المشتقات: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في المشتقات مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: قاعدة القوة, قاعدتا السلسلة والضرب, المماسات والقيم القصوى.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
xyx = −2

لتكن f(x) = −5x3 + 7x2 − 4x + 9. أوجد ميل المنحنى عند x = −2، أي f′(−2).

f(x) = −5x3 + 7x2 − 4x + 9x = −2
المسألة التالية →
تدرّب على المشتقات مجانًاتدرّب على المشتقات الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةقاعدة القوة
  2. متوسطةقاعدتا السلسلة والضرب
  3. صعبةالمماسات والقيم القصوى

كيف تحلّ مسائل المشتقات

  1. حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
  2. طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
  3. استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
  4. بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

أخطاء شائعة

  • نسيان المشتقة الداخلية في قاعدة السلسلة.
  • الخطأ في الترتيب في قاعدة القسمة.
  • معاملة المضاعف الثابت كحاصل ضرب.

الصيغ الأساسية

قاعدة القوة
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب
(uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

تعلّم المشتقات من البداية

قبل هذا: النهايات

1ما المشتقة

تقيس المشتقة مدى سرعة تغيّر شيء ما. إذا تغيّر موضع سيارة بمقدار 50 km كل ساعة، فسرعتها 50 km/h: معدّل تغيّر الموضع.

على الرسم البياني، المشتقة عند نقطة هي ميل المنحنى هناك: مدى حدّة ارتفاعه أو انخفاضه إذا قرّبت النظر جدًا.

ذلك الميل هو ميل المماس، الخط المستقيم الذي يلامس المنحنى عند تلك النقطة.

xy(1, 1)m = 2

لـ y = x² ميل المماس عند x = 1 يساوي 2. نكتب f′(1) = 2، وتُقرأ "f شرطة عند 1".

  • مشتقة موجبة: الرسم البياني يرتفع.
  • مشتقة سالبة: الرسم البياني ينخفض.
  • مشتقة صفرية: الرسم البياني مستوٍ هناك، مثلًا عند قمة أو قاع.
تحقّق ذاتي عند نقطة يكون فيها رسم f منخفضًا، تكون المشتقة…
  1. سالبة
  2. صفرًا
  3. غير معرّفة
  4. موجبة

الإجابة: سالبة. المشتقة هي الميل. الرسم الذي ينخفض من اليسار إلى اليمين ميله سالب.

2القواعد الأساسية

لا تحتاج إلى النهايات في كل مرة. بضع قواعد تغطّي معظم الدوال.

(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

هذه قاعدة القوة: أنزل الأُس أمام المتغيّر واطرح من الأُس واحدًا. لذا (x³)′ = 3x² و (x)′ = 1.

  • الثابت وحده مشتقته 0: فهو لا يتغيّر.
  • المعامل الثابت يبقى: (5x³)′ = 5 · 3x² = 15x².
  • في المجموع، خذ مشتقة كل حدّ على حدة.

احفظ هذه أيضًا: (eˣ)′ = eˣ و (ln x)′ = 1/x و (sin x)′ = cos x و (cos x)′ = −sin x.

تحقّق ذاتي ما مشتقة 4x³ − 2x + 7؟
  1. 12x² − 2 + 7
  2. 12x² − 2
  3. 12x³ − 2x
  4. 4x² − 2

الإجابة: 12x² − 2. قاعدة القوة على كل حدّ: (4x³)′ = 12x²، و (−2x)′ = −2، والثابت 7 يعطي 0.

3قاعدتا الضرب والسلسلة

قاعدتان إضافيتان تعالجان الدوال المبنية من دوال أخرى.

قاعدة الضرب، لدالتين مضروبتين معًا:

(u · v)′ = u′ · v + u · v′

قاعدة السلسلة، لدالة داخل دالة أخرى: خذ مشتقة الدالة الخارجية، وأبقِ الداخلية كما هي، ثم اضرب في مشتقة الداخلية.

[(3x + 1)⁴]′ = 4(3x + 1)³ · 3 = 12(3x + 1)³

قاعدة القسمة تنتج من هاتين: (u/v)′ = (u′v − uv′) / v².

