المخططات الصندوقية: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

Q: ما هو المخططات الصندوقية؟

نظام التحكم سلسلة من الأجزاء: متحكم ومحرك ومستشعر. ومخطط الكتل يرسم كل جزء صندوقًا وكل إشارة سهمًا. هذه أهم صورة في التحكم. يُقاس الخرج C عبر H ويُطرح من المرجع R. والفرق E = R − H·C هو الخطأ الذي يقود G.

Q: كيف تحل مسائل المخططات الصندوقية خطوة بخطوة؟

جبر المخططات الصندوقية: الصناديق على التوالي تُضرب (G₁·G₂)، والصناديق على التوازي تُجمع (G₁ + G₂)، والحلقة ذات المسار الأمامي G ومسار التغذية الراجعة H تُختزل إلى T = G/(1 + G·H) للتغذية الراجعة السالبة و G/(1 − G·H) للتغذية الراجعة الموجبة. اختزل الحلقات الداخلية أولًا، ثم اتجه إلى الخارج. أقطاب الحلقة المغلقة هي جذور المعادلة المميّزة 1 + G(s)H(s) = 0. لحلقة مستقرة، دخل خطوة مقداره A يعطي خرج الحالة المستقرة A·T(0)؛ ومع التغذية الراجعة الأحادية يكون خطأ الحالة المستقرة لخطوة A/(1 + Kp) مع Kp = G(0).

Q: ماذا تغطي تمارين المخططات الصندوقية؟

سهلة: التوالي والتوازي والتغذية الراجعة متوسطة: دوال تحويل الحلقة المغلقة والأخطاء صعبة: الاضطرابات والاستقرار والأقطاب لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

مسائل تدريبية مجانية في المخططات الصندوقية مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: التوالي والتوازي والتغذية الراجعة, دوال تحويل الحلقة المغلقة والأخطاء, الاضطرابات والاستقرار والأقطاب.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة

تتفرّع الإشارة R إلى صندوقين متوازيين G₂ = 11 و G₃ = 8. يلتقي خرجاهما عند نقطة جمع بالإشارات الموضّحة (+ and +)، ويمرّ المجموع عبر G₁ = 9. أوجد الكسب الكلي T = C/R.

G₁ = 9G₂ = 11G₃ = 8الإشارات: + G₂، + G₃

المسألة التالية →

تدرّب على المخططات الصندوقية مجانًا تدرّب على المخططات الصندوقية الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

سهلةالتوالي والتوازي والتغذية الراجعة
متوسطةدوال تحويل الحلقة المغلقة والأخطاء
صعبةالاضطرابات والاستقرار والأقطاب

تعلّم المخططات الصندوقية من البداية

قبل هذا: تحويلات لابلاس

1ما هو مخطط الكتل

نظام التحكم سلسلة من الأجزاء: متحكم ومحرك ومستشعر. ومخطط الكتل يرسم كل جزء صندوقًا وكل إشارة سهمًا.

الكتلة تضرب إشارة دخلها في كسبها أو دالة تحويلها G. إذا دخل 3 في كتلة G = 5 فيخرج 15.

نقطة الجمع (دائرة) تجمع الإشارات أو تطرحها. والإشارة بجانب كل سهم داخل تخبرك أيهما. والنقطة السوداء نقطة تفرع: تُنسخ الإشارة ولا تنقسم.

هذه أهم صورة في التحكم. يُقاس الخرج C عبر H ويُطرح من المرجع R. والفرق E = R − H·C هو الخطأ الذي يقود G.

هذه تغذية خلفية سالبة: حين يكون الخرج مرتفعًا جدًا يتقلص الخطأ ويسحبه إلى الأسفل.

تحقّق ذاتي عند نقطة جمع يدخل R بإشارة + وتدخل إشارة التغذية الخلفية B بإشارة −. R = 10 وB = 4. ماذا يخرج من نقطة الجمع؟

14
40
6
−6

الإجابة: 6. تقول الإشارات عند نقطة الجمع إن E = R − B = 10 − 4 = 6. القيمة 14 تتجاهل إشارة الناقص، و−6 تطرح بالعكس.

