6/(s + 3) له الصورة 1/(s + a) مع a = 3، مضروبة في 6. والحد 2/s هو الثابت 2.
6/(s + 3) ↔ 6·e−3t 2/s ↔ 2
2
اكتب f(t)
اجمع الجزأين (الخطية):
f(t) = 6·e−3t + 2
3
احسب عند t = 0,5
f(0,5) = 6·e−1,5 + 2 = 6·0,2231 + 2 = 3,34
الإجابة
f(t) = 6·e−3t + 2، إذن f(0,5) ≈ 3,34.
تحقّق ذاتي ما التحويل العكسي لـ 8/(s² + 16)؟
2·cos 4t
2·sin 4t
8·sin 16t
8·sin 4t
الإجابة: 2·sin 4t. ω² = 16، إذن ω = 4. يحتاج الزوج 4 في البسط: 8 = 2·4، فيعطي 2·sin 4t. أما 8·sin 4t فتنسى القسمة على ω. وجيب التمام يخص s في البسط.
3القيمتان الابتدائية والنهائية دون تحويل عكسي
أحيانًا لا تحتاج إلا إلى معرفة أين تبدأ f(t) أو أين تنتهي. تعطي نظريتان ذلك مباشرة من F(s).
f(0⁺) = lims→∞ s·F(s) f(∞) = lims→0 s·F(s)
القيمة الابتدائية (s → ∞): لقيم كبيرة جدًا من s لا تهم إلا أعلى قوة لـ s في البسط وفي المقام.
القيمة النهائية (s → 0): اختصر العامل s، ثم ضع s = 0 في كل عامل متبقٍ، بما فيها الأصفار.
لا تعمل نظرية القيمة النهائية إلا إذا استقرت f(t) فعلًا: يجب أن يكون لكل أقطاب s·F(s) جزء حقيقي سالب.
القيمة النهائية: لـ F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)) تحصل على s·F(s) = 12/((s + 2)(s + 3)). عند s = 0 تساوي 12/6 = 2، إذن f(∞) = 2.
القيمة الابتدائية: لـ F(s) = (3s + 10)/(s² + 5s + 6) تحصل على s·F(s) = (3s² + 10s)/(s² + 5s + 6). ولقيم كبيرة من s يتصرف مثل 3s²/s²، إذن f(0⁺) = 3.
لـالميل الابتدائي f′(0⁺)، استخدم تحويل المشتقة، ℒ{f′} = s·F(s) − f(0⁺). ثم طبق عليه نظرية القيمة الابتدائية:
f′(0⁺) = lims→∞ s·[s·F(s) − f(0⁺)]
لـ F(s) نفسها: s·F(s) − 3 = (−5s − 18)/(s² + 5s + 6). اضرب في s ودع s → ∞. أعلى القوى تعطي −5s²/s²، إذن f′(0⁺) = −5.
تحقّق ذاتي F(s) = 10(s + 2)/(s(s + 4)(s + 5)). إلى أي قيمة تستقر f(t)؟
0,5
0
1
20
الإجابة: 1. s·F(s) = 10(s + 2)/((s + 4)(s + 5))، وهي 20/20 = 1 عند s = 0. حذف عامل الصفر (s + 2) يعطي 0,5. والقيمة 0 هي النهاية عند s → ∞، أي القيمة الابتدائية.
4الكسور الجزئية خطوة بخطوة
معظم F(s) ليست في الجدول كما هي. تقسمها إلى كسور بسيطة موجودة فيه. وهذا يسمى الكسور الجزئية.
كل جذر للمقام هو قطب. القطب البسيط عند s = −a يعطي حدًا واحدًا A/(s + a)، يصبح A·e−at في الزمن.
F(s) = A/(s + a) + B/(s + b) ⇒ f(t) = A·e−at + B·e−bt
تجد قاعدة التغطية كل معامل. لإيجاد A، غطِّ العامل (s + a) في F(s) وضع s = −a في كل ما تبقى.
الإجابة: 2. غطِّ (s + 1) وضع s = −1 في الباقي: (−1 + 5)/(−1 + 3) = 4/2 = 2. القيمة −1 هي B. أما 4 فنسي القسمة على العامل المتبقي، وأما −2 فعكس إشارة العامل المتبقي: 4/(−2) بدل 4/2.
5مثال محلول
هذا سؤال متوسط نموذجي. جرّب كل خطوة بنفسك قبل أن تفتحها.
عند t = 0: 2 − 6 + 4 = 0. تتفق نظرية القيمة الابتدائية، لأن s·F(s) → 0 لقيم كبيرة من s.
