التكاملات: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في التكاملات مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: كثيرات الحدود, الدوال الأسية واللوغاريتمات والتعويض, المساحات بين المنحنيات.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
xy−2−1

احسب I = ∫−2−1 (4x2 − 4x + 5) dx.

f(x) = 4x2 − 4x + 5[−2, −1]
المسألة التالية →
تدرّب على التكاملات مجانًاتدرّب على التكاملات الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةكثيرات الحدود
  2. متوسطةالدوال الأسية واللوغاريتمات والتعويض
  3. صعبةالمساحات بين المنحنيات

كيف تحلّ مسائل التكاملات

  1. أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
  2. طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ ex و 1/x و sin و cos.
  3. استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
  4. للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

أخطاء شائعة

  • نسيان القسمة على القوة الجديدة.
  • عدم تغيير حدود التكامل بعد التعويض.
  • نسيان + C في التكامل غير المحدود.

الصيغ الأساسية

قاعدة القوة
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد
∫ab f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين
∫ab (f − g) dx

تعلّم التكاملات من البداية

قبل هذا: المشتقات

1ما هو التكامل

يجمع التكامل كمية متغيرة. وأوضح صورة له هي المساحة تحت منحنى.

تسير سيارة بسرعة 20 m/s مدة 5 s. فتقطع 20 · 5 = 100 m. وعلى منحنى السرعة–الزمن هذه هي مساحة المستطيل تحت الخط.

xy520100

عندما تتغير السرعة يكون الشكل تحت المنحنى منحنيًا، لكن الفكرة نفسها: المساحة هي المسافة.

نكتب المساحة تحت f بين x = a وx = b هكذا:

∫ab f(x) dx

العددان a وb هما حدّا التكامل. وdx تخبرك أن x هو المتغير.

تحقّق ذاتي يقود دراج بسرعة ثابتة 10 m/s مدة 4 s. ما المساحة تحت منحنى السرعة–الزمن؟
  1. 10 m
  2. 14 m
  3. 2,5 m
  4. 40 m

الإجابة: 40 m. المساحة مستطيل: الارتفاع 10 m/s مضروبًا في العرض 4 s يعطي 40 m. وقسمة 10 على 4 تعطي 2,5، وهذه ليست مساحة.

2الدوال الأصلية وقاعدة القوة

التكامل هو التفاضل بالعكس. والدالة الأصلية F للدالة f هي دالة مشتقتها f.

بما أن (x³)′ = 3x²، فإن دالة أصلية للدالة 3x² هي x³. ويمكن إضافة أي ثابت، لذا نكتب ∫3x² dx = x³ + C.

قاعدة القوة للتكاملات: ارفع القوة بواحد، ثم اقسم على القوة الجديدة.

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, n ≠ −1
  • يبقى العامل الثابت أمام التكامل: ∫5x² dx = 5x³/3 + C.
  • ثابت وحده: ∫4 dx = 4x + C.
  • في المجموع، كامل كل حد على حدة.

احفظ هذه أيضًا: ∫eˣ dx = eˣ و∫ekx dx = ekx/k و∫1/x dx = ln|x| و∫cos x dx = sin x و∫sin x dx = −cos x.

يمكنك دائمًا التحقق من دالة أصلية: اشتقّها فيجب أن تعود إلى الدالة الأصلية المعطاة.

تحقّق ذاتي كم يساوي ∫6x² dx؟
  1. 12x + C
  2. 2x³ + C
  3. 3x³ + C
  4. 6x³ + C

الإجابة: 2x³ + C. ارفع القوة إلى 3 واقسم على 3: 6x³/3 = 2x³. أما 12x فهي المشتقة لا التكامل، و6x³ تنسى القسمة على القوة الجديدة.

3التكاملات المحدودة والمساحات

التكامل المحدود له حدّان ويعطي عددًا. أوجد دالة أصلية F ثم اطرح قيمتيها عند الحدّين.

∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)

الثابت C يُختزل في الطرح، لذا يمكنك حذفه هنا.

مثال: ∫13 3/x dx = 3 ln 3 − 3 ln 1 = 3 ln 3 ≈ 3,296، لأن ln 1 = 0.

