المجموعات والعلاقات والدوال: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في المجموعات والعلاقات والدوال مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: مخططات فن والمجموعات الجزئية, الاشتمال والاستبعاد والعلاقات, الدوال والعدّ.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة

لتكن A = {b, e} وB = {1, 2}. جد |A × B|.

A = {b, e}B = {1, 2}

إجابة دقيقة: عدد صحيح، دون تقريب.

المسألة التالية →
تدرّب على المجموعات والعلاقات والدوال مجانًاتدرّب على المجموعات والعلاقات والدوال الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةمخططات فن والمجموعات الجزئية
  2. متوسطةالاشتمال والاستبعاد والعلاقات
  3. صعبةالدوال والعدّ

كيف تحلّ مسائل المجموعات والعلاقات والدوال

  1. ارسم مخطط فن وقرّر منطقةً منطقةً ما ينتمي إلى تعبير المجموعات.
  2. في مسائل العدّ املأ المناطق من المركز نحو الخارج: كل المجموعات أولًا، ثم الأزواج، ثم المجموعات المفردة، ثم الخارج.
  3. استخدم مبدأ الاشتمال والاستبعاد للتحقق: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
  4. لعلاقة ما، اختبر كل خاصية على كل زوج وأعطِ مثالًا مضادًا واحدًا عندما تفشل.
  5. لدالة ما، عُدّ الأسهم الواصلة إلى كل عنصر من B: سهم واحد على الأكثر يعني متباينة، وسهم واحد على الأقل يعني شاملة.

أخطاء شائعة

  • جمع |A| و |B| دون طرح المنطقة المشتركة.
  • نسيان إضافة المركز في حالة ثلاث مجموعات.
  • عكس الأساس والأس في عدد الدوال: nᵐ لـ m عنصرًا إلى n.
  • تطبيق g ∘ f بالترتيب الخاطئ: f تعمل أولًا.
  • نسيان الأزواج (x, x) عند عدّ أزواج علاقة تكافؤ.

الصيغ الأساسية

مجموعتان
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
ثلاث مجموعات
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
الفرق والمتممة
A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
مجموعة القوى والجداء الديكارتي
|𝒫(A)| = 2|A|, |A × B| = |A|·|B|
المجموعات الجزئية ذات الحجم k
C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
الدوال A → B
nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
العلاقات على n عنصرًا
2n²; reflexive 2n² − n; symmetric 2n(n+1)/2
التركيب
(g ∘ f)(x) = g(f(x))

تعلّم المجموعات والعلاقات والدوال من البداية

قبل هذا: المنطق القضوي والبراهين

1المجموعات وعمليات المجموعات

المجموعة تجميع لعناصر متمايزة: A = {1, 2, 3}. لا يهم الترتيب ولا التكرار. |A| عدد العناصر، و U المجموعة الشاملة التي تحوي كل ما نتحدث عنه.

  • A ∪ B (الاتحاد): العناصر الموجودة في A أو B أو كليهما.
  • A ∩ B (التقاطع): العناصر الموجودة في كليهما.
  • A − B (الفرق): عناصر A التي ليست في B.
  • A′ (المتممة): عناصر U التي ليست في A.

في مخطط فن تقسّم دائرتان U إلى أربع مناطق: A فقط، والمشتركة، و B فقط، وخارجهما. كل تعبير مجموعات هو اتحاد لبعض هذه المناطق، لذا يمكنك دائمًا عدّه منطقةً منطقةً.

UAB125815

هنا |A| = 12 + 5 = 17، و |A ∩ B| = 5، و |A ∪ B| = 12 + 5 + 8 = 25، و |(A ∪ B)′| = 15.

تحقّق ذاتي في المخطط أعلاه، كم عنصرًا في A − B؟
  1. 12
  2. 17
  3. 25
  4. 5

الإجابة: 12. يُبقي A − B على جزء A خارج B: المنطقة ذات 12 فقط. الـ 5 في التداخل موجودة في B أيضًا، و 17 هو كل A.

2العدّ بالاشتمال والاستبعاد

جمع |A| و |B| يعدّ التداخل مرتين، فاطرحه مرة واحدة:

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

لثلاث مجموعات تُطرح التداخلات الثنائية، لكن المركز عندئذ أُزيل ثلاث مرات، فيُضاف مجددًا:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

في المسائل اللفظية يكون أأمن عادةً ملء مخطط فن من المركز إلى الخارج: أولًا العناصر في المجموعات الثلاث، ثم كل زوج ناقص المركز، ثم كل مجموعة منفردة ناقص ما وُضع فعلًا.

