تحليل الحلقات: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في تحليل الحلقات مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: حلقتان، مصدر واحد, حلقتان، مصدران, 3 حلقات.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
R1​ = 3 ΩIR1​R2​ = 2 Ω+−V1​6 VR3​3 ΩAR4​6 ΩBI1​I2​

استخدم تحليل الحلقات لإيجاد التيار IR1 المارّ في R1 باتجاه السهم.

V1 = 6 VR1 = 3 ΩR2 = 2 ΩR3 = 3 ΩR4 = 6 Ω
A
المسألة التالية →
تدرّب على تحليل الحلقات مجانًاتدرّب على تحليل الحلقات الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةحلقتان، مصدر واحد
  2. متوسطةحلقتان، مصدران
  3. صعبة3 حلقات

كيف تحلّ مسائل تحليل الحلقات

  1. ارسم تيارًا باتجاه عقارب الساعة في كل حلقة (نافذة) من الدائرة.
  2. طبّق قانون كيرشوف للجهد حول كل حلقة: مجموع هبوطات الجهد يساوي صفرًا.
  3. في المقاومة المشتركة بين حلقتين يكون التيار هو الفرق بين تياري الحلقتين.
  4. حلّ المعادلات؛ النتيجة السالبة تعني أن التيار يسري في الاتجاه المعاكس.

أخطاء شائعة

  • استخدام تيار الحلقة كاملًا في مقاومة مشتركة.
  • الخطأ في إشارة مصدر عند الدوران حول الحلقة.
  • نسيان أن مصدر التيار في فرع خارجي يحدّد تيار تلك الحلقة.

الصيغ الأساسية

قانون كيرشوف للجهد
ΣV = 0 حول كل حلقة
مقاومة مشتركة
التيار = I1 − I2
مصدر تيار في حلقة
يحدّد تيار تلك الحلقة

تعلّم تحليل الحلقات من البداية

قبل هذا: المقاومات على التوالي والتوازي

1ما هو تحليل العُرى (الشبكات)

تحليل العُرى طريقة قياسية لإيجاد التيارات في دائرة. وهو شريك التحليل العقدي: التحليل العقدي يستخدم الجهود مجاهيل، وتحليل العُرى يستخدم التيارات.

انظر إلى رسم دائرة مستوٍ. «النوافذ» الفارغة التي تحيط بها الأسلاك والعناصر تسمى عُرى (meshes).

تتخيل تيارًا واحدًا يدور حول كل نافذة. هذه هي تيارات العُرى. وكل تيار فرع حقيقي يُبنى منها.

تخيّل صفًا من التروس جنبًا إلى جنب. يدور كل ترس بمفرده، وحيث يتلامس ترسان فإن ما تراه هو الفرق بين حركتيهما.

تحقّق ذاتي رسم دائرة مستوٍ فيه ثلاث نوافذ. كم تيار عروة تحتاج؟
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 6

الإجابة: 3. تيار عروة واحد لكل نافذة، أي ثلاثة. ثم تكتب معادلة واحدة لكل عروة، ثلاث معادلات في المجموع.

2قانون كيرشوف للجهد

امشِ مرة حول أي حلقة مغلقة وعُد إلى حيث بدأت. تنتهي عند الجهد نفسه الذي بدأت به.

إذن الجهد الذي تكسبه في المصادر يساوي الجهد الذي تفقده في المقاومات. وهذا هو قانون كيرشوف للجهد (KVL).

Σ ارتفاعات الجهد = Σ هبوطات الجهد
+−I​12 V8 V?+−

المصدر ارتفاع عندما تمرّ به من − إلى +. والمقاومة هبوط مقداره I·R عندما تمرّ بها في اتجاه تيارها.

في هذه الحلقة يعطي المصدر 12 V. وتأخذ مقاومة منها 8 V، فيجب أن تأخذ الأخرى الـ 4 V المتبقية.

تحقّق ذاتي مصدر 10 V يغذي حلقة واحدة فيها مقاومتان. على الأولى جهد 7 V. ما الجهد على الثانية؟
  1. 10 V
  2. 17 V
  3. 3 V
  4. 7 V

الإجابة: 3 V. يجب أن تجمع الهبوطات إلى الارتفاع 10 V: 10 − 7 = 3 V. وجمع الجهدين (17 V) يخرق KVL.

