الحالات العابرة RC و RL: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في الحالات العابرة RC و RL مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: شحن RC, دائرة RL, مكثّف بشحنة ابتدائية.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
+−Vs​5 Vt = 0R = 1 kΩC33 µF+−vC​

المكثّف غير مشحون عندما يُغلق المفتاح عند t = 0. أوجد جهد المكثّف vC عند t = 10 ms.

Vs = 5 VR = 1 kΩC = 33 µFt = 10 ms
V
المسألة التالية →
تدرّب على الحالات العابرة RC و RL مجانًاتدرّب على الحالات العابرة RC و RL الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةشحن RC
  2. متوسطةدائرة RL
  3. صعبةمكثّف بشحنة ابتدائية

كيف تحلّ مسائل الحالات العابرة RC و RL

  1. أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
  2. أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
  3. أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
  4. استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

أخطاء شائعة

  • استخدام صيغة الشحن لدائرة تفريغ.
  • خلط الوحدات: kΩ مضروبًا في µF يعطي ms، لا s.
  • استخدام مقاومة خاطئة في الثابت الزمني.

الصيغ الأساسية

الثابت الزمني
τ = RC | τ = L/R
الاستجابة
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
المكثّف في التيار المستمر
دائرة مفتوحة؛ لا يمكن أن يقفز vC
الملف في التيار المستمر
قصر؛ لا يمكن أن يقفز iL
الحالة المستقرة
t ≈ 5τ

تعلّم الحالات العابرة RC و RL من البداية

قبل هذا: المقاومات على التوالي والتوازي

1ما هي الحالة العابرة

عندما تغلق مفتاحًا في دائرة فيها مقاومات فقط، يقفز كل تيار إلى قيمته الجديدة دفعة واحدة.

المكثف أو المحث يغيّر ذلك. فهما يخزّنان طاقة، والطاقة المخزّنة لا تتغير في زمن صفري. لذا تنتقل الدائرة بسلاسة من الحالة القديمة إلى الجديدة.

هذا التغير السلس يسمى حالة عابرة (transient). وبعد حين تستقر الدائرة ولا يتغير شيء بعد ذلك.

تخيّل ملء دلو عبر خرطوم ضيق. الدلو هو المكثف والخرطوم الضيق هو المقاومة. يرتفع المستوى سريعًا في البداية، ثم أبطأ فأبطأ مع امتلاء الدلو.

+−Vs​10 Vt = 0R = 10 kΩC10 µF+−vC​
تحقّق ذاتي يُوصل مكثف غير مشحون بمصدر 12 V عبر مقاومة. ما جهد المكثف بعد إغلاق المفتاح مباشرةً؟
  1. 0 V
  2. 12 V
  3. 4,4 V
  4. 6 V

الإجابة: 0 V. جهد المكثف لا يقفز. كان 0 V قبل إغلاق المفتاح مباشرةً، فيبقى 0 V بعده مباشرةً. ولا يبلغ 12 V إلا بعد زمن طويل.

2المكثفات والمحثات عند البداية والنهاية

لا تحتاج إلا إلى قاعدتين لكل عنصر: ما الذي لا يقفز، وكيف يتصرف بعد أن يستقر كل شيء.

  • المكثف: جهده vC لا يقفز. وبعد التبديل بزمن طويل لا يتدفق تيار إليه، فيعمل كـ دائرة مفتوحة (فجوة).
  • المحث: تياره iL لا يقفز. وبعد التبديل بزمن طويل لا يكون عليه جهد، فيعمل كـ دائرة قصر (سلك).

القيمة بعد التبديل مباشرةً هي القيمة الابتدائية x(0). والقيمة بعد الاستقرار هي القيمة النهائية x(∞).

لمكثف يُشحن من مصدر Vs: vC(0) = 0 وvC(∞) = Vs. ولمحث: i(0) = 0 وi(∞) = Vs/R.

تحقّق ذاتي يغذي مصدر 12 V مقاومة 20 Ω على التوالي مع محث. ما التيار المتدفق بعد إغلاق المفتاح بزمن طويل؟
  1. 0 A
  2. 0,6 A
  3. 1,67 A
  4. 240 A

الإجابة: 0,6 A. بعد الاستقرار يصبح المحث سلكًا عاديًا، فالمقاومة وحدها تحدّ التيار: 12/20 = 0,6 A. أما 0 A فهي القيمة بعد التبديل مباشرةً لا في النهاية.