عدّان آخران يتكرران كثيرًا: لمجموعة من n عنصرًا 2ⁿ مجموعة جزئية (مجموعة قواها 𝒫(A))، و |A × B| = |A|·|B| زوجًا مرتبًا.

تحقّق ذاتي من بين 40 طالبًا، يدرس 25 الفرنسية و18 الألمانية و9 كليهما. كم يدرس لا هذه ولا تلك؟
  1. 15
  2. 34
  3. 3
  4. 6

الإجابة: 6. |F ∪ G| = 25 + 18 − 9 = 34، إذن 40 − 34 = 6 لا يدرسون أيًّا منهما. نسيان طرح الـ 9 يعطي 43، وهو أكبر من المجموعة كلها.

3مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

من بين 60 طالبًا، نجح 30 في الرياضيات (M) و25 في الفيزياء (P) و20 في الكيمياء (C). نجح 10 في M و P، و8 في M و C، و6 في P و C، و3 في الثلاث. كم نجح في لا شيء منها؟

1

المركز

نجح 3 في الثلاث.

2

الأزواج فقط

M و P فقط: 10 − 3 = 7. M و C فقط: 8 − 3 = 5. P و C فقط: 6 − 3 = 3.

3

المفردات فقط

M فقط: 30 − 7 − 5 − 3 = 15. P فقط: 25 − 7 − 3 − 3 = 12. C فقط: 20 − 5 − 3 − 3 = 9.

4

الاتحاد والمتممة

|M ∪ P ∪ C| = 15 + 12 + 9 + 7 + 5 + 3 + 3 = 54

تعطي الصيغة النتيجة نفسها: 30 + 25 + 20 − 10 − 8 − 6 + 3 = 54.

الإجابة

60 − 54 = 6 طلاب لم ينجحوا في أي من المواد الثلاث.

4العلاقات

العلاقة R على مجموعة X هي مجموعة أزواج مرتبة (x, y) حيث x و y في X. وعند رسمها كبيان موجَّه يكون كل زوج سهمًا و (x, x) حلقة.

  • انعكاسية: (x, x) ∈ R لكل x: حلقة عند كل رأس.
  • تناظرية: كل (x, y) ∈ R يرافقه (y, x) ∈ R.
  • ضد تناظرية: يكون (x, y) و(y, x) كلاهما في R فقط عندما x = y.
  • متعدية: وجود (x, y) و(y, z) في R يفرض (x, z) ∈ R.

العلاقة الانعكاسية والتناظرية والمتعدية هي علاقة تكافؤ. تقسّم X إلى صفوف منفصلة، مثل البواقي 0 و 1 و 2 في «x ≡ y (mod 3)». وصف فيه s عنصرًا يسهم بـ s² زوجًا مرتبًا.

لدحض خاصية يكفي مثال مضاد واحد؛ ولإثباتها افحص كل زوج.

تحقّق ذاتي R = {(1, 2), (2, 3)} على {1, 2, 3}. أي زوج يجب إضافته لتصبح R متعدية؟
  1. (1, 1)
  2. (1, 3)
  3. (2, 1)
  4. (3, 1)

الإجابة: (1, 3). (1, 2) و(2, 3) في R، فتتطلب التعدية (1, 3). أما (2, 1) فيلزم للتناظر و (1, 1) للانعكاس.

5الدوال

الدالة f: A → B تعطي كل عنصر من A صورة واحدة بالضبط في B.

AB123abcd
  • متباينة (واحد لواحد): العناصر المختلفة لها صور مختلفة؛ ولا يتلقى أي عنصر من B سهمين.
  • شاملة (onto): كل عنصر من B يتلقى سهمًا واحدًا على الأقل.
  • تقابلية: الاثنتان معًا. عندئذ فقط يكون لـ f معكوس f⁻¹.

الدالة في الشكل متباينة لكنها غير شاملة: d لا يتلقى أي سهم. تتطلب المتباينة |A| ≤ |B| وتتطلب الشاملة |A| ≥ |B|.

مع |A| = m و |B| = n توجد nᵐ دالة و n!/(n − m)! منها متباينة. يطبّق التركيب (g ∘ f)(x) = g(f(x)) الدالة f أولًا.

تحقّق ذاتي كم دالة توجد من مجموعة ذات 3 عناصر إلى مجموعة ذات 4 عناصر؟
  1. 12
  2. 24
  3. 64
  4. 81

الإجابة: 64. يختار كل عنصر من العناصر الثلاثة واحدة من 4 صور: 4³ = 64. أما 3⁴ = 81 فتبدّل الدورين، و 24 = 4·3·2 تعدّ الدوال المتباينة فقط، و 12 = 3·4 هي حجم A × B.