2ثلاث قواعد لتبسيط أي مخطط

تختزل المخطط خطوة بخطوة حتى تبقى كتلة واحدة. كسبها T = C/R هو دالة التحويل للحلقة المغلقة.

التوالي: الكتل التي تأتي واحدة بعد الأخرى تُضرب، G₁·G₂.
التوازي: الكتل التي تغذي نقطة الجمع نفسها تُجمع، مع الإشارات عند نقطة الجمع: G₁ + G₂ أو G₁ − G₂.
حلقة التغذية الخلفية: كتلة أمامية G مع تغذية خلفية سالبة H تصبح G/(1 + G·H).

تنتج قاعدة التغذية الخلفية من معادلتين. عند نقطة الجمع E = R − H·C، وتعطي الكتلة C = G·E. إذن C = G·R − G·H·C، وبالتالي:

T = C/R = G/(1 + G·H)

مع التغذية الخلفية الموجبة تُضاف الإشارة عند نقطة الجمع، وتنقلب الإشارة في المقام: T = G/(1 − G·H).

الحاصل G·H هو كسب الحلقة. وحين يكون كبيرًا تقترب T من 1/H: المستشعر، لا المنظومة المتحكَّم فيها، هو الذي يحدد الكسب.

تحقّق ذاتي G₁ = 2 وG₂ = 5 على التوالي، مع تغذية خلفية سالبة H = 0,3. ما T = C/R؟

0,75
10
2,5
−5

الإجابة: 2,5. G = 2·5 = 10 وG·H = 3، إذن T = 10/(1 + 3) = 2,5. القيمة 10 تتجاهل الحلقة، و−5 تستخدم 1 − G·H، و0,75 تضع H في البسط.

3حلقات بدوال التحويل

الكتل الحقيقية تعتمد على s، مثل محرك G(s) = b/(s + a). وتنطبق القواعد نفسها. وبعد ذلك تزيل الكسور داخل الكسور.

مع تغذية خلفية وحدوية (H = 1)، اضرب بسط G/(1 + G) ومقامه في (s + a):

T(s) = b/(s + a + b)

قطب الحلقة المغلقة هو جذر المقام: p = −(a + b). يقع أبعد إلى اليسار من قطب الحلقة المفتوحة −a، لذا فالحلقة أسرع.
ثابت الزمن هو τ = 1/(a + b).
كسب التيار المستمر هو T(0) = b/(a + b). وخطوة حجمها A تستقر عند c_ss = A·T(0).
مع كسب مستشعر H يصبح المقام s + a + b·H.

خطأ الحالة المستقرة e_ss هو ما يتبقى من R − C بعد الاستقرار. مع تغذية خلفية وحدوية استخدم ثوابت الخطأ:

لخطوة حجمها A: e_ss = A/(1 + K_p)، مع ثابت الموضع K_p = G(0).
لمنحدر r(t) = A·t: e_ss = A/K_v، مع ثابت السرعة K_v = lim_s→0 s·G(s).

لـ G(s) = 8/(s(s + 4)) يُختصر العامل s: K_v = 8/4 = 2. ثم يترك منحدر r(t) = 1·t الخطأ e_ss = 1/2 = 0,5.

لحلقة من الرتبة الثانية مثل G(s) = K/(s(s + 6))، للحلقة المغلقة s² + 6s + K = 0. قطبان حقيقيان متساويان (تخميد حرج) يتطلبان 6² = 4K، إذن K = 9.

مثال محلول

توضع G(s) = 6/(s + 2) في حلقة تغذية خلفية سالبة وحدوية. أوجد قطب الحلقة المغلقة وثابت الزمن والخرج في الحالة المستقرة لخطوة حجمها 4.

أغلق الحلقة

T(s) = G/(1 + G) = 6/(s + 2 + 6) = 6/(s + 8)

القطب وثابت الزمن

القطب هو جذر s + 8 = 0.

p = −8, τ = 1/8 = 0,125 s

الخرج في الحالة المستقرة

ضع s = 0 لكسب التيار المستمر، ثم اضرب في حجم الخطوة.

