التحسين (القيم القصوى): مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في التحسين (القيم القصوى) مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: أكبر مساحة أو حجم, أدنى تكلفة أو مادة, الربح والإيراد.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
النهرxxy

لدى مزارع 240 m من السياج لتسييج حقل مستطيل على امتداد نهر مستقيم. لا حاجة إلى سياج على امتداد النهر. أوجد أكبر مساحة A يمكن تسييجها.

240 m2x + y = 240
m²
المسألة التالية →
تدرّب على التحسين (القيم القصوى) مجانًاتدرّب على التحسين (القيم القصوى) الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةأكبر مساحة أو حجم
  2. متوسطةأدنى تكلفة أو مادة
  3. صعبةالربح والإيراد

الصيغ الأساسية

الطريقة
اكتب Q(x) بمتغيّر واحد، وحلّ Q′(x) = 0، وتحقّق من Q″ أو من نقاط الطرفين
القيمة العظمى
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
القيمة الصغرى
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
أسطوانة مغلقة
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
الربح
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

تعلّم التحسين (القيم القصوى) من البداية

قبل هذا: المشتقات

1ما هو التحسين الأمثل

يعني التحسين الأمثل إيجاد القيمة الأفضل: أكبر مساحة لطول معيّن من السياج، أو أقل معدن لعلبة، أو أعلى ربح.

الكمية التي تريد جعلها أكبر ما يمكن أو أصغر ما يمكن تتوقف على متغير واحد، مثل عرض x لحقل.

تخيّل منحناها. عند قمة تل وعند قاع وادٍ يكون المنحنى مسطحًا للحظة. فيكون الميل هناك صفرًا.

وهذه هي الفكرة الأساسية: عند قيمة عظمى أو صغرى تكون المشتقة 0. تجد x الأفضل بحل Q′(x) = 0.

تحقّق ذاتي مساحة حقل A(x) لها أكبر قيمة عند x = 12. ما A′(12)؟
  1. 0
  2. عدد سالب
  3. عدد موجب
  4. يساوي A(12)

الإجابة: 0. عند قمة المنحنى يكون المماس أفقيًا، فالميل 0. أما الميل الموجب فيعني أن المساحة لا تزال تزداد.

2الهدف والقيد

لكل مسألة تحسين جزآن. سمِّهما قبل أن تحسب أي شيء.

  • الهدف: الكمية المراد جعلها أكبر ما يمكن أو أصغر ما يمكن، مثل المساحة A أو التكلفة C.
  • القيد: شرط ثابت، مثل الطول الكلي للسياج أو الحجم الذي يجب أن تتسع له العلبة.

غالبًا يحتوي الهدف على متغيرين، مثل A = x · y. ولا يمكنك اشتقاق ذلك بعد.

استخدم القيد لكتابة y بدلالة x. عندئذٍ يتوقف الهدف على x وحده.

مثال: مستطيل محيطه 20 m فيه 2x + 2y = 20، إذن y = 10 − x وA(x) = x(10 − x) = 10x − x².

ارسم رسمًا تخطيطيًا أولًا واكتب عليه كل طول. معظم الأخطاء تقع في القيد.

تحقّق ذاتي حقل بمحاذاة نهر يُسيَّج من ثلاث جهات بسياج طوله 40 m: ضلعان طول كل منهما x وضلع واحد y موازٍ للنهر. ما القيد؟
  1. 2x + 2y = 40
  2. 2x + y = 40
  3. x + y = 40
  4. x · y = 40

الإجابة: 2x + y = 40. هناك ثلاثة أسيجة: x وx وy. جهة النهر لا تحتاج إلى سياج. أما 2x + 2y فمستطيل كامل بأربع جهات مسيَّجة.

3مسائل التكلفة والربح

في المسائل التجارية الهدف هو الربح: الإيراد ناقص التكلفة.

P(q) = R(q) − C(q), R = p · q

هنا q عدد الوحدات المباعة وp سعر الوحدة. وإذا كان السعر يتوقف على q فضع تلك الصيغة في R أولًا.