3تيارات العُرى في مقاومة مشتركة

ارسم كل تيار عروة في اتجاه عقارب الساعة، بنمط الأسماء نفسه: I1 وI2 و…

+−V1​10 VR1​ = 2 ΩR2​ = 4 ΩR3​6 ΩR4​2 ΩI1​I2​

المقاومة على الطرف الخارجي للدائرة تنتمي إلى عروة واحدة فقط. وتحمل تيار تلك العروة.

المقاومة بين نافذتين مشتركة. يمر بها تياران، في اتجاهين متعاكسين. وتيارها الحقيقي هو الفرق.

IR3 (إلى الأسفل) = I1 − I2

في العروة 1 يتدفق I1 إلى الأسفل عبر R3، فتكتب I1 − I2. وفي العروة 2 يتدفق I2 إلى الأعلى عبر R3، فتكتب I2 − I1.

تحقّق ذاتي في الدائرة أعلاه، I1 = 3 A وI2 = 1 A. ما التيار المتدفق إلى الأسفل عبر R3؟
  1. 1 A
  2. 2 A
  3. 3 A
  4. 4 A

الإجابة: 2 A. تحمل المقاومة المشتركة الفرق: 3 − 1 = 2 A إلى الأسفل. وجمع تياري العروتين (4 A) هو الزلّة الأشيع.

4الطريقة خطوة بخطوة

  1. عُدّ النوافذ. ارسم في كل منها تيار عروة واحدًا في اتجاه عقارب الساعة: I1 وI2 و…
  2. ادُر حول العروة 1 في اتجاه عقارب الساعة. اجمع الهبوطات: لكل مقاومة، R مضروبة في التيار المار بها (تيار عروتها، أو الفرق في المقاومة المشتركة).
  3. ساوِ الهبوطات بارتفاعات المصادر في تلك العروة. المصدر يُحتسب + حين تمر به من − إلى +، و− في الاتجاه الآخر.
  4. كرّر لكل عروة. تحصل على معادلة واحدة لكل عروة.
  5. حُلّ المعادلات لإيجاد تيارات العُرى.
  6. أوجد تيار الفرع أو جهده الذي تحتاجه. تيار العروة السالب يتدفق عكس عقارب الساعة.

ادُر دائمًا في اتجاه تيار العروة نفسه. عندئذٍ يبدأ كل حد مقاومة بإشارة موجبة.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

أوجد تيارات العُرى والتيار IR3 المار عبر R3 في اتجاه السهم.

1

عيّن تيارات الحلقات

+−V1​10 VR1​ = 2 ΩR2​ = 4 ΩR3​6 ΩR4​2 ΩI1​I2​IR3​

توجد نافذتان، لذا يوجد تياران في اتجاه عقارب الساعة، I1 وI2. وR3 مشتركة بينهما.

2

KVL حول العروة 1

بالدوران في اتجاه عقارب الساعة تمر بالمصدر V1 من − إلى +: ارتفاع 10 V. وR1 تحمل I1، وR3 تحمل I1 − I2.

2·I1 + 6·(I1 − I2) = 10
8·I1 − 6·I2 = 10
3

KVL حول العروة 2

ليس في العروة 2 مصدر، فمجموع هبوطاتها يساوي 0. وR2 وR4 تحملان I2، وR3 تحمل I2 − I1.

4·I2 + 2·I2 + 6·(I2 − I1) = 0
−6·I1 + 12·I2 = 0 ⇒ I1 = 2·I2
4

حُلّ المعادلات

عوّض I1 = 2·I2 في المعادلة الأولى.

8·2·I2 − 6·I2 = 10 ⇒ 10·I2 = 10
I2 = 1 A, I1 = 2 A
5

التيار في R₃

السهم يتجه إلى الأسفل، في الاتجاه نفسه لـ I1 في R3.

IR3 = I1 − I2 = 2 − 1 = 1 A
6

تحقّق من الإجابة

العروة 1: تأخذ R1 ما قيمته 2·2 = 4 V وتأخذ R3 ما قيمته 6·1 = 6 V. المجموع 10 V، يساوي V1.

العروة 2: تحمل R2 وR4 تيار 1 A وتأخذان 4 + 2 = 6 V. وهذا يساوي الـ 6 V على R3، كما يجب، لأنها تقع بين العقدتين نفسيهما.

الإجابة

I1 = 2 A وI2 = 1 A وIR3 = 1 A إلى الأسفل.

