قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: الاتزان وجهود العقد, القناطر غير المتزنة, مقاييس الانفعال وخلايا الحمل.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
+−9 VR1​ = 200 ΩR2​ = 300 ΩR3​ = 500 ΩR4​ = 200 Ωab+−Vab​ = ?

أوجد جهد الخرج المفتوح Vab = Va − Vb للقنطرة الموضحة، مع Vs = 9 V.

Vs = 9 VR1 = 200 ΩR2 = 300 ΩR3 = 500 ΩR4 = 200 Ω
V
المسألة التالية →
تدرّب على قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال مجانًاتدرّب على قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةالاتزان وجهود العقد
  2. متوسطةالقناطر غير المتزنة
  3. صعبةمقاييس الانفعال وخلايا الحمل

كيف تحلّ مسائل قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال

  1. عامل القنطرة على أنها مجزّئا جهد على المصدر نفسه.
  2. للاتزان ضع R₁/R₂ = R₃/R₄ وحُلّ لإيجاد المقاومة المجهولة.
  3. لقنطرة غير متزنة أوجد Va وVb من المجزّئين ثم اطرح؛ واستخدم مكافئ تيفينين حين يُحمِّل مقياسٌ الخرج.
  4. لمقاييس الانفعال حوّل الانفعال إلى ΔR/R = GF·ε واستخدم Vs·GF·ε/4 أو /2 أو ×1 لربع القنطرة أو نصفها أو كاملها.

أخطاء شائعة

  • اقتران المقاومات الخطأ في شرط الاتزان.
  • استخدام صيغة ربع القنطرة لنصف القنطرة أو كاملها.
  • نسيان أن الانفعال يُعطى غالبًا بوحدة µε (10⁻⁶).
  • تطبيق تقريب التغير الصغير Vs·ΔR/(4R) على تغير كبير في المقاومة.

الصيغ الأساسية

جهود المجزّئات
Va = VsR2/(R1 + R2), Vb = VsR4/(R3 + R4)
المخرَج
Vab = Va − Vb
التوازن
R1/R2 = R3/R4
القنطرة ذات السلك المنزلق
R/Rx = l/(100 − l)
مقاومة ثيفنن
Rth = R1∥R2 + R3∥R4
معامل المقياس
ΔR/R = GF·ε
خرج القنطرة
ربع Vs·GF·ε/4، نصف Vs·GF·ε/2، كامل Vs·GF·ε
التغير الصغير، ذراع واحد
Vab ≈ Vs·ΔR/(4R)
الإجهاد
σ = E·ε

تعلّم قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال من البداية

قبل هذا: المقاومات على التوالي والتوازي, ثيفنن ونورتن

1ما هي قنطرة ويتستون

قنطرة ويتستون مجزّئا جهد متصلان بالمصدر نفسه Vs. والخرج هو الجهد بين نقطتي المنتصف a وb.

+−Vs​R1​R2​R3​R4​ab+−

حين يكون للمجزّئين النسبة نفسها يكون a وb عند الجهد نفسه ويكون الخرج صفرًا: فالقنطرة متزنة. وعندئذٍ يعطي تغير صغير في ذراع واحد خرجًا صغيرًا يسهل قياسه، دون الجهد المشترك الكبير فوقه.

ولهذا تُستخدم القناطر لقياس المقاومات المجهولة وتغيرات المقاومة الصغيرة في المستشعرات مثل مقاييس الانفعال والثرمستورات.

تحقّق ذاتي أذرع القنطرة الأربعة كلها 100 Ω وVs = 10 V. ما الخرج Vab؟
  1. 0 V
  2. 10 V
  3. 2,5 V
  4. 5 V

الإجابة: 0 V. يُنصّف المجزّئان كلاهما جهد المصدر، فـ Va = Vb = 5 V وVab = 0. والجهد 5 V هو جهد كل نقطة منتصف، لا الفرق.

2جهود العقد وشرط الاتزان

كل نقطة منتصف مجزّئ جهد. مع R₁ فوق R₂ وR₃ فوق R₄:

Va = Vs·R2/(R1 + R2) Vb = Vs·R4/(R3 + R4) Vab = Va − Vb

يكون الخرج صفرًا حين تتطابق النسبتان:

R1/R2 = R3/R4 or R1·R4 = R2·R3

لا يظهر جهد المصدر في شرط الاتزان. لذا يمكن إيجاد مقاومة مجهولة بضبط مقاومة معلومة حتى يقرأ الغلفانومتر صفرًا.

