حاسبة التوزيع الطبيعي
أدخل قيمك. تتحدّث الإجابة والحل المفصّل الكامل أثناء الكتابة.
النتيجة
أوجد الاحتمالات لأي توزيع طبيعي N(μ, σ²): المساحة إلى يسار قيمة أو يمينها، أو بين قيمتين، أو في الذيلين معًا. وتعمل الأوضاع العكسية في الاتجاه المعاكس، من المساحة إلى القيمة x، وبهذا تجد المئينات والدرجات الفاصلة. تعرض كل إجابة درجات z وقيم Φ المستخدمة، فيمكنك مقارنتها بجدول التوزيع الطبيعي المعياري.
الحل خطوة بخطوة
حوّل إلى الصيغة المعيارية
المساحات تحت المنحنى الطبيعي المعياري
الصيغ الأساسية
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
كيف تحسب احتمال التوزيع الطبيعي
- دوّن المتوسط μ والانحراف المعياري σ. وإذا أُعطيت التباين σ²، فخذ جذره التربيعي أولًا.
- حوّل كل قيمة إلى الصيغة المعيارية بالعلاقة z = (x − μ)/σ. تبيّن درجة z كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة فوق المتوسط أو دونه.
- أوجد Φ(z)، وهي المساحة إلى يسار z تحت المنحنى الطبيعي المعياري، من جدول أو بآلة حاسبة.
- اجمع المساحات: P(X < a) = Φ(z) وP(X > a) = 1 − Φ(z) وP(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a).
- للعمل بالاتجاه المعاكس من مساحة معطاة، أوجد قيمة z التي تحقق Φ(z) = مساحة الذيل الأيسر، ثم حوّلها إلى x بالعلاقة x = μ + z·σ.
أسئلة وأجوبة
ما الفرق بين P(X < a) وP(X ≤ a)؟
لا فرق في التوزيع المتصل مثل التوزيع الطبيعي. فاحتمال قيمة واحدة بعينها يساوي صفرًا، لذلك P(X < a) = P(X ≤ a). أما في التوزيعات المنفصلة مثل توزيعي ذي الحدين وبواسون فيختلفان.
كيف أجد مئينًا في التوزيع الطبيعي؟
استخدم الوضع العكسي مع مساحة الذيل الأيسر. المئين التسعون هو القيمة x التي تحقق P(X < x) = 0,90: z = Φ⁻¹(0,90) = 1,2816، إذن x = μ + 1,2816σ. وللحصول على الدرجة الفاصلة لأعلى 10% استخدم مساحة الذيل الأيمن 0,10 فتحصل على القيمة نفسها.
ماذا تقول قاعدة 68–95–99.7؟
يقع نحو 68% من التوزيع الطبيعي ضمن انحراف معياري واحد من المتوسط، ونحو 95% ضمن انحرافين (وبدقة أكبر 1,96σ)، ونحو 99,7% ضمن ثلاثة انحرافات. وهي طريقة سريعة للتحقق من أن الإجابة في النطاق الصحيح.
لماذا يعطيني جدول z إجابة مختلفة قليلًا؟
يقرّب الجدول المطبوع z إلى منزلتين عشريتين وΦ(z) إلى أربع. أما الحاسبة فتحسب Φ عدديًا بدقة أكبر بكثير من جدول z المطبوع، حتى في أقصى الذيلين، وتعرض النتيجة بـ 4 أرقام معنوية، لذا قد تختلف إجابات الجدول في الرقم الأخير.
متى يمكنني استخدام التوزيع الطبيعي في مسألة ذات حدين؟
عندما يكون np وn(1 − p) كلاهما نحو 10 أو أكثر، يقترب التوزيع ذو الحدين من توزيع طبيعي متوسطه μ = np وانحرافه المعياري σ = √(np(1 − p)). أضف 0,5 أو اطرحه عند الحد (تصحيح الاستمرارية). وللحصول على إجابة دقيقة استخدم حاسبة التوزيع ذي الحدين.
تدرّب بنفسك
تدرّب على التوزيع الطبيعي
الآلة الحاسبة تعطي الإجابة. أما في الامتحان فتحتاج إلى الطريقة: تدرّب عليها بمسائل جديدة وتلميحات وحلول مفصّلة.