6أخطاء شائعة

  • استخدام تيار العروة كاملًا في مقاومة مشتركة. المقاومة المشتركة تحمل الفرق بين تياري عروتين.
  • الخطأ في إشارة مصدر. المرور بمصدر من + إلى − في اتجاه السير يُحتسب ارتفاعًا سالبًا.
  • الدوران حول بعض العُرى عكس عقارب الساعة. أبقِ كل تيار عروة وكل دوران في اتجاه عقارب الساعة.
  • نسيان أن النتيجة السالبة مسموحة. فهي تعني فقط أن التيار يتدفق عكس عقارب الساعة.
تحقّق ذاتي بالدوران في اتجاه عقارب الساعة حول العروة 2، تمر بمصدر 6 V من جانبه + إلى جانبه −. تحتوي العروة 2 على R2 = 2 Ω والمقاومة المشتركة R3 = 4 Ω. أي معادلة صحيحة؟
  1. 2·I2 + 4·(I1 − I2) = −6
  2. 2·I2 + 4·(I2 − I1) = 6
  3. 2·I2 + 4·(I2 − I1) = −6
  4. 2·I2 + 4·I2 = −6

الإجابة: 2·I2 + 4·(I2 − I1) = −6. المرور بمصدر من + إلى − هبوط، فيُحتسب −6 V في جانب الارتفاع. وفي العروة 2 تحمل المقاومة المشتركة I2 − I1، لا I2 وحده ولا I1 − I2.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: عروتان ومصدر جهد واحد، كما في المثال المحلول. ليس في العروة 2 مصدر، فمعادلتها تساوي 0.
  • متوسط: عروتان ومصدرا جهد، واحد في كل جهة. انتبه لإشارة المصدر الأيمن في العروة 2.
  • صعب: ثلاث عُرى، مع مقاومتين مشتركتين. العروة الوسطى تشترك في مقاومة مع كل جار.

يطلب السؤال تيار عروة، أو التيار المار في مقاومة في اتجاه السهم، أو الجهد على مقاومة بالقطبية الموضحة.

لإيجاد جهد، أوجد التيار المار في المقاومة أولًا ثم استخدم V = I·R.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
R1​ = 8 ΩR2​ = 8 ΩIR2​+−V1​10 VR3​3 ΩAR4​8 ΩBI1​I2​

استخدم تحليل الحلقات لإيجاد التيار IR2 المارّ في R2 باتجاه السهم.

V1 = 10 VR1 = 8 ΩR2 = 8 ΩR3 = 3 ΩR4 = 8 Ω

المطلوب: IR2 (A)

أظهر التلميحات
  1. هناك 2 نوافذ، لذا عرّف 2 تيارات حلقات باتجاه عقارب الساعة (I1, I2) واكتب معادلة جهد واحدة لكل حلقة.
  2. في الحلقة 1 تحمل كل مقاومة I1، باستثناء المقاومة المشتركة التي تحمل I1 − I2.
  3. الحل يعطي I1 = 0,95 A.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

تحليل الحلقات: أعطِ كل نافذة في دائرة مستوية تيار حلقة خاصًا بها، واكتب قانون كيرشوف للجهد حول كل حلقة (مجموع الهبوطات = مجموع الارتفاعات)، ثم حلّ. تيارات الفروع هي تيار الحلقة، أو الفرق بين تياري حلقتين في فرع مشترك.

R1​ = 8 ΩR2​ = 8 Ω+−V1​10 VR3​3 ΩAR4​8 ΩBI1​I2​

عيّن تيارات الحلقات

ارسم في كل نافذة تيارًا باتجاه عقارب الساعة: I1, I2. المقاومة المشتركة بين حلقتين تحمل الفرق بين تياريهما.

قانون كيرشوف للجهد حول الحلقة 1

عند الدوران باتجاه عقارب الساعة، تساوي هبوطات الجهد على المقاومات ارتفاعات جهد المصادر (من − إلى + باتجاه الدوران).

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
8·I1 + 3(I1 − I2) = 10
11·I1 − 3·I2 = 10

قانون كيرشوف للجهد حول الحلقة 2

عند الدوران باتجاه عقارب الساعة، تساوي هبوطات الجهد على المقاومات ارتفاعات جهد المصادر (من − إلى + باتجاه الدوران).

R2·I2 + R3(I2 − I1) + R4·I2 = 0
8·I2 + 3(I2 − I1) + 8·I2 = 0
−3·I1 + 19·I2 = 0

الحل

Δ = (11)(19) − (−3)(−3) = 200
I1 = Δ1/Δ = 190/200 = 0,95 A
I2 = Δ2/Δ = 30/200 = 0,15 A

الإجابة

IR2 = I2 = 0,15 A

تيار الحلقة السالب يسري عكس عقارب الساعة.