3ثابت الزمن

تحدد سرعة التغير رقمٌ واحد هو ثابت الزمن τ (تاو).

τ = R·C τ = L/R

الوحدات: kΩ مضروبة في µF تعطي ميلي ثانية. وmH مقسومة على Ω تعطي ميلي ثانية أيضًا.

كل جهد وتيار يتبع المنحنى الأسّي نفسه بين قيمته الابتدائية والنهائية:

x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
tvC​Vs​0,63·Vs​τ2τ3τ4τ5τ
  • بعد 1τ يكتمل 63% من التغير. وبعد 2τ يكتمل 86%، وبعد 3τ 95%.
  • وبعد نحو 5τ تكون الدائرة قد استقرت لكل الأغراض العملية.

لمكثف يُشحن ويبدأ من 0 V تصبح الصيغة:

vC(t) = Vs·(1 − e−t/τ)
تحقّق ذاتي ما ثابت الزمن لمقاومة 4,7 kΩ مع مكثف 10 µF؟
  1. 0,47 ms
  2. 2,13 ms
  3. 47 ms
  4. 47 s

الإجابة: 47 ms. τ = R·C = 4,7 kΩ · 10 µF = 47 ms، لأن kΩ مضروبة في µF تعطي ميلي ثانية. والقسمة بدلًا من الضرب تعطي 2,13 ms.

4الطريقة خطوة بخطوة

  1. أوجد القيمة الابتدائية x(0) بعد التبديل مباشرةً. استخدم القاعدة: vC وiL لا يقفزان.
  2. أوجد القيمة النهائية x(∞). استبدل المكثف بفجوة والمحث بسلك، ثم حُلّ دائرة التيار المستمر.
  3. أوجد ثابت الزمن: τ = R·C أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثف أو المحث.
  4. ضع القيم الثلاث في x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
  5. عوّض بالزمن t، بوحدة τ نفسها، واحسب.

إذا طلب السؤال زمنًا بدلًا من ذلك، فحُلّ الصيغة نفسها لإيجاد t. وستحتاج إلى اللوغاريتم الطبيعي ln.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

المكثف غير مشحون عند إغلاق المفتاح عند t = 0. أوجد ثابت الزمن وجهد المكثف vC عند t = 100 ms.

1

انظر إلى الدائرة

+−Vs​10 Vt = 0R = 10 kΩC10 µF+−vC​i

يوصل المفتاح Vs = 10 V بالمكثف عبر R = 10 kΩ. وC = 10 µF.

2

القيمتان الابتدائية والنهائية

المكثف غير مشحون وجهده لا يقفز، فـ vC(0) = 0 V.

بعد زمن طويل لا يتدفق تيار، فلا جهد على R. وكل الـ 10 V على C.

vC(0) = 0 V, vC(∞) = 10 V
3

الثابت الزمني

τ = R·C = 10 kΩ · 10 µF = 100 ms
4

الجهد عند t = 100 ms

هنا t يساوي تمامًا ثابت زمن واحد، فـ t/τ = 1.

vC = 10·(1 − e−1) = 10·(1 − 0,368) = 6,32 V
5

تحقّق من الإجابة

بعد ثابت زمن واحد ينبغي أن يكون المكثف مشحونًا بنسبة 63%. و63% من 10 V تساوي 6,3 V، فالجواب مناسب.

وهو أيضًا أقل من مصدر الـ 10 V، كما يجب لمكثف يُشحن.

الإجابة

τ = 100 ms وvC = 6,32 V عند t = 100 ms.