T(0) = 6/8 = 0,75, c_ss = 4·0,75 = 3

الخطأ 4 − 3 = 1. والثابت K_p = G(0) = 3 يعطي النتيجة نفسها: 4/(1 + 3) = 1.

الإجابة

p = −8 وτ = 0,125 s وc_ss = 3.

تحقّق ذاتي G(s) = 6/(s + 2) في حلقة تغذية خلفية سالبة وحدوية. أي عدد هو قطب الحلقة المغلقة؟

8
−0,125
−2
−8

الإجابة: −8. T(s) = 6/(s + 8)، إذن القطب −8. و−2 هو قطب الحلقة المفتوحة قبل التغذية الخلفية. والقطب قيمة لـ s، لذا فهو سالب هنا، و−0,125 يخلطه مع τ = 1/8.

4الطريقة خطوة بخطوة

أوجد الحلقة الأعمق. اختزلها أولًا بـ G/(1 + G·H)، أو G/(1 − G·H) للتغذية الخلفية الموجبة.
ادمج الكتل على التوالي (اضرب) وعلى التوازي (اجمع مع الإشارات عند نقطة الجمع).
كرر حتى تبقى كتلة واحدة. تلك الكتلة هي T(s) = C/R.
أزل الكسور: اضرب البسط والمقام في مقامات G(s).
اقرأ ما هو مطلوب: الأقطاب من المقام، وT(0) للحالة المستقرة، وτ = 1/(مقدار القطب) لحلقة من الرتبة الأولى.

فحص سريع: عند s = 0 يمكنك اختزال المخطط بأعداد عادية. وهذا يعطي T(0) مباشرة ويكشف معظم أخطاء الجبر.

5مثال محلول

هذا سؤال متوسط نموذجي بحلقة صغرى. جرّب كل خطوة قبل أن تفتحها.

مثال محلول

للمنظومة G(s) = 3/(s + 1) حلقة تغذية خلفية سالبة داخلية بـ H₁ = 1. ويغلق النظام متحكم K = 4 وحلقة تغذية خلفية سالبة وحدوية خارجية. أوجد قطب الحلقة المغلقة p وكسب التيار المستمر T(0).

انظر إلى المخطط

هناك حلقتان. تحيط الحلقة الداخلية بالمنظومة وحدها. وتحيط الحلقة الخارجية بكل شيء، من C عائدة إلى R.

اختزل الحلقة الداخلية

استخدم G/(1 + G·H₁) واضرب البسط والمقام في (s + 1):

Gᵢ = 3/(s + 1 + 3·1) = 3/(s + 4)

على التوالي مع المتحكم

صار K وGᵢ الآن على التوالي، فاضرب:

K·Gᵢ = 4·3/(s + 4) = 12/(s + 4)

أغلق الحلقة الخارجية

تغذية خلفية وحدوية حول 12/(s + 4):

T(s) = 12/(s + 4 + 12) = 12/(s + 16)

القطب p = −16، وT(0) = 12/16 = 0,75.

تحقّق من الإجابة

أعد الحساب عند s = 0 بالأعداد فقط. G(0) = 3، والحلقة الداخلية تعطي 3/(1 + 3) = 0,75، وK تجعلها 3.

الحلقة الخارجية تعطي 3/(1 + 3) = 0,75. وهذا يطابق T(0).

الإجابة

T(s) = 12/(s + 16)، إذن p = −16 وT(0) = 0,75.

6أخطاء شائعة

استخدام 1 − G·H للتغذية الخلفية السالبة. التغذية الخلفية السالبة تعطي 1 + G·H، والموجبة تعطي 1 − G·H.
وضع H في البسط. T = G/(1 + G·H): تظهر H في كسب الحلقة فقط.
إغلاق الحلقة الخارجية قبل الداخلية. اعمل دائمًا من الداخل إلى الخارج.
نسيان كسب المستشعر H في القطب: المقام هو s + a + b·H لا s + a + b.
إعطاء قطب الحلقة المفتوحة −a أو كسب الحلقة المفتوحة G(0). التغذية الخلفية تغيّر الاثنين.
استخدام A/K_p لخطأ الخطوة. الصيغة الصحيحة هي A/(1 + K_p).