مثال 2متوسطة
R1​ = 10 ΩR2​ = 3 Ω+−V1​15 VR3​12 ΩA+−V2​24 VI1​I2​

استخدم تحليل الحلقات لإيجاد تيار الحلقة I1 (باتجاه عقارب الساعة).

V1 = 15 VV2 = 24 VR1 = 10 ΩR2 = 3 ΩR3 = 12 Ω

المطلوب: I1 (A)

أظهر التلميحات
  1. هناك 2 نوافذ، لذا عرّف 2 تيارات حلقات باتجاه عقارب الساعة (I1, I2) واكتب معادلة جهد واحدة لكل حلقة.
  2. في الحلقة 1 تحمل كل مقاومة I1، باستثناء المقاومة المشتركة التي تحمل I1 − I2.
  3. الحل يعطي I1 = −0,3387 A.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

تحليل الحلقات: أعطِ كل نافذة في دائرة مستوية تيار حلقة خاصًا بها، واكتب قانون كيرشوف للجهد حول كل حلقة (مجموع الهبوطات = مجموع الارتفاعات)، ثم حلّ. تيارات الفروع هي تيار الحلقة، أو الفرق بين تياري حلقتين في فرع مشترك.

R1​ = 10 ΩR2​ = 3 Ω+−V1​15 VR3​12 ΩA+−V2​24 VI1​I2​

عيّن تيارات الحلقات

ارسم في كل نافذة تيارًا باتجاه عقارب الساعة: I1, I2. المقاومة المشتركة بين حلقتين تحمل الفرق بين تياريهما.

قانون كيرشوف للجهد حول الحلقة 1

عند الدوران باتجاه عقارب الساعة، تساوي هبوطات الجهد على المقاومات ارتفاعات جهد المصادر (من − إلى + باتجاه الدوران).

R1·I1 + R3(I1 − I2) = V1
10·I1 + 12(I1 − I2) = 15
22·I1 − 12·I2 = 15

قانون كيرشوف للجهد حول الحلقة 2

عند الدوران باتجاه عقارب الساعة، تساوي هبوطات الجهد على المقاومات ارتفاعات جهد المصادر (من − إلى + باتجاه الدوران).

R2·I2 + R3(I2 − I1) = −V2
3·I2 + 12(I2 − I1) = (−24)
−12·I1 + 15·I2 = −24

الحل

Δ = (22)(15) − (−12)(−12) = 186
I1 = Δ1/Δ = −63/186 = −0,3387 A
I2 = Δ2/Δ = −348/186 = −1,871 A

الإجابة

I1 = −0,3387 A

تيار الحلقة السالب يسري عكس عقارب الساعة.

مثال 3صعبة
R1​ = 15 ΩR2​ = 20 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​36 VR4​30 ΩIR4​AR5​8 ΩB+−V2​15 VI1​I2​I3​

استخدم تحليل الحلقات لإيجاد التيار IR4 المارّ في R4 باتجاه السهم.

V1 = 36 VV2 = 15 VR1 = 15 ΩR2 = 20 ΩR3 = 10 ΩR4 = 30 ΩR5 = 8 Ω

المطلوب: IR4 (A)

أظهر التلميحات
  1. هناك 3 نوافذ، لذا عرّف 3 تيارات حلقات باتجاه عقارب الساعة (I1, I2, I3) واكتب معادلة جهد واحدة لكل حلقة.
  2. في الحلقة 1 تحمل كل مقاومة I1، باستثناء المقاومة المشتركة التي تحمل I1 − I2.
  3. الحل يعطي I1 = 1,135 A.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

تحليل الحلقات: أعطِ كل نافذة في دائرة مستوية تيار حلقة خاصًا بها، واكتب قانون كيرشوف للجهد حول كل حلقة (مجموع الهبوطات = مجموع الارتفاعات)، ثم حلّ. تيارات الفروع هي تيار الحلقة، أو الفرق بين تياري حلقتين في فرع مشترك.

R1​ = 15 ΩR2​ = 20 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​36 VR4​30 ΩAR5​8 ΩB+−V2​15 VI1​I2​I3​

عيّن تيارات الحلقات

ارسم في كل نافذة تيارًا باتجاه عقارب الساعة: I1, I2, I3. المقاومة المشتركة بين حلقتين تحمل الفرق بين تياريهما.