مثال: السعر p = 60 − q والتكلفة C = 100 + 30q.

R = (60 − q)·q = 60q − q²
P = 60q − q² − 100 − 30q = −q² + 30q − 100
P′(q) = −2q + 30 = 0 ⇒ q = 15

إذن أفضل سعر هو p = 60 − 15 = €45. اقرأ السؤال بعناية: قد يطلب q أو p أو الربح P نفسه.

تحقّق ذاتي يُباع منتج بـ €40 للوحدة. وتكلفة q وحدة هي C = 100 + 10q + 0,5q² يورو. أي إنتاج q يعطي أعلى ربح؟
  1. 15
  2. 30
  3. 40
  4. 60

الإجابة: 30. P = 40q − 100 − 10q − 0,5q²، إذن P′ = 30 − q = 0 وq = 30. ونسيان العامل 2 عند اشتقاق 0,5q² يعطي 60.

4الطريقة خطوة بخطوة

  1. ارسم رسمًا تخطيطيًا وسمِّ المتغيرات.
  2. اكتب الهدف Q (مساحة أو تكلفة أو ربح) والقيد.
  3. استخدم القيد لكتابة Q دالةً في متغير واحد، Q(x).
  4. اشتق وحُلّ Q′(x) = 0.
  5. تحقّق من أنها النقطة من النوع الصحيح: Q″ < 0 لقيمة عظمى، وQ″ > 0 لقيمة صغرى.
  6. أجب عن السؤال المطروح: x أو الضلع الآخر أو أفضل قيمة لـ Q نفسها، مع الوحدات.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

لدى مزارع 60 m من السياج لحقل مستطيل بمحاذاة نهر مستقيم. لا حاجة إلى سياج على جهة النهر. أوجد الضلع y الموازي للنهر وأكبر مساحة A.

1

الرسم التخطيطي والقيد

xxyA

النهر في الأعلى، فثلاث جهات فقط تحتاج إلى سياج: ضلعان x وضلع واحد y.

2x + y = 60 ⇒ y = 60 − 2x
2

المساحة بمتغير واحد

A = x · y = x(60 − 2x) = 60x − 2x²
3

ساوِ المشتقة بالصفر

A′(x) = 60 − 4x = 0 ⇒ x = 15 m
4

هل هي قيمة عظمى؟

A″(x) = −4 < 0

المشتقة الثانية سالبة، لذا x = 15 m تعطي أكبر مساحة.

xA(15, 450)1530
5

الضلع الآخر والمساحة

y = 60 − 2 · 15 = 30 m
A = 15 · 30 = 450 m²
6

تحقّق من الإجابة

جرّب قيمة على كل جهة. x = 14 تعطي 14 · 32 = 448 m²، وx = 16 تعطي 16 · 28 = 448 m². كلتاهما أصغر من 450 m².

الإجابة

y = 30 m وأكبر مساحة A = 450 m².

6أخطاء شائعة

  • إعطاء الجواب للكمية الخطأ: يطلب السؤال y وتعطي x.
  • اشتقاق هدف ما يزال فيه متغيران. استخدم القيد أولًا.
  • كتابة القيد الخطأ، مثل تسييج جهة النهر أيضًا.
  • عدم التحقق هل النقطة قيمة عظمى أم صغرى.
  • نسيان الوحدات، أو إعطاء مساحة بـ m بدلًا من m².
تحقّق ذاتي مع 40 m من السياج بمحاذاة نهر (2x + y = 40)، أفضل عرض هو x = 10 m. ويطلب السؤال الضلع y الموازي للنهر. ماذا تجيب؟
  1. 10 m
  2. 20 m
  3. 200 m²
  4. 40 m

الإجابة: 20 m. y = 40 − 2 · 10 = 20 m. وإجابة 10 m تعطي x بدلًا من y، و200 m² هي المساحة لا ضلع.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: أكبر مساحة أو حجم، مثل حقل بمحاذاة نهر أو حظيرة مقسومة بسياج إضافي.
  • متوسط: أقل تكلفة أو مادة، مثل علبة مغلقة (V = πr²h، A = 2πr² + 2πrh) أو سياج بسعرين للمتر.
  • صعب: الربح والإيراد. كوّن P = R − C، وحُلّ P′(q) = 0، ثم أوجد السعر أو أقصى ربح.