التعويض يفيد عندما تكون دالة داخل دالة أخرى. بالنسبة لـ e0,5x، ضع u = 0,5x. والنتيجة هي القاعدة أعلاه: اقسم على 0,5.

∫03 e0,5x dx = 2e0,5x |03 = 2(e1,5 − 1) ≈ 6,963

المساحة بين منحنيين هي تكامل المنحنى الأعلى ناقص المنحنى الأسفل، بين النقطتين اللتين يلتقيان عندهما.

للمنحنيين y = 2x وy = x²، يلتقيان عند x = 0 وx = 2. وعلى هذه الفترة يكون 2x هو الأعلى.

A = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3
تحقّق ذاتي يلتقي المنحنيان y = x وy = x² عند x = 0 وx = 1. وبينهما يكون y = x هو الأعلى. ما المساحة المحصورة؟
  1. 1/2
  2. 1/6
  3. 5/6
  4. −1/6

الإجابة: 1/6. ∫(x − x²) dx من 0 إلى 1 يساوي 1/2 − 1/3 = 1/6. وطرح الأعلى من الأسفل يعطي −1/6، وجمع التكاملين يعطي 5/6.

4الطريقة خطوة بخطوة

  1. أعد كتابة الدالة على شكل مجموع حدود بسيطة. واكتب الجذور والكسور على شكل قوى: √x = x1/2.
  2. أوجد دالة أصلية لكل حد بقاعدة القوة أو بتكامل قياسي.
  3. تحقّق منها سريعًا بالاشتقاق ذهنيًا.
  4. للتكامل المحدود، احسب F(b) وF(a) كلًا على حدة.
  5. اطرح: F(b) − F(a). وانتبه للإشارات السالبة عندما يكون a سالبًا.

للمساحة بين منحنيين، حُلّ f(x) = g(x) أولًا لإيجاد الحدّين، ثم كامل الأعلى ناقص الأسفل.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

احسب I = ∫02 (3x² + 2x + 1) dx.

1

كامل حدًّا حدًّا

3x² تعطي 3x³/3 = x³. و2x تعطي 2x²/2 = x². والثابت 1 يعطي x.

F(x) = x³ + x² + x
2

تحقّق بالاشتقاق

F′(x) = 3x² + 2x + 1

هذه هي الدالة الأصلية المعطاة، إذن F صحيحة.

3

القيمة عند الحد الأعلى

F(2) = 8 + 4 + 2 = 14
4

القيمة عند الحد الأدنى

F(0) = 0 + 0 + 0 = 0
5

اطرح

I = F(2) − F(0) = 14 − 0 = 14
xy214

التكامل هو المساحة المظللة تحت المنحنى بين x = 0 وx = 2.

الإجابة

I = 14

6أخطاء شائعة

  • نسيان القسمة على القوة الجديدة.
  • الاشتقاق بدلًا من التكامل: خفض القوة بدلًا من رفعها.
  • كتابة ∫1/x dx على أنه x⁰/0. قاعدة القوة لا تعمل عندما n = −1؛ استخدم ln|x|.
  • نسيان الإشارات السالبة في F(a) عندما يكون a سالبًا، مثل (−1)³ = −1.
  • نسيان + C في تكامل غير محدود، أو عدم تغيير الحدّين بعد التعويض.
تحقّق ذاتي كم يساوي ∫02 x³ dx؟
  1. 12
  2. 16
  3. 4
  4. 8

الإجابة: 4. F(x) = x⁴/4، إذن F(2) − F(0) = 16/4 − 0 = 4. ونسيان القسمة على القوة الجديدة 4 يعطي 16.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: تكامل محدود لكثيرة حدود، أحيانًا بحدّين سالبين. استخدم قاعدة القوة وF(b) − F(a).
  • متوسط: الدوال الأسية واللوغاريتمية والتعويض، مثل ∫e0,5x dx أو ∫3/x dx بين حدّين.
  • صعب: المساحة المحصورة بين منحنيين، مثل y = x² وy = 4x. أوجد نقطتي التقائهما ثم كامل الأعلى ناقص الأسفل.