قانون كيرشوف للجهد حول الحلقة 1

عند الدوران باتجاه عقارب الساعة، تساوي هبوطات الجهد على المقاومات ارتفاعات جهد المصادر (من − إلى + باتجاه الدوران).

R1·I1 + R4(I1 − I2) = V1
15·I1 + 30(I1 − I2) = 36
45·I1 − 30·I2 = 36

قانون كيرشوف للجهد حول الحلقة 2

عند الدوران باتجاه عقارب الساعة، تساوي هبوطات الجهد على المقاومات ارتفاعات جهد المصادر (من − إلى + باتجاه الدوران).

R2·I2 + R4(I2 − I1) + R5(I2 − I3) = 0
20·I2 + 30(I2 − I1) + 8(I2 − I3) = 0
−30·I1 + 58·I2 − 8·I3 = 0

قانون كيرشوف للجهد حول الحلقة 3

عند الدوران باتجاه عقارب الساعة، تساوي هبوطات الجهد على المقاومات ارتفاعات جهد المصادر (من − إلى + باتجاه الدوران).

R3·I3 + R5(I3 − I2) = −V2
10·I3 + 8(I3 − I2) = (−15)
−8·I2 + 18·I3 = −15

الحل

Δ = محدد مصفوفة المعاملات = 27900
I1 = Δ1/Δ = 31680/27900 = 1,135 A
I2 = Δ2/Δ = 14040/27900 = 0,5032 A
I3 = Δ3/Δ = −17010/27900 = −0,6097 A

الإجابة

IR4 = I1 − I2 = 0,6323 A

تيار الحلقة السالب يسري عكس عقارب الساعة.

أسئلة وأجوبة

ما هو تحليل الحلقات؟

تحليل العُرى طريقة قياسية لإيجاد التيارات في دائرة. وهو شريك التحليل العقدي: التحليل العقدي يستخدم الجهود مجاهيل، وتحليل العُرى يستخدم التيارات.

انظر إلى رسم دائرة مستوٍ. «النوافذ» الفارغة التي تحيط بها الأسلاك والعناصر تسمى عُرى (meshes).

كيف تحل مسائل تحليل الحلقات خطوة بخطوة؟
  1. ارسم تيارًا باتجاه عقارب الساعة في كل حلقة (نافذة) من الدائرة.
  2. طبّق قانون كيرشوف للجهد حول كل حلقة: مجموع هبوطات الجهد يساوي صفرًا.
  3. في المقاومة المشتركة بين حلقتين يكون التيار هو الفرق بين تياري الحلقتين.
  4. حلّ المعادلات؛ النتيجة السالبة تعني أن التيار يسري في الاتجاه المعاكس.
ما الأخطاء الشائعة في تحليل الحلقات؟
  • استخدام تيار الحلقة كاملًا في مقاومة مشتركة.
  • الخطأ في إشارة مصدر عند الدوران حول الحلقة.
  • نسيان أن مصدر التيار في فرع خارجي يحدّد تيار تلك الحلقة.
ماذا تغطي تمارين تحليل الحلقات؟
  • سهلة: حلقتان، مصدر واحد
  • متوسطة: حلقتان، مصدران
  • صعبة: 3 حلقات

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

المقاومات على التوالي والتوازي

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

تحليل الدوائر الكهربائية 1التدريب لاختبار FE للهندسة الكهربائية والحاسوب

مواضيع أخرى في الكهربائية

المقاومات على التوالي والتوازيالتراكبثيفنن ونورتنتحليل العقدالحالات العابرة RC و RLمعاوقة التيار المتردد والطورياتقدرة التيار المتردد ومعامل القدرةرنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقالقدرة ثلاثية الطورالمحوّلاتمحركات التيار المستمردوائر مكبّرات العملياتالثنائيات والترانزستوراتمحولات التيار المستمر إلى التيار المستمرالمنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتقنطرة ويتستون ومقاييس الانفعالاكتساب البيانات وأخذ العيناتتحويلات لابلاسالمخططات الصندوقيةالاستجابة الخطويةمخططات بودي والهوامشالاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذورخطأ الحالة المستقرة والتحكم PIDالالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًا

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل تحليل الحلقات مع الإجابات
تدرّب على تحليل الحلقات مجانًاتدرّب على تحليل الحلقات الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.