فحص سريع: ضع قيمة أعلى قليلًا وأخرى أقل قليلًا من جوابك في Q. يجب أن تكون كلتاهما أسوأ.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
x18 cm18 cmx

يُصنع صندوق مفتوح من صفيحة كرتون مربعة 18 cm × 18 cm بقصّ مربعات متساوية طول ضلعها x من الزوايا الأربع وثني الجوانب إلى الأعلى. أوجد أكبر حجم ممكن V.

18 cm × 18 cm

المطلوب: V (cm³)

أظهر التلميحات
  1. أبعاد القاعدة (18 − 2x) في (18 − 2x) والارتفاع x.
  2. V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x.
  3. V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0. الجذر الذي يحقّق 0 < x < 9 هو وحده المقبول.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

التحسين (القيم القصوى): اكتب الكمية المراد تحسينها كدالة في متغيّر واحد، مستخدمًا القيد لحذف المتغيّر الآخر. اجعل المشتقة صفرًا وحلّ. تحقّق من أن النقطة الحرجة قيمة عظمى أو صغرى (بالمشتقة الثانية أو بتغيّر إشارة المشتقة الأولى) وأنها تقع داخل المجال المسموح؛ فنقطة طرفية مثل ضلع طوله صفر ليست هي الإجابة.

الحجم كدالة في x

V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x

ساوِ المشتقة بالصفر

الجذر الأكبر يعطي ضلع قاعدة ≤ 0، لذا هو خارج المجال المسموح.

V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0
x = 3 أو x = 9
x = 3 cm

الحجم

V = 3·12·12 = 432 cm³

الإجابة

V = 432 cm³
مثال 2متوسطة
rh

علبة أسطوانية مغلقة (لها غطاء وقاع) يجب أن تتّسع لـ 400 cm³. المعدن المستخدم يتناسب مع المساحة السطحية الكلية. أوجد أصغر مساحة سطحية ممكنة A.

V = 400 cm³

المطلوب: A (cm²)

أظهر التلميحات
  1. استخدم الحجم لحذف h: πr²h = 400، لذا h = 400/(πr²).
  2. A(r) = 2πr² + 2·400/r.
  3. A′(r) = 4πr − 2·400/r² = 0 → r³ = 400/(2π).
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

التحسين (القيم القصوى): اكتب الكمية المراد تحسينها كدالة في متغيّر واحد، مستخدمًا القيد لحذف المتغيّر الآخر. اجعل المشتقة صفرًا وحلّ. تحقّق من أن النقطة الحرجة قيمة عظمى أو صغرى (بالمشتقة الثانية أو بتغيّر إشارة المشتقة الأولى) وأنها تقع داخل المجال المسموح؛ فنقطة طرفية مثل ضلع طوله صفر ليست هي الإجابة.

المساحة كدالة في r

h = 400/(πr²)
A(r) = 2πr² + 800/r

ساوِ المشتقة بالصفر

A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0، لذا هذه قيمة صغرى.

4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3,993 cm

الارتفاع والمساحة

h = 400/(π·3,993²) = 2r = 7,986 cm
A = 2π·3,993² + 800/3,993 = 300,5 cm²

الإجابة

A = 300,5 cm²

أرخص علبة مغلقة ارتفاعها يساوي عرضها: h = 2r.

مثال 3صعبة
p (€)R(p)10الآن

يبيع مسرح 580 تذكرة في كل عرض بسعر €10 للتذكرة. تُظهر دراسة السوق أن كل زيادة بمقدار €1 في سعر التذكرة تعني بيع 20 تذكرة أقل (وكل تخفيض بمقدار €1 يعني 20 تذكرة أكثر). أوجد أقصى إيراد R لكل عرض.