فحص سريع: المساحة المحصورة بين منحنيين موجبة دائمًا. فإذا حصلت على عدد سالب فقد طرحت بالترتيب الخاطئ.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
xy3y = 0,5x

تُدوَّر المنطقة تحت y = 0,5x من x = 0 إلى x = 3 حول المحور x. أوجد حجم الجسم V (مخروط).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 3

المطلوب: V

أظهر التلميحات
  1. الشريحة عند x قرص نصف قطره y = 0,5x.
  2. V = π∫₀3 (0,5x)² dx.
  3. = π·0,25·x³/3.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

طريقة الأقراص

V = π∫₀3 0,25x² dx

كامل

V = π·0,25·3³/3 = 7,069

الإجابة

V = 7,069

تحقق: للمخروط الذي نصف قطره 1,5 وارتفاعه 3 الحجم (1/3)πr²h = 7,069.

مثال 2متوسطة
xy2y = x·cos x

احسب I = ∫₀2 x·cos x dx (قيمة x بالراديان).

∫₀2 x·cos x dx

المطلوب: I

أظهر التلميحات
  1. خذ u = x وdv = cos x dx.
  2. v = sin x.
  3. ∫x cos x dx = x sin x + cos x.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.

اختر u وdv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

الدالة الأصلية

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

النهايات

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0,4024

الإجابة

I = 0,4024
مثال 3صعبة
xyy = 2x2​y = x

أوجد المساحة A للمنطقة المحصورة بين y = 2x2 و y = x.

y = 2x2y = x

المطلوب: A

أظهر التلميحات
  1. أوجد أولًا نقاط تقاطع المنحنيين: ساوِ بينهما.
  2. يتقاطعان عند x = 0 و x = 0,5. وبينهما يقع المستقيم فوق القطع المكافئ.
  3. A = ∫00,5 (x − 2x2) dx.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

نقاط التقاطع

2x2 = x → x = 0, x = 0,5

كامل العلوي ناقص السفلي

A = [0,5x2 − 0,6667x3]00,5 = 0,04167

الإجابة

A = 0,04167

أسئلة وأجوبة

ما هو التكاملات؟

يجمع التكامل كمية متغيرة. وأوضح صورة له هي المساحة تحت منحنى.

تسير سيارة بسرعة 20 m/s مدة 5 s. فتقطع 20 · 5 = 100 m. وعلى منحنى السرعة–الزمن هذه هي مساحة المستطيل تحت الخط.

كيف تحل مسائل التكاملات خطوة بخطوة؟
  1. أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
  2. طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ ex و 1/x و sin و cos.
  3. استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
  4. للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).
ما الأخطاء الشائعة في التكاملات؟
  • نسيان القسمة على القوة الجديدة.
  • عدم تغيير حدود التكامل بعد التعويض.
  • نسيان + C في التكامل غير المحدود.
ماذا تغطي تمارين التكاملات؟
  • سهلة: كثيرات الحدود
  • متوسطة: الدوال الأسية واللوغاريتمات والتعويض
  • صعبة: المساحات بين المنحنيات

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

المشتقات

ثم تابع مع

الالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًاتحويلات لابلاسالتفاضل والتكامل لعدة متغيراتالطرائق العدديةالمعادلات التفاضلية

الآلات الحاسبة

حاسبة التكامل (المحدد وغير المحدد)

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

التفاضل والتكامل 1الرياضيات الهندسيةالمعادلات التفاضليةالرياضيات الهندسية 2التفاضل والتكامل 2مسائل تدريب AP Calculus

مواضيع أخرى في الرياضيات والإحصاء

النهاياتالمشتقاتالتحسين (القيم القصوى)المتتاليات والمتسلسلاتالتفاضل والتكامل لعدة متغيراتالمعادلات التفاضليةالأعداد المركبةالطرائق العدديةالمصفوفات والمحدداتالمتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيالمنطق القضوي والبراهينالمجموعات والعلاقات والدوالنظرية البياناتنظرية الأعداد والحساب المودوليالاحتمالالإحصاء الوصفيالتوزيع الطبيعيفترات الثقةاختبارات الفرضيات وفترات الثقةالانحدار الخطي والارتباطاختبارات مربع كاي

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل التكاملات مع الإجابات
تدرّب على التكاملات مجانًاتدرّب على التكاملات الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.