6أخطاء شائعة

  • استخدام صيغة الشحن Vs·(1 − e−t/τ) حين يحمل المكثف جهدًا أصلًا. استخدم الصيغة العامة مع x(0).
  • الخلط بين الوحدات: kΩ مضروبة في µF تعطي ميلي ثانية، لا ثواني. أبقِ t وτ بالوحدة نفسها.
  • الإجابة بـ Vs·e−t/τ. وهذا هو الجزء الذي لا يزال ناقصًا (أو جهد المقاومة)، لا جهد المكثف.
  • استخدام المقاومة الخطأ في τ. استخدم المقاومة التي يراها المكثف أو المحث.
تحقّق ذاتي يحمل مكثف 4 V حين يُوصل بمصدر 10 V. كم vC بعد ثابت زمن واحد؟ (e−1 ≈ 0,368)
  1. 10,32 V
  2. 2,21 V
  3. 6,32 V
  4. 7,79 V

الإجابة: 7,79 V. vC = 10 + (4 − 10)·0,368 = 7,79 V. وصيغة الشحن وحدها تعطي 6,32 V، وهذا يتجاهل الـ 4 V الابتدائية. و2,21 V هو الجزء الذي لا يزال ناقصًا.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: شحن RC من 0 V، كما في المثال. تجد τ أو جهد المكثف عند زمن معيّن.
  • متوسط: دائرة RL يبدأ تيار المحث فيها من 0. تجد i(t) = (Vs/R)·(1 − e−t/τ) أو جهد المحث vL = Vs·e−t/τ أو الزمن لبلوغ نسبة مئوية من التيار النهائي.
  • صعب: مكثف يحمل جهدًا أصلًا. تجد vC عند زمن معيّن، أو الزمن لبلوغ جهد معيّن.

لإيجاد زمن، أعد ترتيب الصيغة العامة:

t = τ·ln[(x(0) − x(∞)) / (x(t) − x(∞))]

مع τ = L/R، تعطي mH مقسومة على Ω ميلي ثانية. فمحث 50 mH مع 10 Ω له τ = 5 ms.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
R = 1 kΩt = 0C68 µF+−vC​vC​(0) = 5 V

شُحن المكثّف إلى 5 V. عند t = 0 يُغلق المفتاح ويُفرَّغ المكثّف عبر R. أوجد جهد المكثّف vC عند t = 50 ms.

vC(0) = 5 VR = 1 kΩC = 68 µFt = 50 ms

المطلوب: vC (V)

أظهر التلميحات
  1. لدائرة RC من الرتبة الأولى ثابت زمني τ = RC. مع R بالـ kΩ و C بالـ µF يخرج τ بالـ ms.
  2. دون مصدر يتناقص جهد المكثّف نحو الصفر: vC(t) = vC(0)·e−t/τ.
  3. τ = 68 ms.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني

kΩ مضروبة في µF تعطي ميلي ثانية.

τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms

منحنى التفريغ

يبدأ المكثّف عند جهده المخزّن ويتناقص نحو 0 V.

vC(t) = 5·e−50/68 = 2,397 V

الإجابة

vC = 2,397 V
مثال 2متوسطة
+−Vs​6 Vt = 0R = 50 ΩL150 mHi(t)

لا يمرّ تيار في الملف قبل أن يُغلق المفتاح عند t = 0. بعد كم من الوقت من إغلاق المفتاح يبلغ التيار 75% من قيمته النهائية؟ أوجد t.

Vs = 6 VR = 50 ΩL = 150 mH

المطلوب: t (ms)

أظهر التلميحات
  1. لدائرة RL يكون τ = L/R. مع L بالـ mH و R بالـ Ω يخرج τ بالـ ms.
  2. بعد إغلاق المفتاح مباشرة يبقى تيار الملف صفرًا؛ وبعد وقت طويل يعمل الملف كقصر، لذا i(∞) = Vs/R.
  3. τ = 3 ms, i(∞) = 0,12 A.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

الثابت الزمني والتيار النهائي

بعد إغلاق المفتاح بوقت طويل يتصرّف الملف كقصر، لذا يحدّد R وحده التيار النهائي.

τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms
i(∞) = Vs/R = 6/50 = 0,12 A

حلّ لإيجاد الزمن

0,75 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)
t = −3·ln(0,25) = 4,159 ms

الإجابة

t = 4,159 ms
مثال 3صعبة
+−Vs​6 Vt = 0R = 1 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 18 V

قبل إغلاق المفتاح عند t = 0 مباشرة، يكون جهد المكثّف 18 V بالقطبية الموضّحة. كم يستغرق vC ليبلغ 8,4 V؟ أوجد t.