تحقّق ذاتي ما مشتقة (2x + 5)³؟
  1. (2x + 5)² · 2
  2. 3(2x + 5)²
  3. 6(2x + 5)²
  4. 6x(2x + 5)²

الإجابة: 6(2x + 5)². الخارجية: 3(2x + 5)². الداخلية: (2x + 5)′ = 2. اضرب: 3 · 2 · (2x + 5)² = 6(2x + 5)². نسيان العدد 2 الداخلي هو الخطأ التقليدي.

4الطريقة خطوة بخطوة

  1. انظر إلى البنية: مجموع حدود، أو ضرب، أو قسمة، أو دالة داخل دالة.
  2. أعد كتابة الجذور والكسور كقوى أولًا: √x = x1/2 و 1/x² = x−2.
  3. طبّق القواعد من الخارج إلى الداخل، جزءًا جزءًا.
  4. بسّط النتيجة.
  5. إذا طُلبت قيمة، فعوّض العدد في النهاية فقط.

لإيجاد قمة أو قاع رسم بياني (قيمة قصوى)، حلّ f′(x) = 0. المشتقة الثانية تخبرك أيّهما: f″ < 0 قيمة عظمى، و f″ > 0 قيمة صغرى.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

لتكن f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1. أوجد الميل عند x = 0، والقيمتين العظمى والصغرى المحليتين.

1

اشتق حدًا حدًا

استخدم قاعدة القوة على كل حدّ. الثابت 1 يختفي.

f′(x) = 3x² − 12x + 9
2

الميل عند x = 0

f′(0) = 3·0 − 12·0 + 9 = 9

إذن يرتفع المماس عند x = 0 بمقدار 9 وحدات لكل وحدة إلى اليمين.

3

ساوِ المشتقة بالصفر

3x² − 12x + 9 = 0 ⇒ x² − 4x + 3 = 0
(x − 1)(x − 3) = 0 ⇒ x = 1 or x = 3
4

أيّهما القيمة العظمى؟

f″(x) = 6x − 12

f″(1) = −6 سالبة، لذا x = 1 قيمة عظمى. و f″(3) = 6 موجبة، لذا x = 3 قيمة صغرى.

5

أوجد القيم

f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5
f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1
xy(1, 5)(3, 1)

الرسم البياني يؤكّد ذلك: مستوٍ عند النقطتين، قمة عند (1, 5) وقاع عند (3, 1).

الإجابة

f′(0) = 9. قيمة عظمى محلية عند (1, 5)، وقيمة صغرى محلية عند (3, 1).

6أخطاء شائعة

  • نسيان مشتقة الدالة الداخلية في قاعدة السلسلة.
  • كتابة (u · v)′ = u′ · v′. قاعدة الضرب لها حدّان.
  • الخطأ في الترتيب في قاعدة القسمة: في البسط u′v − uv′، بإشارة سالب.
  • تعويض العدد قبل الاشتقاق. اشتقّ أولًا، ثم عوّض.
  • معاملة مضاعف ثابت مثل 5x³ كضرب. الأمر أبسط: العدد 5 يبقى فحسب.
تحقّق ذاتي ما مشتقة √x؟
  1. 1/(2√x)
  2. 1/√x
  3. 2√x
  4. ½x

الإجابة: 1/(2√x). √x = x1/2، لذا المشتقة ½x−1/2 = 1/(2√x). إعادة كتابة الجذر كقوة أولًا تجعل الأمر سهلًا.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: كثيرة حدود. استخدم قاعدة القوة وأوجد الميل عند x معطاة.
  • متوسط: قاعدة السلسلة أو الضرب، مثل (2x + 5)⁵ أو x²·e−x، محسوبة عند نقطة.
  • صعب: المماسات والقيم القصوى. حلّ f′(x) = 0 وحدّد أيّ نقطة هي القيمة العظمى.