تحقّق ذاتي تتزن قنطرة عند R₁ = 100 Ω وR₂ = 200 Ω وR₃ = 150 Ω. ما قيمة R₄؟
  1. 133,3 Ω
  2. 300 Ω
  3. 450 Ω
  4. 75 Ω

الإجابة: 300 Ω. R₄ = R₂·R₃/R₁ = 200·150/100 = 300 Ω. تبديل R₁ وR₂ يعطي 75 Ω، واقتران المقاومات الخطأ يعطي 133,3 Ω.

3الطريقة خطوة بخطوة

  1. سمِّ الأذرع: R₁ وR₂ في المجزّئ الأيسر، وR₃ وR₄ في الأيمن، مع العقدة a بين R₁ وR₂ والعقدة b بين R₃ وR₄.
  2. لقنطرة متزنة حُلّ R₁·R₄ = R₂·R₃ لإيجاد المجهول.
  3. لقنطرة غير متزنة أوجد Va وVb من المجزّئين ثم اطرح.
  4. إذا حمّل مقياس مقاومته Rg الخرج، فاستبدل القنطرة بمكافئ تيفينين لها: Vth = Vab وRth = R₁∥R₂ + R₃∥R₄. عندئذٍ Ig = Vth/(Rth + Rg).

4مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

لقنطرة R₁ = 200 Ω وR₂ = 300 Ω وR₃ = 400 Ω وR₄ = 400 Ω، مع Vs = 12 V. أوجد الخرج المفتوح Vab، والتيار في غلفانومتر 80 Ω موصول من a إلى b.

1

انظر إلى القنطرة

+−12 V200 Ω300 Ω400 Ω400 Ωab+−Vab​

للمجزّئ الأيمن ذراعان متساويان، فـ Vb نصف جهد المصدر.

2

جهود العقد

Va = 12·300/500 = 7,2 V Vb = 12·400/800 = 6 V
3

جهد الخرج

Vab = 7,2 − 6 = 1,2 V
4

مقاومة ثيفنن

مع تقصير المصدر تمتد R₁ ∥ R₂ من a إلى القضيبين، وR₃ ∥ R₄ من القضيبين إلى b.

Rth = 200∥300 + 400∥400 = 120 + 200 = 320 Ω
5

تيار الغلفانومتر

Ig = 1,2/(320 + 80) = 0,003 A = 3 mA

يجري من a إلى b، لأن Va أعلى.

الإجابة

Vab = 1,2 V وIg = 3 mA.

5مقاييس الانفعال

مقياس الانفعال رقاقة معدنية رقيقة تُلصق بقطعة. وحين تتمدد القطعة تصبح الرقاقة أطول وأرق وتزداد مقاومتها:

ΔR/R = GF·ε

ε هو الانفعال (يُعطى غالبًا بالميكروانفعال، µε = 10⁻⁶) وGF معامل المقياس، وهو نحو 2 للرقائق المعدنية. والتغير ضئيل: فـ 500 µε على مقياس 350 Ω مع GF = 2 تعطي ΔR = 0,35 Ω.

في قنطرة تساوي فيها كل الأذرع R يكون الخرج قريبًا من:

  • ربع قنطرة (مقياس فعّال واحد): Vo ≈ Vs·GF·ε/4.
  • نصف قنطرة (مقياسان بانفعالين متعاكسين في مجزّئ واحد): Vo = Vs·GF·ε/2.
  • قنطرة كاملة (أربعة مقاييس فعّالة): Vo = Vs·GF·ε.

مع Vs = 5 V وGF = 2 و500 µε تعطي ربع القنطرة 5·2·0,0005/4 = 1,25 mV. ويأتي الإجهاد من قانون هوك، σ = E·ε.

تحقّق ذاتي وُصلت المقاييس نفسها (GF = 2 و500 µε وVs = 5 V) على هيئة نصف قنطرة. ما الخرج؟
  1. 0,625 mV
  2. 1,25 mV
  3. 2,5 mV
  4. 5 mV

الإجابة: 2,5 mV. يعطي نصف القنطرة Vs·GF·ε/2 = 5·2·0,0005/2 = 2,5 mV، أي ضعف 1,25 mV لربع القنطرة. أما 5 mV فتحتاج إلى أربعة مقاييس فعّالة.