Vs = 6 VR = 1 kΩC = 100 µFvC(0) = 18 V

المطلوب: t (ms)

أظهر التلميحات
  1. استخدم الحل العام من الرتبة الأولى x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
  2. هنا x(0) هو جهد المكثّف المخزّن و x(∞) هو جهد المصدر، لأنه لا يمرّ تيار في المكثّف بعد الاستقرار.
  3. τ = 100 ms.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الحالات العابرة من الرتبة الأولى: في دائرة فيها مكثّف واحد أو ملف واحد، يتغيّر كل جهد وتيار أُسّيًا من قيمته الابتدائية إلى قيمته النهائية: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ، حيث τ = RC أو τ = L/R. بعد نحو 5τ تستقر الدائرة.

القيمة الابتدائية، القيمة النهائية، الثابت الزمني

لا يمكن لجهد المكثّف أن يقفز، لذا يبدأ من قيمته المخزّنة ويتّجه نحو جهد المصدر.

vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 1 kΩ · 100 µF = 100 ms
vC(t) = 6 + (18 − 6)·e−t/τ

حلّ لإيجاد الزمن

8,4 = 6 + (12)·e−t/τ → e−t/τ = (8,4 − 6)/(18 − 6) = 0,2
t = τ·ln((18 − 6)/(8,4 − 6)) = 100·ln(5) = 160,9 ms

الإجابة

t = 160,9 ms

أسئلة وأجوبة

ما هو الحالات العابرة RC و RL؟

عندما تغلق مفتاحًا في دائرة فيها مقاومات فقط، يقفز كل تيار إلى قيمته الجديدة دفعة واحدة.

هذا التغير السلس يسمى حالة عابرة (transient). وبعد حين تستقر الدائرة ولا يتغير شيء بعد ذلك.

كيف تحل مسائل الحالات العابرة RC و RL خطوة بخطوة؟
  1. أوجد القيمة الابتدائية مباشرة بعد التبديل: جهد المكثّف وتيار الملف لا يقفزان.
  2. أوجد القيمة النهائية بعد التبديل بزمن طويل: يتصرّف المكثّف كدائرة مفتوحة، والملف كقصر.
  3. أوجد الثابت الزمني: τ = RC أو τ = L/R، باستخدام المقاومة التي يراها المكثّف أو الملف.
  4. استخدم x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
ما الأخطاء الشائعة في الحالات العابرة RC و RL؟
  • استخدام صيغة الشحن لدائرة تفريغ.
  • خلط الوحدات: kΩ مضروبًا في µF يعطي ms، لا s.
  • استخدام مقاومة خاطئة في الثابت الزمني.
ماذا تغطي تمارين الحالات العابرة RC و RL؟
  • سهلة: شحن RC
  • متوسطة: دائرة RL
  • صعبة: مكثّف بشحنة ابتدائية

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

المقاومات على التوالي والتوازي

ثم تابع مع

محولات التيار المستمر إلى التيار المستمرالاستجابة الخطوية

الآلات الحاسبة

حاسبة الثابت الزمني RCحاسبة المكثفات (التوالي والتوازي والشحنة والطاقة)

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

تحليل الدوائر الكهربائية 1تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المترددأساسيات الهندسة الكهربائيةالفيزياء 2: الكهرباء والمغناطيسيةالإلكترونيات 1التدريب لاختبار FE للهندسة الكهربائية والحاسوب

مواضيع أخرى في الكهربائية

المقاومات على التوالي والتوازيالتراكبثيفنن ونورتنتحليل العقدتحليل الحلقاتمعاوقة التيار المتردد والطورياتقدرة التيار المتردد ومعامل القدرةرنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقالقدرة ثلاثية الطورالمحوّلاتمحركات التيار المستمردوائر مكبّرات العملياتالثنائيات والترانزستوراتمحولات التيار المستمر إلى التيار المستمرالمنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتقنطرة ويتستون ومقاييس الانفعالاكتساب البيانات وأخذ العيناتتحويلات لابلاسالمخططات الصندوقيةالاستجابة الخطويةمخططات بودي والهوامشالاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذورخطأ الحالة المستقرة والتحكم PIDالالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًا

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل الحالات العابرة RC و RL مع الإجابات
تدرّب على الحالات العابرة RC و RL مجانًاتدرّب على الحالات العابرة RC و RL الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.