تحقّق سريع لأسئلة الميل: تخيّل الرسم البياني في ذهنك. إذا كان يرتفع هناك، فيجب أن تكون إجابتك موجبة.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
xyx = 1

لتكن f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7. أوجد ميل المنحنى عند x = 1، أي f′(1).

f(x) = −x5 + 3x2 − 7x + 7x = 1

المطلوب: f′(1)

أظهر التلميحات
  1. اشتق حدًا حدًا بقاعدة القوة (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. الثابت يختفي.
  2. f′(x) = −5x4 + 6x − 7.
  3. الآن عوّض x = 1.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

اشتق حدًا حدًا

f′(x) = −5x4 + 6x − 7

عوّض

f′(1) = (−5)·14 + 6·1 + (−7) = −6

الإجابة

f′(1) = −6
مثال 2متوسطة
xyx = 1

لتكن f(x) = x3·e−x. أوجد f′(1).

f(x) = x3·e−xx = 1

المطلوب: f′(1)

أظهر التلميحات
  1. قاعدة الضرب مع u = x3 و v = e−x.
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدة الضرب

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

عوّض

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

الإجابة

f′(1) = 0,7358
مثال 3صعبة
xy

لتكن f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x + 6. أوجد الإحداثي x x للقيمة الصغرى المحلية.

f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x + 6

المطلوب: x

أظهر التلميحات
  1. عند القيمة العظمى أو الصغرى المحلية تكون المشتقة صفرًا.
  2. f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 0.
  3. في الدالة التكعيبية ذات الحد x³ الموجب، تأتي القيمة العظمى أولًا (x أصغر) ثم الصغرى.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

المشتقة

f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 3·(x2 − 9x + 18)

حُلّ f′(x) = 0

x = 3 أو x = 6

أيهما أي

f″(x) = 6x − 27: سالبة عند القيمة العظمى، وموجبة عند الصغرى.

f″(3) = −9, f″(6) = 9
x = 6

الإجابة

x = 6

أسئلة وأجوبة

ما هو المشتقات؟

تقيس المشتقة مدى سرعة تغيّر شيء ما. إذا تغيّر موضع سيارة بمقدار 50 km كل ساعة، فسرعتها 50 km/h: معدّل تغيّر الموضع.

على الرسم البياني، المشتقة عند نقطة هي ميل المنحنى هناك: مدى حدّة ارتفاعه أو انخفاضه إذا قرّبت النظر جدًا.

كيف تحل مسائل المشتقات خطوة بخطوة؟
  1. حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
  2. طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
  3. استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
  4. بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.
ما الأخطاء الشائعة في المشتقات؟
  • نسيان المشتقة الداخلية في قاعدة السلسلة.
  • الخطأ في الترتيب في قاعدة القسمة.
  • معاملة المضاعف الثابت كحاصل ضرب.
ماذا تغطي تمارين المشتقات؟
  • سهلة: قاعدة القوة
  • متوسطة: قاعدتا السلسلة والضرب
  • صعبة: المماسات والقيم القصوى

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

النهايات

ثم تابع مع

التكاملاتالتفاضل والتكامل لعدة متغيراتالطرائق العدديةالمعادلات التفاضليةالتحسين (القيم القصوى)المتتاليات والمتسلسلات

الآلات الحاسبة

حاسبة المشتقات مع الخطوات

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

التفاضل والتكامل 1الرياضيات الهندسيةالمعادلات التفاضليةمسائل تدريب AP Calculus

مواضيع أخرى في الرياضيات والإحصاء

النهاياتالتحسين (القيم القصوى)التكاملاتالمتتاليات والمتسلسلاتالتفاضل والتكامل لعدة متغيراتالمعادلات التفاضليةالأعداد المركبةالطرائق العدديةالمصفوفات والمحدداتالمتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيالمنطق القضوي والبراهينالمجموعات والعلاقات والدوالنظرية البياناتنظرية الأعداد والحساب المودوليالاحتمالالإحصاء الوصفيالتوزيع الطبيعيفترات الثقةاختبارات الفرضيات وفترات الثقةالانحدار الخطي والارتباطاختبارات مربع كاي

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل المشتقات مع الإجابات
تدرّب على المشتقات مجانًاتدرّب على المشتقات الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.