الانحدار الخطي والارتباط: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في الانحدار الخطي والارتباط مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: الميل والمقطع, معامل الارتباط, التنبؤ.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
xy242352445555660760xy2465060

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أوجد المقطع a.

n = 6
المسألة التالية →
تدرّب على الانحدار الخطي والارتباط مجانًاتدرّب على الانحدار الخطي والارتباط الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةالميل والمقطع
  2. متوسطةمعامل الارتباط
  3. صعبةالتنبؤ

الصيغ الأساسية

مجاميع المربعات
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل
b = Sxy/Sxx
المقطع
a = ȳ − b·x̄
الارتباط
r = Sxy/√(SxxSyy)
البُواقي
e = y − ŷ

تعلّم الانحدار الخطي والارتباط من البداية

قبل هذا: الإحصاء الوصفي

1ما هو الانحدار

تقيس كميتين لكل حالة، مثلًا x = ساعات الدراسة وy = درجة الامتحان. كل زوج نقطة واحدة في مخطط التبعثر.

xy123456246810

إذا وقعت النقاط تقريبًا على خط مستقيم، أمكنك وصفها بخط واستخدامه للتنبؤ بـ y من x. وهذا هو الانحدار الخطي.

ŷ = a + b · x
  • ŷ («y hat») هي القيمة المتنبأ بها لـ y.
  • b هو الميل: مقدار تغير ŷ حين تزداد x بمقدار 1.
  • a هو المقطع: قيمة ŷ عند x = 0.
تحقّق ذاتي خط انحدار ŷ = 40 + 5x، مع x ساعات الدراسة وŷ الدرجة المتنبأ بها. ماذا يعني العدد 5؟
  1. الدرجة تساوي 5 أضعاف الساعات
  2. الطالب الذي لا يدرس يحصل على 5
  3. كل ساعة إضافية تضيف نحو 5 درجات
  4. يمر الخط بالنقطة (5، 40)

الإجابة: كل ساعة إضافية تضيف نحو 5 درجات. الميل b هو تغير ŷ لكل وحدة من x. والدرجة المتنبأ بها عند x = 0 هي المقطع a = 40، لا 5.

2خط المربعات الصغرى

لا يمر أي خط بكل النقاط. المسافة الرأسية من نقطة إلى الخط هي باقيها، e = y − ŷ.

خط المربعات الصغرى هو الخط ذو أصغر مجموع ممكن لمربعات البواقي. ويُستنتج ميله ومقطعه من مجاميع الانحرافات عن المتوسطين:

Sxx = Σ(x − x̄)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)
b = Sxy / Sxx, a = ȳ − b · x̄

يمر الخط دائمًا بنقطة المتوسطين (x̄، ȳ). ولهذا a = ȳ − b · x̄.

إذا أُعطيت المجاميع فقط فاستخدم الاختصارين Sxx = Σx² − (Σx)²/n وSxy = Σxy − ΣxΣy/n.

تحقّق ذاتي لمجموعة بيانات x̄ = 4 وȳ = 10 وb = 2. ما المقطع a؟
  1. 10
  2. 18
  3. 2
  4. −2

الإجابة: 2. a = ȳ − b · x̄ = 10 − 2 · 4 = 2. الجمع بدل الطرح يعطي 18، و10 هي ȳ نفسها، أي أنها تنسى الميل.

3معامل الارتباط

يقيس معامل الارتباط r لبيرسون مدى قرب النقاط من خط مستقيم. وهو دائمًا بين −1 و1.

r = Sxy / √(Sxx · Syy), Syy = Σ(y − ȳ)²
  • r قريب من 1: اتجاه صاعد قوي.
  • r قريب من −1: اتجاه هابط قوي، مثل سعر السيارة مقابل عمرها.
  • r قريب من 0: لا علاقة خطية.

لـ r إشارة الميل b نفسها. ومربعه r² هو كسر التباين في y الذي يفسره الخط.

ارتباط قوي لا يثبت أن x تسبب y. فقد يعتمد كلاهما على كمية ثالثة.