عند t → ∞ لا يبقى إلا العدد 2. وتعطي نظرية القيمة النهائية 12/(2·3) = 2 أيضًا.
الإجابة
f(t) = 2 − 6e−2t + 4e−3t، إذن f(0,5) ≈ 0,685.
6أخطاء شائعة
الخلط بين النظريتين: s → ∞ تعطي القيمة الابتدائية f(0⁺)، وs → 0 تعطي القيمة النهائية f(∞).
نسيان العامل s في s·F(s)، أو حذف عامل صفر مثل (s + 2) حين تضع s = 0.
أخطاء الإشارة في قاعدة التغطية: عند s = −3 يساوي العامل (s + 2) القيمة −1 لا 5.
استخدام زوج الجيب دون القسمة على ω: ω/(s² + ω²) تحتاج ω في البسط.
حساب sin ωt أو cos ωt والحاسبة بالدرجات. الزاوية ωt بالراديان.
استخدام نظرية القيمة النهائية حين لا تستقر f(t)، مثل F(s) = 1/(s² + 4) التي هي جيب صرف.
تحقّق ذاتي F(s) = 6/((s + 1)(s + 3)). بقاعدة التغطية، ما المعامل B لـ e−3t؟
3
6
−2
−3
الإجابة: −3. غطِّ (s + 3) وضع s = −3 في الباقي: 6/(−3 + 1) = 6/(−2) = −3. القيمة +3 خطأ في الإشارة (وهي المعامل A لـ e−t). و−2 تقسم على قيمة القطب بدل العامل المتبقي.
7كيف تبدو أسئلة الامتحان
سهل: أزواج الجدول ونظريتا القيمة. تحوّل عكسيًا ثابتًا أو دالة أسية أو t·e−at أو جيبًا أو جيب تمام وتحسبه، أو تجد f(0⁺) أو f(∞) أو الميل الابتدائي f′(0⁺).
متوسط: التحويلات العكسية بالكسور الجزئية. تجد معاملًا واحدًا A، أو تحوّل عكسيًا ثلاثة أقطاب بسيطة s(s + a)(s + b)، أو قطبًا مكررًا، أو أقطابًا مركبة بإكمال المربع.
صعب: المعادلات التفاضلية ودوال التحويل، مثل y″ + 7y′ + 6y = 15·u(t) مع قيم ابتدائية معطاة. تجد y عند زمن معطى.
في المستوى الصعب حوّل كل مشتقة مع شروطها الابتدائية:
ℒ{y′} = s·Y − y(0) ℒ{y″} = s²·Y − s·y(0) − y′(0)
ثم حل المعادلة الجبرية لإيجاد Y(s)، وحوّلها عكسيًا بالكسور الجزئية كما في المثال المحلول.
لإشارة f(t) تحويل لابلاس F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23)). استخدم نظرية القيمة النهائية لإيجاد القيمة f(∞) التي تستقر عندها f(t).
F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23))
المطلوب: f(∞)
أظهر التلميحات
نظرية القيمة النهائية: f(∞) = lim s·F(s) عندما s → 0.
تحقّق أولًا من أن كل أقطاب s·F(s) تقع في نصف المستوى الأيسر، لكي تستقر f(t) فعلًا.
s·F(s) = 28/(s² + 2s + 23).
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة
تحويل لابلاس: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt يحوّل المشتقات إلى ضرب في s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0)، ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). الأزواج القياسية: 1 ↔ 1/s، e−at ↔ 1/(s + a)، t·e−at ↔ 1/(s + a)²، sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)، cos ωt ↔ s/(s² + ω²)، والإزاحة s → s + σ تضرب دالة الزمن في e−σt. لعكس F(s) كسرية، جزّئها إلى كسور جزئية: باقي القطب البسيط p هو A = [(s − p)·F(s)] عند s = p. نظرية القيمة النهائية: f(∞) = lims→0 s·F(s)، وتصحّ فقط عندما تقع كل أقطاب s·F(s) في نصف المستوى الأيسر. نظرية القيمة الابتدائية: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
تحقّق من انطباق النظرية
النظرية لا تصحّ إلا عندما تستقر f(t)؛ والقطب على المحور التخيّلي أو في نصف المستوى الأيمن يعطي إجابة خاطئة.
أقطاب s·F(s): s² + 2s + 23 = 0، كلها في نصف المستوى الأيسر.
F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48). تحويله العكسي على الصورة f(t) = A·e−6t + B·e−8t. أوجد المعامل A بالكسور الجزئية.
F(s) = (s + 22)/(s² + 14s + 48)
المطلوب: A
أظهر التلميحات
حلّل المقام: s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8).
قاعدة التغطية: A = [(s + 6)·F(s)] عند s = −6.