6أخطاء شائعة

  • اقتران الأذرع الخطأ في شرط الاتزان. قارن الذراعين العلويين بالذراعين السفليين.
  • استخدام عامل ربع القنطرة 4 لنصف القنطرة أو كاملها.
  • نسيان أن µε تعني 10⁻⁶.
  • استخدام تقدير التغير الصغير Vs·ΔR/(4R) لتغير كبير في المقاومة؛ والأصح حساب المجزّئين بدقة.
تحقّق ذاتي يُظهر مقياس بـ GF = 2 قيمة ΔR/R = 0,002. ما الانفعال؟
  1. 0,001 µε
  2. 1000 µε
  3. 2 µε
  4. 4000 µε

الإجابة: 1000 µε. ε = (ΔR/R)/GF = 0,002/2 = 0,001 = 1000 µε. كتابة 0,001 مع الوحدة µε تصغر بعامل مليون، والضرب في GF يعطي 4000 µε.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: الاتزان وجهود العقد. تجد الذراع المجهول أو القابل للضبط في قنطرة متزنة، أو جهد عقدة، أو الخرج المفتوح، أو تيار المصدر، أو المقاومة المجهولة في قنطرة ذات سلك منزلق.
  • متوسط: القناطر غير المتزنة. تجد الخرج الدقيق أو الخطي لتغير في المقاومة، أو مقاومة تيفينين، أو تيار الغلفانومتر، أو التغير في المقاومة من خرج مقيس، أو القدرة في مقياس.
  • صعب: مقاييس الانفعال وخلايا الحمل. تجد الانفعال من ΔR، أو خرج ربع قنطرة أو نصفها أو كاملها، أو الانفعال أو الإجهاد من قراءة، أو كسب المضخّم لدخل محوّل، أو خرج خلية حمل مقنّنة بوحدة mV/V.

في القنطرة ذات السلك المنزلق يؤدي جزءا السلك دور ذراعي النسبة: R/Rx = l/(100 − l).

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
+−6 VR1​ = 250 ΩR2​ = 300 ΩR3​ = ?R4​ = 150 ΩabG0

قنطرة ويتستون في المخطط تُزَن بضبط R₃. R₁ = 250 Ω وR₂ = 300 Ω وR₄ = 150 Ω. أوجد القيمة المضبوطة R3.

R1 = 250 ΩR2 = 300 ΩR4 = 150 Ω

المطلوب: R3 (Ω)

أظهر التلميحات
  1. عند الاتزان يعطي المجزّئان الجهد نفسه: Va = Vb.
  2. R₁/R₂ = R₃/R₄.
  3. R₃ = R₁·R₄/R₂.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

قنطرة ويتستون: مجزّئا جهد يتشاركان مصدرًا واحدًا Vs. يعطي المجزّئ الأيسر R1–R2 الجهد Va = Vs·R2/(R1 + R2) ويعطي المجزّئ الأيمن R3–R4 الجهد Vb = Vs·R4/(R3 + R4)؛ والخرج هو Vab = Va − Vb. تكون القنطرة متزنة (Vab = 0، ولا تيار في المقياس) حين R1/R2 = R3/R4، أي R1·R4 = R2·R3. وإذا نُظر إليها من الخرج فهي مصدر تيفينين بمقاومة Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

شرط الاتزان

R₁·R₄ = R₂·R₃

المقاومة المجهولة

R₃ = 250·150/300 = 125 Ω

الإجابة

R3 = 125 Ω

جهد المصدر لا يهم عند الاتزان.

مثال 2متوسطة
+−10 VR1​ = 150 ΩR2​ = 1000 ΩR3​ = 500 ΩR4​ = 600 ΩabGRg​ = 20 Ω

يُوصَل غلفانومتر مقاومته 20 Ω بين a وb في القنطرة الموضحة (Vs = 10 V). أوجد تيار الغلفانومتر Ig من a إلى b، بوحدة µA.

Vs = 10 VR1 = 150 ΩR2 = 1000 ΩR3 = 500 ΩR4 = 600 ΩRg = 20 Ω

المطلوب: Ig (µA)

أظهر التلميحات
  1. استبدل القنطرة بمكافئ تيفينين لها من منظور a–b.
  2. Vth = Va − Vb = 3,241 V, Rth = 403,2 Ω.
  3. Ig = Vth/(Rth + Rg).
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

قنطرة ويتستون: مجزّئا جهد يتشاركان مصدرًا واحدًا Vs. يعطي المجزّئ الأيسر R1–R2 الجهد Va = Vs·R2/(R1 + R2) ويعطي المجزّئ الأيمن R3–R4 الجهد Vb = Vs·R4/(R3 + R4)؛ والخرج هو Vab = Va − Vb. تكون القنطرة متزنة (Vab = 0، ولا تيار في المقياس) حين R1/R2 = R3/R4، أي R1·R4 = R2·R3. وإذا نُظر إليها من الخرج فهي مصدر تيفينين بمقاومة Rth = R1∥R2 + R3∥R4.