580 × €1020 / €1

المطلوب: R (€)

أظهر التلميحات
  1. التذاكر المبيعة عند السعر p: n(p) = 580 − 20·(p − 10) = 780 − 20p.
  2. R(p) = p·(780 − 20p) = 780p − 20p².
  3. R′(p) = 780 − 40p = 0.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

التحسين (القيم القصوى): اكتب الكمية المراد تحسينها كدالة في متغيّر واحد، مستخدمًا القيد لحذف المتغيّر الآخر. اجعل المشتقة صفرًا وحلّ. تحقّق من أن النقطة الحرجة قيمة عظمى أو صغرى (بالمشتقة الثانية أو بتغيّر إشارة المشتقة الأولى) وأنها تقع داخل المجال المسموح؛ فنقطة طرفية مثل ضلع طوله صفر ليست هي الإجابة.

الإيرادات كدالة في السعر

n(p) = 780 − 20p
R(p) = 780p − 20p²

ساوِ المشتقة بالصفر

R″(p) = −40 < 0، لذا هذه قيمة عظمى.

p = 780/40 = €19,5

أقصى إيراد

n = 780 − 20·19,5 = 390
R = 19,5·390 = €7605

الإجابة

R = €7605

أسئلة وأجوبة

ما هو التحسين (القيم القصوى)؟

يعني التحسين الأمثل إيجاد القيمة الأفضل: أكبر مساحة لطول معيّن من السياج، أو أقل معدن لعلبة، أو أعلى ربح.

الكمية التي تريد جعلها أكبر ما يمكن أو أصغر ما يمكن تتوقف على متغير واحد، مثل عرض x لحقل.

كيف تحل مسائل التحسين (القيم القصوى) خطوة بخطوة؟

التحسين (القيم القصوى): اكتب الكمية المراد تحسينها كدالة في متغيّر واحد، مستخدمًا القيد لحذف المتغيّر الآخر. اجعل المشتقة صفرًا وحلّ. تحقّق من أن النقطة الحرجة قيمة عظمى أو صغرى (بالمشتقة الثانية أو بتغيّر إشارة المشتقة الأولى) وأنها تقع داخل المجال المسموح؛ فنقطة طرفية مثل ضلع طوله صفر ليست هي الإجابة.

ما الأخطاء الشائعة في التحسين (القيم القصوى)؟
  • كل ضلع من القاعدة يفقد مربعًا من طرفيه، لذا ضلعا القاعدة a − 2x و b − 2x، لا a − x و b − x.
  • العلبة مغلقة: احسب الغطاء والقاع كليهما، A = 2πr² + 2πrh.
  • هذا هو الإيراد عند السعر الحالي. أوجد أولًا السعر الذي يحقّق R′(p) = 0.
ماذا تغطي تمارين التحسين (القيم القصوى)؟
  • سهلة: أكبر مساحة أو حجم
  • متوسطة: أدنى تكلفة أو مادة
  • صعبة: الربح والإيراد

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

المشتقات

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

التفاضل والتكامل 1مسائل تدريب AP Calculus

مواضيع أخرى في الرياضيات والإحصاء

النهاياتالمشتقاتالتكاملاتالمتتاليات والمتسلسلاتالتفاضل والتكامل لعدة متغيراتالمعادلات التفاضليةالأعداد المركبةالطرائق العدديةالمصفوفات والمحدداتالمتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيالمنطق القضوي والبراهينالمجموعات والعلاقات والدوالنظرية البياناتنظرية الأعداد والحساب المودوليالاحتمالالإحصاء الوصفيالتوزيع الطبيعيفترات الثقةاختبارات الفرضيات وفترات الثقةالانحدار الخطي والارتباطاختبارات مربع كاي

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل التحسين (القيم القصوى) مع الإجابات
تدرّب على التحسين (القيم القصوى) مجانًاتدرّب على التحسين (القيم القصوى) الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.