عند s = −6: البسط 16، والعامل الآخر 2.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة
تحويل لابلاس: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt يحوّل المشتقات إلى ضرب في s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0)، ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). الأزواج القياسية: 1 ↔ 1/s، e−at ↔ 1/(s + a)، t·e−at ↔ 1/(s + a)²، sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)، cos ωt ↔ s/(s² + ω²)، والإزاحة s → s + σ تضرب دالة الزمن في e−σt. لعكس F(s) كسرية، جزّئها إلى كسور جزئية: باقي القطب البسيط p هو A = [(s − p)·F(s)] عند s = p. نظرية القيمة النهائية: f(∞) = lims→0 s·F(s)، وتصحّ فقط عندما تقع كل أقطاب s·F(s) في نصف المستوى الأيسر. نظرية القيمة الابتدائية: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
حلّل المقام
s² + 14s + 48 = (s + 6)(s + 8)
F(s) = A/(s + 6) + B/(s + 8)
قاعدة التغطية
اضرب في (s + 6) وضع s = −6: يختفي حدّ B.
A = (s + 22)/(s + 8) |s = −6 = 16/2 = 8
الإجابة
A = 8
(B = −7، لذا f(t) = 8·e−6t − 7·e−8t)
مثال 3صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 7y′ + 10y = 30·u(t)، مع y(0) = 5 و y′(0) = 0. عند t = 0 يُطبَّق دخل خطوة u(t) = 5. استخدم تحويل لابلاس لإيجاد y(0,6).
تحويل لابلاس: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt يحوّل المشتقات إلى ضرب في s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0)، ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). الأزواج القياسية: 1 ↔ 1/s، e−at ↔ 1/(s + a)، t·e−at ↔ 1/(s + a)²، sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)، cos ωt ↔ s/(s² + ω²)، والإزاحة s → s + σ تضرب دالة الزمن في e−σt. لعكس F(s) كسرية، جزّئها إلى كسور جزئية: باقي القطب البسيط p هو A = [(s − p)·F(s)] عند s = p. نظرية القيمة النهائية: f(∞) = lims→0 s·F(s)، وتصحّ فقط عندما تقع كل أقطاب s·F(s) في نصف المستوى الأيسر. نظرية القيمة الابتدائية: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
حوّل المعادلة
(s² + 7s + 10)·Y(s) = 5s + 35 + 150/s
Y(s) = (5s² + 35s + 150)/(s(s + 2)(s + 5))
الكسور الجزئية
A = 150/(2·5) = 15
B = 100/((−2)·3) = −16,67
C = 100/((−5)·(−3)) = 6,667
النتيجة
y(t) = 15 − 16,67·e−2t + 6,667·e−5t
y(0,6) = 10,31
الإجابة
y(0,6) = 10,31
تحقّق: y(0) = A + B + C = 5.
أسئلة وأجوبة
ما هو تحويلات لابلاس؟
تُوصف الدارات والمحركات والخزانات بـمعادلات تفاضلية: يعتمد الخرج على معدل تغيره هو. وحلها مباشرة بطيء.
يحوّل تحويل لابلاس مسألة كهذه إلى جبر. تستبدل كل دالة زمنية f(t) بدالة F(s) في متغير جديد s.
كيف تحل مسائل تحويلات لابلاس خطوة بخطوة؟
تحويل لابلاس: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt يحوّل المشتقات إلى ضرب في s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0)، ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). الأزواج القياسية: 1 ↔ 1/s، e−at ↔ 1/(s + a)، t·e−at ↔ 1/(s + a)²، sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)، cos ωt ↔ s/(s² + ω²)، والإزاحة s → s + σ تضرب دالة الزمن في e−σt. لعكس F(s) كسرية، جزّئها إلى كسور جزئية: باقي القطب البسيط p هو A = [(s − p)·F(s)] عند s = p. نظرية القيمة النهائية: f(∞) = lims→0 s·F(s)، وتصحّ فقط عندما تقع كل أقطاب s·F(s) في نصف المستوى الأيسر. نظرية القيمة الابتدائية: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
ما الأخطاء الشائعة في تحويلات لابلاس؟
عند s = 0 يساوي العامل s² + 2s + 23 حدّه الثابت 23.
خذ النهاية s → 0، لا s = 1.
هذا B، معامل e−8t. المعامل A يخصّ القطب s = −6.
ماذا تغطي تمارين تحويلات لابلاس؟
سهلة: أزواج الجدول ونظريات القيم
متوسطة: التحويل العكسي بالكسور الجزئية
صعبة: المعادلات التفاضلية ودوال التحويل
لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
كيف يعمل التدريب
لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.