مسائل تدريبية مجانية في الطرائق العددية مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: الجذور والاستيفاء, قاعدتا شبه المنحرف وسيمبسون, أويلر وهوين ورونج–كوتا.
مسألة تدريبية مجانيةسهلة
طبّق طريقة نيوتن–رافسون على f(x) = e−x − x بقيمة البداية x₀ = 0. جد x2.
تعطي الجداول القيم عند نقاط معينة فقط. يرسم الاستيفاء الخطي خطًا مستقيمًا بين نقطتي الجدول المتجاورتين:
y = y₁ + (y₂ − y₁)·(x − x₁)/(x₂ − x₁)
مثال: يعطي الجدول f(1) = 2,0 و f(2) = 2,6. عند x = 1,4 يكون الكسر 0,4، إذن f(1,4) ≈ 2,0 + 0,6·0,4 = 2,24.
يعمل الاستيفاء العكسي بالطريقة نفسها في الاتجاه المعاكس: لإيجاد موضع y = 2,3، الكسر هو (2,3 − 2,0)/0,6 = 0,5، إذن x ≈ 1,5.
4قاعدة شبه المنحرف وقاعدة سيمبسون
لتكامل f من a إلى b، قسّم المجال إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀, x₁, …, xₙ.
تستبدل قاعدة شبه المنحرف المنحنى في كل شريحة بخط مستقيم. وكل عقدة داخلية تنتمي إلى شريحتين، فتُحتسب مرتين:
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]
تلائم قاعدة سيمبسون قطوعًا مكافئة عبر ثلاث عقد في كل مرة. وتحتاج إلى n زوجي:
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]
لـ ∫01 x² dx = 1/3 مع n = 2 (h = 0,5): T = 0,25·(0 + 0,5 + 1) = 0,375، بينما S = (0,5/3)·(0 + 1 + 1) = 0,3333، دقيقة.
يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² وخطأ سيمبسون مثل h⁴: تنصيف h يجعل سيمبسون أدق بنحو 16 مرة.
تحقّق ذاتي ما الأوزان التي تعطيها قاعدة شبه المنحرف للعقد x₀ و x₁ و x₂ و x₃؟
1, 1, 1, 1
1, 2, 2, 1
1, 4, 2, 1
1, 4, 4, 1
الإجابة: 1, 2, 2, 1. نقطتا الطرفين تنتميان إلى شريحة واحدة والنقاط الداخلية إلى شريحتين، إذن 1, 2, 2, 1 مع العامل h/2. أما الأعداد 4 فتخص قاعدة سيمبسون.
5أويلر وهوين للمعادلات التفاضلية
لـ y′ = f(t, y) مع y(t₀) = y₀، تقدّم في الزمن بخطوة h. تستخدم طريقة أويلر الميل عند بداية كل خطوة:
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
طريقة هوين (أويلر المحسّنة) تتنبأ بأويلر ثم تأخذ متوسط الميلين عند الطرفين: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂).
خطأ أويلر يتناسب مع h، وخطأ هوين مع h². وتستخدم طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول وتبلغ دقتها h⁴.
مثال محلول
حلّ y′ = y، y(0) = 1 بطريقة أويلر و h = 0,1 حتى t = 0,3، وقارنه بالحل الدقيق eᵗ.
1
الخطوة 1
y₁ = 1 + 0,1·1 = 1,1
2
الخطوة 2
y₂ = 1,1 + 0,1·1,1 = 1,21
3
الخطوة 3
y₃ = 1,21 + 0,1·1,21 = 1,331
4
قارن
القيمة الدقيقة e0,3 = 1,349859، فالخطأ الكلي 0,0189. خطوة هوين واحدة من y₀ كانت ستعطي 1 + 0,05·(1 + 1,1) = 1,105 مقابل e0,1 = 1,105171.
الإجابة
y(0,3) ≈ 1,331 بأويلر؛ والخطأ 0,019 يتناقص تقريبًا بالتناسب مع h.
6أخطاء شائعة وأسئلة الامتحان
عدّ نقطة المنتصف الأولى في التنصيف على أنها الخطوة 0، أو الاحتفاظ بنصف المجال الخطأ.
كتابة x − f′/f بدل x − f/f′ في طريقة نيوتن.
نسيان العامل 2 على العقد الداخلية، أو استخدام h بدل h/2 في قاعدة شبه المنحرف.
استخدام قاعدة سيمبسون مع عدد فردي من الشرائح.
في طريقة أويلر: استخدام الميل عند نهاية الخطوة، أو تنفيذ خطوة أقل مما يلزم.
سهل: التنصيف وتكرارات نيوتن والاستيفاء في جدول. متوسط: قاعدتا شبه المنحرف وسيمبسون وخطؤهما وعدد الشرائح اللازم. صعب: خطوات أويلر وهوين ورونج–كوتا للمعادلات التفاضلية.
تحقّق ذاتي y′ = 2y مع y(0) = 1. ماذا تعطي خطوة أويلر واحدة مع h = 0,2؟
1,2
1,49
1,4
2,4
الإجابة: 1,4. y₁ = 1 + 0,2·(2·1) = 1,4. نسيان العامل 2 في الميل يعطي 1,2؛ و 1,49 هي القيمة الدقيقة e0,4.
تبدأ طريقة التنصيف على مجال طوله 4. كل خطوة تنصّف المجال. كم خطوة n لازمة على الأقل قبل أن يصبح المجال أقصر من 0,0001؟
b − a = 4ε = 0,0001
المطلوب: n
أظهر التلميحات
بعد n خطوة يكون طول المجال (b − a)/2ⁿ.
حلّ 4/2ⁿ < 0,0001، أي 2ⁿ > 40000.
n > log₂(40000) = 15,29
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة
إيجاد الجذور والاستيفاء: تحتفظ طريقة التنصيف بمجال [a, b] تغيّر عليه f إشارتها؛ وتأخذ كل خطوة نقطة المنتصف c = (a + b)/2 وتحتفظ بالنصف الذي ما زالت الإشارة تتغير فيه، فبعد n خطوة يكون عرض المجال (b − a)/2ⁿ. وتتبع طريقة نيوتن–رافسون المماس إلى المحور: xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn)؛ وقرب جذر بسيط تضاعف تقريبًا عدد الأرقام الصحيحة في كل خطوة. الاستيفاء الخطي بين نقطتين من جدول: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁).
الشرط
4/2ⁿ < 0,0001 → 2ⁿ > 40000
اللوغاريتم
n > ln(40000)/ln 2 = 15,29
n = 16
تحقّق
2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536
الإجابة
n = 16
مثال 2متوسطة
قرّب ∫01,5 √(1 + x³) dx بقاعدة شبه المنحرف باستخدام n = 3 شريحة. أعطِ T.
f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 3
المطلوب: T
أظهر التلميحات
h = (1,5 − 0)/3 = 0,5؛ والعقد هي 0, 0,5, 1, 1,5.
الأوزان: 1, 2, 2, …, 2, 1؛ T = (h/2)·Σ wᵢfᵢ.
المجموع الموزون هو Σ wᵢfᵢ = 8,041398.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة
التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.