تحقّق ذاتي لعمر السيارة x والسعر y، r = −0,95. ماذا يخبرك ذلك؟
  1. الحساب خاطئ، لأن r سالب
  2. السيارات الأقدم أغلى
  3. علاقة خطية هابطة قوية
  4. علاقة ضعيفة

الإجابة: علاقة خطية هابطة قوية. r قرب −1 يعني أن النقاط قريبة من خط هابط: ينخفض السعر كلما زاد العمر. و r السالب صحيح تمامًا؛ المستحيل فقط قيم خارج −1 إلى 1.

4الطريقة خطوة بخطوة

  1. احسب المتوسطين x̄ وȳ.
  2. كوّن جدولًا بأعمدة x − x̄ وy − ȳ وحاصل ضربهما و(x − x̄)². وأضف (y − ȳ)² إذا طُلب r.
  3. اجمع الأعمدة لتحصل على Sxy وSxx وSyy.
  4. الميل b = Sxy/Sxx، ثم المقطع a = ȳ − b · x̄.
  5. الارتباط r = Sxy/√(SxxSyy).
  6. التنبؤ: ضع x في ŷ = a + bx. الباقي: e = y − ŷ.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

قيست خمسة أزواج: x = 1، 2، 3، 4، 5 وy = 3، 5، 6، 8، 8. أوجد خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x وتنبأ بـ ŷ عند x = 6.

1

المتوسطان

x̄ = 15 / 5 = 3, ȳ = 30 / 5 = 6
2

الانحرافات

x − x̄: −2، −1، 0، 1، 2.

y − ȳ: −3، −1، 0، 2، 2.

3

المجاميع

اضرب الأزواج: 6، 1، 0، 2، 4. ربّع انحرافات x: 4، 1، 0، 1، 4.

Sxy = 6 + 1 + 0 + 2 + 4 = 13, Sxx = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10
4

الميل والمقطع

b = 13 / 10 = 1,3
a = 6 − 1,3 · 3 = 6 − 3,9 = 2,1
xy123456246810ŷ = 2,1 + 1,3x

الخطوط المتقطعة هي البواقي. إنها صغيرة، فالخط يلائم البيانات جيدًا.

5

تنبأ

ŷ = 2,1 + 1,3 · 6 = 2,1 + 7,8 = 9,9

تحقق: يمر الخط بنقطة المتوسطين، 2,1 + 1,3 · 3 = 6 = ȳ.

الإجابة

ŷ = 2,1 + 1,3x، والتنبؤ عند x = 6 هو ŷ = 9,9.

6أخطاء شائعة

  • حساب الباقي ŷ − y بدل y − ŷ.
  • القسمة على Syy بدل Sxx لإيجاد الميل.
  • الخلط بين a وb: الميل يضرب في x.
  • نسيان أن r له إشارة الميل نفسها.
  • التنبؤ بعيدًا خارج مدى البيانات. قد لا يصح الخط المستقيم هناك.
تحقّق ذاتي الخط هو ŷ = 2,1 + 1,3x. قيست نقطة جديدة (6، 8). ما باقيها؟
  1. 1,9
  2. 17,9
  3. 9,9
  4. −1,9

الإجابة: −1,9. ŷ = 2,1 + 1,3 · 6 = 9,9، إذن e = y − ŷ = 8 − 9,9 = −1,9. تقع النقطة تحت الخط. والقيمة 1,9 تحسب ŷ − y، أي بالعكس.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: الميل والمقطع. خمسة أزواج في جدول؛ أوجد b أو a لخط المربعات الصغرى.
  • متوسط: معامل الارتباط r، من البيانات أو من مجاميع معطاة.
  • صعب: التنبؤ. استخدم الخط للتنبؤ بـ ŷ لقيمة x جديدة، أو أوجد باقي ملاحظة جديدة.

