حاسبة التوزيع ذي الحدين
أدخل قيمك. تتحدّث الإجابة والحل المفصّل الكامل أثناء الكتابة.
النتيجة
| k | P(X = k) | P(X ≤ k) |
|---|---|---|
| 0 | 0,02825 | 0,02825 |
| 1 | 0,1211 | 0,1493 |
| 2 | 0,2335 | 0,3828 |
| 3 | 0,2668 | 0,6496 |
| 4 | 0,2001 | 0,8497 |
| 5 | 0,1029 | 0,9527 |
| 6 | 0,03676 | 0,9894 |
| 7 | 0,009002 | 0,9984 |
| 8 | 0,001447 | 0,9999 |
| 9 | 0,0001378 | 1 |
| 10 | 5,905 × 10⁻⁶ | 1 |
احسب الاحتمالات ذات الحدين لـ n من المحاولات المستقلة يحقق كلٌّ منها النجاح باحتمال p: بالضبط x من مرات النجاح، أو على الأكثر x، أو على الأقل x، أو أقل من x، أو أكثر من x. تعرض الحاسبة صيغة ذات الحدين وكل حدّ تجمعه (أو المتممة الأقصر)، والمتوسط np والانحراف المعياري √(np(1 − p)). وعندما تكون n حتى 30 تعرض أيضًا التوزيع كاملًا في جدول.
الحل خطوة بخطوة
صيغة الاحتمال ذي الحدين
اجمع الاحتمالات
المتوسط والانحراف المعياري
الصيغ الأساسية
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
كيف تحسب الاحتمالات ذات الحدين
- تحقّق من أن الموقف ذو حدين: عدد ثابت من المحاولات n، ونتيجتان لكل محاولة، واحتمال نجاح p نفسه في كل مرة، ومحاولات مستقلة.
- لإيجاد احتمال x من مرات النجاح بالضبط استخدم P(X = x) = C(n, x)·pˣ·(1 − p)ⁿ⁻ˣ، حيث C(n, x) = n!/(x!(n − x)!) تعدّ الترتيبات التي يمكن أن تقع بها مرات النجاح.
- في حالة «على الأكثر x» اجمع من P(X = 0) حتى P(X = x). وفي حالة «على الأقل x» اجمع من P(X = x) حتى P(X = n).
- إذا كان المجموع كثير الحدود فاستخدم المتممة: P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1).
- ترجم العبارات بعناية: «أقل من 4» تعني X ≤ 3، و«أكثر من 4» تعني X ≥ 5.
أسئلة وأجوبة
ما المتوسط والانحراف المعياري للتوزيع ذي الحدين؟
المتوسط μ = np والتباين σ² = np(1 − p)، فالانحراف المعياري σ = √(np(1 − p)). وعندما n = 10 وp = 0,3 نحصل على μ = 3 وσ = 1,449.
ما الفرق بين «على الأقل» و«أكثر من»؟
«على الأقل 3» تشمل 3: P(X ≥ 3). أما «أكثر من 3» فلا تشملها: P(X > 3) = P(X ≥ 4). في التوزيع المنفصل يختلف العددان، فاختر الخيار الذي يطابق صياغة السؤال.
لماذا تستخدم الحاسبة المتممة أحيانًا؟
لأن مجموع كل الاحتمالات يساوي 1، فإن P(X ≥ x) = 1 − P(X ≤ x − 1). وعندما تكون حدود المتممة أقل فهي أسرع في الحساب اليدوي، وتبيّن الخطوات هذا الطريق. والنتيجة هي نفسها.
ما أكبر قيمة ممكنة لـ n؟
حتى 10 000 محاولة. تُحسب الحدود باللوغاريتمات، فلا تفيض المضروبات الكبيرة وتبقى الاحتمالات دقيقة.
متى لا يكون التوزيع ذو الحدين النموذج المناسب؟
عندما تكون المحاولات غير مستقلة أو يتغيّر p، كما في السحب دون إرجاع من مجموعة صغيرة: وهذا يتبع التوزيع فوق الهندسي. وعندما تكون n كبيرة وp صغيرًا، يكون توزيع بواسون مع λ = np تقريبًا جيدًا.
تدرّب بنفسك
تدرّب على الاحتمال
الآلة الحاسبة تعطي الإجابة. أما في الامتحان فتحتاج إلى الطريقة: تدرّب عليها بمسائل جديدة وتلميحات وحلول مفصّلة.