تحقّق ذاتي مكبر G = 10 بتغذية خلفية موجبة H = 0,05: تُضاف إشارة التغذية الخلفية عند نقطة الجمع. ما T = C/R؟

0,5
10
20
6,67

الإجابة: 20. التغذية الخلفية الموجبة تعطي T = G/(1 − G·H) = 10/(1 − 0,5) = 20. القيمة 6,67 تستخدم صيغة التغذية الخلفية السالبة 10/1,5. والقيمة 10 تتجاهل الحلقة، و0,5 هي كسب الحلقة G·H فقط.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

سهل: التوالي والتوازي والتغذية الخلفية. تختزل الكسوب في حلقة، أو كتلًا متوازية بإشارات، أو تغذية خلفية موجبة. أو تغلق حلقة وحدوية حول b/(s + a) وتعطي القطب أو τ أو T(0) أو c_ss.
متوسط: دوال تحويل الحلقة المغلقة والأخطاء. حلقة صغرى كما في المثال، أو كسب مستشعر H، أو الكسب K للتخميد الحرج، أو خطأ الحالة المستقرة لخطوة أو منحدر.
صعب: الاضطرابات والاستقرار والأقطاب. اضطراب D مضاف عند دخل المنظومة، أو أكبر كسب K_max للاستقرار باختبار روث–هورفيتز.

للاضطراب استخدم التراكب: أوجد C من R مع D = 0، ثم C من D مع R = 0، واجمع الاثنين.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة

تتفرّع الإشارة R إلى صندوقين متوازيين G₂ = 7 و G₃ = 12. يلتقي خرجاهما عند نقطة جمع بالإشارات الموضّحة (+ and −)، ويمرّ المجموع عبر G₁ = 10. أوجد الكسب الكلي T = C/R.

G₁ = 10G₂ = 7G₃ = 12الإشارات: + G₂، − G₃

المطلوب: T

أظهر التلميحات

الصناديق المتوازية التي تغذّي نقطة جمع تُجمع بالإشارات الموجودة عند النقطة.
التركيبة على التوالي مع G₁، لذا اضرب.
G₂ − G₃ = -5.

أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

جبر المخططات الصندوقية: الصناديق على التوالي تُضرب (G₁·G₂)، والصناديق على التوازي تُجمع (G₁ + G₂)، والحلقة ذات المسار الأمامي G ومسار التغذية الراجعة H تُختزل إلى T = G/(1 + G·H) للتغذية الراجعة السالبة و G/(1 − G·H) للتغذية الراجعة الموجبة. اختزل الحلقات الداخلية أولًا، ثم اتجه إلى الخارج. أقطاب الحلقة المغلقة هي جذور المعادلة المميّزة 1 + G(s)H(s) = 0. لحلقة مستقرة، دخل خطوة مقداره A يعطي خرج الحالة المستقرة A·T(0)؛ ومع التغذية الراجعة الأحادية يكون خطأ الحالة المستقرة لخطوة A/(1 + K_p) مع K_p = G(0).

صناديق على التوازي

G₂ − G₃ = 7 − 12 = −5

على التوالي مع G₁

T = G₁·(G₂ − G₃) = 10·(−5) = −50

الإجابة

T = −50

مثال 2متوسطة

حلقة تغذية راجعة سالبة أحادية لها G(s) = 1(s + 3)/((s + 2)(s + 4)). تُطبَّق خطوة مقدارها 2 عند المرجع. أوجد خطأ الحالة المستقرة e_ss.

G(s) = 1(s + 3)/((s + 2)(s + 4))R = 2

المطلوب: e_ss

أظهر التلميحات

ثابت خطأ الموضع Kₚ = G(0).
خطأ الحالة المستقرة لخطوة مقدارها A: A/(1 + Kₚ).
Kₚ = 1·3/(2·4) = 0,375.

أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

ثابت خطأ الموضع

Kₚ = G(0) = 1·3/(2·4) = 0,375

خطأ الحالة المستقرة

e_ss = A/(1 + Kₚ) = 2/(1 + 0,375) = 1,455

الإجابة

e_ss = 1,455

مثال 3صعبة

اختزل المخطط الصندوقي مع G₁ = 5/(s + 2) و G₂ = 10/(s + 4) وتغذية راجعة سالبة داخلية H₁ = 4 حول G₂ وتغذية راجعة سالبة خارجية H₂ = 1. أوجد كسب التيار المستمر T(0) للنسبة C(s)/R(s).

G₁ = 5/(s + 2)G₂ = 10/(s + 4)H₁ = 4H₂ = 1

المطلوب: T(0)

أظهر التلميحات

الحلقة الداخلية: G₂/(1 + G₂·H₁). ثم T = G₁·Gᵢ/(1 + G₁·Gᵢ·H₂).
إجمالًا T = G₁G₂/(1 + G₂H₁ + G₁G₂H₂). لكسب التيار المستمر اجعل s = 0 في كل صندوق.
G₁(0) = 2,5, G₂(0) = 2,5.

أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الحلقة الداخلية

Gᵢ = G₂/(1 + G₂H₁) = 10/(s + 44)

الحلقة الخارجية

T(s) = G₁Gᵢ/(1 + G₁GᵢH₂) = 50/((s + 2)(s + 44) + 50)

كسب التيار المستمر

T(0) = 50/(2·44 + 50) = 50/138 = 0,3623

الإجابة

T(0) = 0,3623

أسئلة وأجوبة

ما هو المخططات الصندوقية؟

نظام التحكم سلسلة من الأجزاء: متحكم ومحرك ومستشعر. ومخطط الكتل يرسم كل جزء صندوقًا وكل إشارة سهمًا.

هذه أهم صورة في التحكم. يُقاس الخرج C عبر H ويُطرح من المرجع R. والفرق E = R − H·C هو الخطأ الذي يقود G.

كيف تحل مسائل المخططات الصندوقية خطوة بخطوة؟

ما الأخطاء الشائعة في المخططات الصندوقية؟

تحقّق من الإشارة عند نقطة الجمع: مسار G₃ يدخل بإشارة −.
الصناديق المتوازية وحدها تُجمع؛ و G₁ على التوالي معها فيُضرب.
الصناديق المتوازية تُجمع (بإشاراتها)؛ لا تُضرب.

ماذا تغطي تمارين المخططات الصندوقية؟

سهلة: التوالي والتوازي والتغذية الراجعة
متوسطة: دوال تحويل الحلقة المغلقة والأخطاء
صعبة: الاضطرابات والاستقرار والأقطاب

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

تحويلات لابلاس

ثم تابع مع

خطأ الحالة المستقرة والتحكم PID الاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذور

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

هندسة التحكم 1 هندسة التحكم 2: تصميم التحكم بالتغذية الراجعة التدريب لاختبار FE للهندسة الكهربائية والحاسوب التدريب لاختبار FE للهندسة الميكانيكية

مواضيع أخرى في الكهربائية

المقاومات على التوالي والتوازي التراكب ثيفنن ونورتن تحليل العقد تحليل الحلقات الحالات العابرة RC و RL معاوقة التيار المتردد والطوريات قدرة التيار المتردد ومعامل القدرة رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق القدرة ثلاثية الطور المحوّلات محركات التيار المستمر دوائر مكبّرات العمليات الثنائيات والترانزستورات محولات التيار المستمر إلى التيار المستمر المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال اكتساب البيانات وأخذ العينات تحويلات لابلاس الاستجابة الخطوية مخططات بودي والهوامش الاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذور خطأ الحالة المستقرة والتحكم PID الالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًا

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل المخططات الصندوقية مع الإجابات