فحص سريع: يجب أن تطابق إشارة b وr اتجاه مخطط التبعثر.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
xy2441262082210301235xy510102030

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أوجد المقطع a.

n = 6

المطلوب: a

أظهر التلميحات
  1. أوجد أولًا الميل b = Sxy/Sxx.
  2. x̄ = 7, ȳ = 20,5.
  3. الخط يمرّ بالنقطة (x̄, ȳ)، لذا a = ȳ − b·x̄.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 123/6 = 20,5

مجاميع المربعات والضروب

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 211

الميل

b = 211/70 = 3,014

المقطع

a = 20,5 − 3,014·7 = −0,6

الإجابة

a = −0,6
مثال 2متوسطة
xy1787199921100231242512727146xy2025100120140

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 132Σy = 683Σx² = 2974Σy² = 80191Σxy = 15429

المطلوب: r

أظهر التلميحات
  1. Sxy = Σxy − Σx·Σy/n.
  2. Sxx = Σx² − (Σx)²/n, Syy = Σy² − (Σy)²/n.
  3. r = Sxy/√(Sxx·Syy).
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

Sxy = 15429 − 132·683/6 = 403
Sxx = 2974 − 132²/6 = 70
Syy = 80191 − 683²/6 = 2443

معامل الارتباط

r = 403/√(70·2443) = 0,9746

الإجابة

r = 0,9746
مثال 3صعبة
xy123221318412513xy241520x = 1,5

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 1,5.

n = 5x = 1,5

المطلوب: ŷ

أظهر التلميحات
  1. أوجد أولًا خط المربعات الصغرى: b = Sxy/Sxx و a = ȳ − b·x̄.
  2. x̄ = 3, ȳ = 17,4.
  3. ŷ = a + b·1,5.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 87/5 = 17,4

مجاميع المربعات والضروب

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

خط الانحدار

b = −29/10 = −2,9
a = 17,4 − (−2,9)·3 = 26,1
ŷ = 26,1 − 2,9·x

التنبؤ

ŷ = 26,1 + (−2,9)·1,5 = 21,75

الإجابة

ŷ = 21,75

أسئلة وأجوبة

ما هو الانحدار الخطي والارتباط؟

تقيس كميتين لكل حالة، مثلًا x = ساعات الدراسة وy = درجة الامتحان. كل زوج نقطة واحدة في مخطط التبعثر.

إذا وقعت النقاط تقريبًا على خط مستقيم، أمكنك وصفها بخط واستخدامه للتنبؤ بـ y من x. وهذا هو الانحدار الخطي.

كيف تحل مسائل الانحدار الخطي والارتباط خطوة بخطوة؟

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

ما الأخطاء الشائعة في الانحدار الخطي والارتباط؟
  • المقطع a = ȳ − b·x̄: الخط يمرّ بالنقطة (x̄, ȳ).
  • ȳ هو ارتفاع الخط عند x = x̄، لا عند x = 0. استخدم a = ȳ − b·x̄.
  • استخدم المقسوم عليه نفسه (n أو n − 1) في التغاير وفي الانحرافين المعياريين كليهما. مع Sxy و Sxx و Syy تُختصر المقسومات عليها.
ماذا تغطي تمارين الانحدار الخطي والارتباط؟
  • سهلة: الميل والمقطع
  • متوسطة: معامل الارتباط
  • صعبة: التنبؤ

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

الإحصاء الوصفي

الآلات الحاسبة

حاسبة الانحدار الخطيحاسبة معامل الارتباط (بيرسون وسبيرمان)

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

مناهج البحث والإحصاء في علم النفسمبادئ الإحصاءالإحصاء 2: الاستدلال الإحصائيمسائل تدريب AP Statisticsالتدريب على الأساليب الكمية والدخل الثابت في CFA Level I

مواضيع أخرى في الرياضيات والإحصاء

النهاياتالمشتقاتالتحسين (القيم القصوى)التكاملاتالمتتاليات والمتسلسلاتالتفاضل والتكامل لعدة متغيراتالمعادلات التفاضليةالأعداد المركبةالطرائق العدديةالمصفوفات والمحدداتالمتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيالمنطق القضوي والبراهينالمجموعات والعلاقات والدوالنظرية البياناتنظرية الأعداد والحساب المودوليالاحتمالالإحصاء الوصفيالتوزيع الطبيعيفترات الثقةاختبارات الفرضيات وفترات الثقةاختبارات مربع كاي

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل الانحدار الخطي والارتباط مع الإجابات
تدرّب على الانحدار الخطي والارتباط مجانًاتدرّب على الانحدار الخطي والارتباط الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.