواج غير مرتبة فقط ({A, B} و{A, C} و{B, C}).
لماذا يساوي C(n, r) القيمة C(n, n − r)؟
اختيار r من العناصر التي تأخذها يكافئ اختيار n − r من العناصر التي تتركها. مثلًا C(10, 3) = C(10, 7) = 120.
ما قيمة 0!؟
0! = 1. وبهذا تعمل الصيغ عند الحدود: C(n, 0) = C(n, n) = 1، لأن هناك طريقة واحدة بالضبط لاختيار لا شيء أو اختيار كل شيء.
ما التوافيق مع التكرار؟
اختيارات غير مرتبة يجوز فيها اختيار العنصر نفسه أكثر من مرة، مثل 3 كرات من 10 نكهات من الآيس كريم. العدد هو C(n + r − 1, r)، أي C(12, 3) = 220 في هذا المثال.
أين تُستخدم التوافيق في الاحتمالات؟
في صيغة ذات الحدين، تعدّ C(n, x) الترتيبات التي يمكن أن تقع بها x من مرات النجاح في n من المحاولات. وفي اليانصيب وألعاب الورق، احتمال اليد هو عدد التوافيق المواتية مقسومًا على العدد الكلي للتوافيق.
تدرّب بنفسك
تدرّب على الاحتمال
الآلة الحاسبة تعطي الإجابة. أما في الامتحان فتحتاج إلى الطريقة: تدرّب عليها بمسائل جديدة وتلميحات وحلول مفصّلة.