6أخطاء شائعة

  • جمع |A| + |B| دون طرح التداخل.
  • نسيان إضافة المركز مجددًا في الاشتمال والاستبعاد لثلاث مجموعات.
  • كتابة mⁿ بدل nᵐ لعدد الدوال من m عنصرًا إلى n عنصرًا.
  • الظن أن علاقة لا يمكن أن تكون تناظرية وضد تناظرية معًا: العلاقة {(1, 1)} هي الاثنتان معًا.
  • تطبيق g ∘ f بالترتيب الخاطئ: f تعمل أولًا.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: مخططات فن والمجموعات الجزئية. تعدّ تعبير مجموعات من مخطط فن، أو تنقر على منطقة تعبير، أو تجد حجم مجموعة قوى أو جداء ديكارتي أو عائلة مجموعات جزئية.
  • متوسط: الاشتمال والاستبعاد والعلاقات. تحل مسائل عدّ لمجموعتين وثلاث مجموعات، وتعدّ تعابير من مجاميع المناطق، وتحدد أي خاصية لعلاقة، أو تعدّ الأزواج اللازمة لإغلاق.
  • صعب: الدوال والعدّ. تصنّف دالة بأنها متباينة أو شاملة أو تقابلية، وتعدّ الدوال والمتباينات والشاملات، وتحسب التراكيب والمعكوسات، وتعدّ الأزواج في علاقات التكافؤ.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة

لتكن A = {a, b, c, x, y} وB = {1, 2, 3, 4}. جد |𝒫(A)|.

A = {a, b, c, x, y}B = {1, 2, 3, 4}

المطلوب: |𝒫(A)|

أظهر التلميحات
  1. لمجموعة ذات k عنصرًا 2ᵏ مجموعة جزئية: كل عنصر إما في المجموعة الجزئية أو خارجها.
  2. |A| = 5, |B| = 4.
  3. |𝒫(A)| = 2|A|.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الدوال والعدّ: الدالة f: A → B تعطي كل عنصر من A صورة واحدة بالضبط في B. تكون f متباينة (واحد لواحد) عندما تكون للعناصر المختلفة صور مختلفة، وشاملة (onto) عندما يكون كل عنصر من B صورة، وتقابلية عندما يتحقق الأمران. مع |A| = m و|B| = n توجد nᵐ دالة، منها n!/(n − m)! متباينة (m ≤ n)، وبالاشتمال والاستبعاد Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ شاملة. |𝒫(A)| = 2ᵐ و|A × B| = m·n.

الأحجام

|A| = 5
|B| = 4

عُدّ

|𝒫(A)| = 25 = 32

الإجابة

|𝒫(A)| = 32
مثال 2متوسطة
UMPC

من بين 53 طالبًا في السنة الأولى، نجح 35 في الرياضيات (M)، ونجح 28 في الفيزياء (P)، ونجح 29 في الكيمياء (C). نجح 20 في M وP، ونجح 18 في M وC، ونجح 10 في P وC، ونجح 6 في الثلاث جميعًا. كم عددهم ممن لا ينتمون إلى أي من المجموعات الثلاث؟

|U| = 53

المطلوب: |(M ∪ P ∪ C)′|

أظهر التلميحات
  1. املأ مخطط فن من المركز إلى الخارج: أولًا الثلاث جميعًا، ثم الأزواج، ثم المجموعات المنفردة.
  2. M وP فقط (وليس C): 20 − 6 = 14. M فقط: 35 − 14 − 12 − 6 = 3.
  3. مجموعة واحدة على الأقل: 35 + 28 + 29 − 20 − 18 − 10 + 6 = 50.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

المجموعات ومخططات فن: A ∪ B تضم العناصر الموجودة في A أو B (أو كليهما)، وA ∩ B العناصر الموجودة في كليهما، وA − B عناصر A التي ليست في B، والمتممة A′ كل ما في U وليس في A. في مخطط فن كل تعبير مجموعات هو اتحاد مناطق، فعُدّه منطقةً منطقةً. الاشتمال والاستبعاد: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|، و|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

المركز والأزواج

M ∩ P ∩ C: 6
M ∩ P فقط: 20 − 6 = 14
M ∩ C فقط: 18 − 6 = 12
P ∩ C فقط: 10 − 6 = 4

المجموعات المنفردة

M فقط: 35 − 14 − 12 − 6 = 3
P فقط: 28 − 14 − 4 − 6 = 4
C فقط: 29 − 12 − 4 − 6 = 7

