حاسبة المشتقات مع الخطوات

أدخل قيمك. تتحدّث الإجابة والحل المفصّل الكامل أثناء الكتابة.

النتيجة

f(x)x2·sin(3x) + ln(x)/x + e−x2
f′(x)2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x) + (1 − ln(x))/x2 − 2x·e−x2
f(1)0,509
f′(1)−2,423
المماسy = −2,423x + 2,932

اشتق دالة في x وانظر كيف تُطبَّق كل قاعدة. تتعامل الحاسبة مع كثيرات الحدود والقوى والجذور والدوال الأسية واللوغاريتمات والدوال المثلثية وعكسها، وتجمع بينها بقواعد المجموع والضرب والقسمة والسلسلة، مبسِّطةً النتيجة في أثناء ذلك. ويمكنها أيضًا إيجاد المشتقة الثانية والثالثة وحساب المشتقة والمماس عند نقطة.

الحل خطوة بخطوة

اقرأ الدالة

f(x) = x2·sin(3x) + ln(x)/x + e−x2

قاعدة المجموع: اشتق حدًا حدًا

d/dx[x2·sin(3x)] = 2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x)
d/dx[ln(x)/x] = (1 − ln(x))/x2
d/dx[e−x2] = −2x·e−x2
f′(x) = 2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x) + (1 − ln(x))/x2 − 2x·e−x2

قاعدة الضرب

(uv)′ = u′v + uv′
u = x2, u′ = 2x
v = sin(3x), v′ = 3cos(3x)
d/dx[x2·sin(3x)] = 2x·sin(3x) + x2·(3cos(3x)) = 2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x)

قاعدة السلسلة

d/dx[f(u)] = f′(u)·u′
u = 3x, u′ = 3
d/dx[sin(3x)] = cos(3x)·3 = 3cos(3x)

قاعدة القسمة

(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
u = ln(x), u′ = 1/x
v = x, v′ = 1
d/dx[ln(x)/x] = ((1/x)·x − ln(x)·1)/x2 = (1 − ln(x))/x2

قاعدة السلسلة

d/dx[eu] = eu·u′
u = −x2, u′ = −2x
d/dx[e−x2] = e−x2·(−2x) = −2x·e−x2

قواعد الاشتقاق المستخدمة

d/dx[f + g] = f′ + g′
d/dx[c·f] = c·f′
d/dx[xn] = n·xn−1
(uv)′ = u′v + uv′
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
d/dx[f(u)] = f′(u)·u′
d/dx[ex] = ex
sin(u) → cos(u)
ln(u) → 1/u

النتيجة

f′(x) = 2x·sin(3x) + 3x2·cos(3x) + (1 − ln(x))/x2 − 2x·e−x2

احسب عند النقطة

f(1) = 0,509
f′(1) = −2,423
المماس: y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀) = 0,509 + (−2,423)·(x − 1)

الصيغ الأساسية

قاعدة القوة
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب
(uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

كيف تجد مشتقة خطوة بخطوة

  1. قسّم المجموع إلى حدوده واشتق كلًّا منها على حدة (قاعدة المجموع). تبقى العوامل الثابتة في مكانها (قاعدة مضاعف الثابت).
  2. للقوى استخدم قاعدة القوة، d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹. وهي تصح أيضًا للجذور والمقلوبات: √x = x^(1/2) و 1/x² = x⁻².
  3. لحاصل الضرب u·v استخدم قاعدة الضرب (uv)′ = u′v + uv′؛ ولناتج القسمة u/v استخدم قاعدة القسمة (u/v)′ = (u′v − uv′)/v².
  4. لدالة دالة أخرى، مثل sin(3x) أو e^(x²)، استخدم قاعدة السلسلة: اشتق الدالة الخارجية، وأبقِ الداخلية، واضرب في مشتقة الداخلية.
  5. بسّط: اجمع الحدود المتشابهة واختزل العوامل المشتركة بين البسط والمقام.

أسئلة وأجوبة

كيف أكتب الدالة؟

استخدم ^ للقوى والأقواس لوسائط الدوال: x^3 - 2x و sin(3x) و e^(2x) و ln(x)/x و sqrt(x^2 + 1). يمكن حذف علامات الضرب: 3x^2 sin(x) تعني 3x²·sin(x). اكتب e^(2x) بأقواس؛ فـ e^2x تُقرأ e²·x.

ما الدوال المدعومة؟

sin و cos و tan و sec و csc و cot و arcsin و arccos و arctan و exp و ln و log (الأساس 10) و sqrt، بأي تركيبة من + و − و · و / والقوى، بما فيها قوى مثل x^x حيث يحتوي الأساس والأس كلاهما على x.

ما الفرق بين ln و log؟

ln اللوغاريتم الطبيعي، الأساس e، مع d/dx[ln x] = 1/x. وفي هذه الحاسبة تعني log اللوغاريتم ذا الأساس 10، ومشتقته 1/(x·ln 10).

كيف تجد الحاسبة المماس؟

أدخل نقطة x₀. المماس هو y = f(x₀) + f′(x₀)·(x − x₀): يمر بالنقطة على المنحنى وميله هو المشتقة.

هل الجواب دائمًا بأبسط صورة؟

تُبسَّط النتيجة بجمع الحدود المتشابهة ودمج القوى واختزال العوامل المشتركة، لكنها قد تُكتب بشكل مختلف عن كتابك، مثلًا cos(x)/sin(x) بدل cot(x). والصورتان متساويتان.

تدرّب بنفسك

المشتقات: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوةكيف تحلّ مسائل المشتقاتورقة عمل المشتقات مع الإجابات

تدرّب على المشتقات

الآلة الحاسبة تعطي الإجابة. أما في الامتحان فتحتاج إلى الطريقة: تدرّب عليها بمسائل جديدة وتلميحات وحلول مفصّلة.

تدرّب على المشتقات مجانًاتدرّب على المشتقات الآنأمثلة محلولة
</> تضمين

مجانًا للمعلمين والمدارس: الصق هذا الرمز في صفحة مقررك أو نظام إدارة التعلم أو موقعك. يمكن للطلاب استخدام الحاسبة وحلها خطوة بخطوة دون حساب.

مزيد من الآلات الحاسبة

حاسبة الدرجة المعيارية والاحتمال الطبيعيحاسبة فترة الثقةحاسبة حجم العيّنةحاسبة المتوسط والوسيط والانحراف المعياريحاسبة الانحدار الخطيحاسبة اختبار مربع كاي لجودة المطابقةحاسبة محدِّد المصفوفة ومعكوسهاحاسبة التوزيع الطبيعيحاسبة التوزيع ذي الحدينحاسبة توزيع بواسون