جهد ثيفنن

Vth = 10·(1000/1150 − 600/1100) = 3,241 V

مقاومة ثيفنن

Rth = R₁∥R₂ + R₃∥R₄ = 403,2 Ω

تيار الغلفانومتر

Ig = 3,241/(403,2 + 20) = 7659 µA

الإجابة

Ig = 7659 µA
مثال 3صعبة
+−V350 Ω350 Ω + ΔR350 Ω350 Ωab+−

مقياس انفعال مقاومته 350 Ω ومعامله 2,12 مُلصَق على قضيب فولاذي. تحت الحمل ترتفع مقاومته بمقدار 0,371 Ω. أوجد الانفعال ε بالميكروانفعال (µε).

R = 350 ΩGF = 2,12ΔR = 0,371 Ω

المطلوب: ε (µε)

أظهر التلميحات
  1. ΔR/R = GF·ε.
  2. ΔR/R = 0,371/350 = 0,00106.
  3. 1 µε = 10⁻⁶.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

مقاييس الانفعال: تتغير مقاومة المقياس مع الانفعال: ΔR/R = GF·ε، حيث معامل المقياس GF نحو 2 للرقائق المعدنية. في قنطرة تكون فيها كل الأذرع مساوية لـ R، يعطي مقياس فعّال واحد (ربع قنطرة) Vo ≈ Vs·GF·ε/4. ويعطي مقياسان فعّالان بانفعالين متعاكسين في ذراعين متجاورين (نصف قنطرة) Vs·GF·ε/2، وأربعة مقاييس (قنطرة كاملة) تعطي Vs·GF·ε. ويأتي الإجهاد من قانون هوك، σ = E·ε. وتذكر خلايا الحمل حساسيتها بوحدة mV/V: الخرج عند الحمل الكامل لكل فولت من الإثارة.

التغير النسبي في المقاومة

ΔR/R = 0,371/350 = 0,00106

الانفعال

ε = 0,00106/2,12 = 0,0005 = 500 µε

الإجابة

ε = 500 µε

أسئلة وأجوبة

ما هو قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال؟

قنطرة ويتستون مجزّئا جهد متصلان بالمصدر نفسه Vs. والخرج هو الجهد بين نقطتي المنتصف a وb.

حين يكون للمجزّئين النسبة نفسها يكون a وb عند الجهد نفسه ويكون الخرج صفرًا: فالقنطرة متزنة. وعندئذٍ يعطي تغير صغير في ذراع واحد خرجًا صغيرًا يسهل قياسه، دون الجهد المشترك الكبير فوقه.

كيف تحل مسائل قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال خطوة بخطوة؟
  1. عامل القنطرة على أنها مجزّئا جهد على المصدر نفسه.
  2. للاتزان ضع R₁/R₂ = R₃/R₄ وحُلّ لإيجاد المقاومة المجهولة.
  3. لقنطرة غير متزنة أوجد Va وVb من المجزّئين ثم اطرح؛ واستخدم مكافئ تيفينين حين يُحمِّل مقياسٌ الخرج.
  4. لمقاييس الانفعال حوّل الانفعال إلى ΔR/R = GF·ε واستخدم Vs·GF·ε/4 أو /2 أو ×1 لربع القنطرة أو نصفها أو كاملها.
ما الأخطاء الشائعة في قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال؟
  • اقتران المقاومات الخطأ في شرط الاتزان.
  • استخدام صيغة ربع القنطرة لنصف القنطرة أو كاملها.
  • نسيان أن الانفعال يُعطى غالبًا بوحدة µε (10⁻⁶).
  • تطبيق تقريب التغير الصغير Vs·ΔR/(4R) على تغير كبير في المقاومة.
ماذا تغطي تمارين قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال؟
  • سهلة: الاتزان وجهود العقد
  • متوسطة: القناطر غير المتزنة
  • صعبة: مقاييس الانفعال وخلايا الحمل

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

المقاومات على التوالي والتوازيثيفنن ونورتن

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

الإلكترونيات 1القياس والأجهزةالنظم الميكاترونية

مواضيع أخرى في الكهربائية

المقاومات على التوالي والتوازيالتراكبثيفنن ونورتنتحليل العقدتحليل الحلقاتالحالات العابرة RC و RLمعاوقة التيار المتردد والطورياتقدرة التيار المتردد ومعامل القدرةرنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقالقدرة ثلاثية الطورالمحوّلاتمحركات التيار المستمردوائر مكبّرات العملياتالثنائيات والترانزستوراتمحولات التيار المستمر إلى التيار المستمرالمنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتاكتساب البيانات وأخذ العيناتتحويلات لابلاسالمخططات الصندوقيةالاستجابة الخطويةمخططات بودي والهوامشالاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذورخطأ الحالة المستقرة والتحكم PIDالالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًا

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال مع الإجابات
تدرّب على قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال مجانًاتدرّب على قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.