الإجابة

|M ∪ P ∪ C| = 50
|(M ∪ P ∪ C)′| = 53 − 50 = 3

الإجابة

|(M ∪ P ∪ C)′| = 3
مثال 3صعبة
x12345f(x)13234g(x)51541

الدالتان f وg على {1, 2, 3, 4, 5} معطاتان بجدوليهما. جد (f ∘ g)(5).

f: 1 ↦ 1, 2 ↦ 3, 3 ↦ 2, 4 ↦ 3, 5 ↦ 4g: 1 ↦ 5, 2 ↦ 1, 3 ↦ 5, 4 ↦ 4, 5 ↦ 1

المطلوب: (f ∘ g)(5)

أظهر التلميحات
  1. (f ∘ g)(x) تعني f(g(x)): أولًا g ثم f.
  2. القيمة الداخلية هي g(5) = 1.
  3. طبّق الآن الدالة الخارجية على 1.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الدوال والعدّ: الدالة f: A → B تعطي كل عنصر من A صورة واحدة بالضبط في B. تكون f متباينة (واحد لواحد) عندما تكون للعناصر المختلفة صور مختلفة، وشاملة (onto) عندما يكون كل عنصر من B صورة، وتقابلية عندما يتحقق الأمران. مع |A| = m و|B| = n توجد nᵐ دالة، منها n!/(n − m)! متباينة (m ≤ n)، وبالاشتمال والاستبعاد Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ شاملة. |𝒫(A)| = 2ᵐ و|A × B| = m·n.

الدالة الداخلية

g(5) = 1

الدالة الخارجية

f(1) = 1
(f ∘ g)(5) = 1

الإجابة

(f ∘ g)(5) = 1

أسئلة وأجوبة

ما هو المجموعات والعلاقات والدوال؟

في مخطط فن تقسّم دائرتان U إلى أربع مناطق: A فقط، والمشتركة، و B فقط، وخارجهما. كل تعبير مجموعات هو اتحاد لبعض هذه المناطق، لذا يمكنك دائمًا عدّه منطقةً منطقةً.

هنا |A| = 12 + 5 = 17، و |A ∩ B| = 5، و |A ∪ B| = 12 + 5 + 8 = 25، و |(A ∪ B)′| = 15.

كيف تحل مسائل المجموعات والعلاقات والدوال خطوة بخطوة؟
  1. ارسم مخطط فن وقرّر منطقةً منطقةً ما ينتمي إلى تعبير المجموعات.
  2. في مسائل العدّ املأ المناطق من المركز نحو الخارج: كل المجموعات أولًا، ثم الأزواج، ثم المجموعات المفردة، ثم الخارج.
  3. استخدم مبدأ الاشتمال والاستبعاد للتحقق: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
  4. لعلاقة ما، اختبر كل خاصية على كل زوج وأعطِ مثالًا مضادًا واحدًا عندما تفشل.
  5. لدالة ما، عُدّ الأسهم الواصلة إلى كل عنصر من B: سهم واحد على الأكثر يعني متباينة، وسهم واحد على الأقل يعني شاملة.
ما الأخطاء الشائعة في المجموعات والعلاقات والدوال؟
  • جمع |A| و |B| دون طرح المنطقة المشتركة.
  • نسيان إضافة المركز في حالة ثلاث مجموعات.
  • عكس الأساس والأس في عدد الدوال: nᵐ لـ m عنصرًا إلى n.
  • تطبيق g ∘ f بالترتيب الخاطئ: f تعمل أولًا.
  • نسيان الأزواج (x, x) عند عدّ أزواج علاقة تكافؤ.
ماذا تغطي تمارين المجموعات والعلاقات والدوال؟
  • سهلة: مخططات فن والمجموعات الجزئية
  • متوسطة: الاشتمال والاستبعاد والعلاقات
  • صعبة: الدوال والعدّ

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

المنطق القضوي والبراهين

ثم تابع مع

نظرية البيانات

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

الرياضيات المتقطعة

مواضيع أخرى في الرياضيات والإحصاء

النهاياتالمشتقاتالتحسين (القيم القصوى)التكاملاتالمتتاليات والمتسلسلاتالتفاضل والتكامل لعدة متغيراتالمعادلات التفاضليةالأعداد المركبةالطرائق العدديةالمصفوفات والمحدداتالمتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيالمنطق القضوي والبراهيننظرية البياناتنظرية الأعداد والحساب المودوليالاحتمالالإحصاء الوصفيالتوزيع الطبيعيفترات الثقةاختبارات الفرضيات وفترات الثقةالانحدار الخطي والارتباطاختبارات مربع كاي

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل المجموعات والعلاقات والدوال مع الإجابات
تدرّب على المجموعات والعلاقات والدوال مجانًاتدرّب على المجموعات والعلاقات والدوال الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.