أدخل موجة جيبية في مرشح أو مكبر، تخرج موجة جيبية بالتردد نفسه. شيئان فقط يتغيران: حجمها وتوقيتها.
الكسب |H| هو نسبة سعة الخرج إلى سعة الدخل. والطور φ هو مقدار انزياح الخرج، بالدرجات. الطور السالب يعني أن الخرج يتأخر.
كلاهما يعتمد على التردد. يرسمهما مخطط بود مقابل التردد: الكسب بالديسيبل في الأعلى، والطور تحته. ومحور التردد لوغاريتمي، فيحصل كل عقد (×10) على العرض نفسه.
كسب 1/√2 ≈ 0,707 يساوي −3 dB. هذا هو حد نطاق التمرير لمرشح.
تحقّق ذاتي لمكبر كسب 100. ما كسبه بالديسيبل؟
100 dB
2 dB
20 dB
40 dB
الإجابة: 40 dB. 20·log₁₀(100) = 20·2 = 40 dB. القيمة 20 dB تستخدم 10·log₁₀، وهي لنسب القدرة لا لنسب الجهد. و2 هي log₁₀(100) فقط.
2مرشحات الرتبة الأولى
مقاومة مع مكثف أو ملف تصنع أبسط مرشح. مرشح تمرير المنخفضات يمرر الترددات المنخفضة ويضعف العالية. ومرشح تمرير المرتفعات يفعل العكس.
في مرشح RC لتمرير المنخفضات (يسارًا) يكون الخرج على المكثف. وفي مرشح RC لتمرير المرتفعات (يمينًا) يكون على المقاومة. ومع ملف يكون خرج مرشح تمرير المنخفضات على R، وخرج مرشح تمرير المرتفعات على L.
يحدث التغير حول التردد الركني، حيث يكون الكسب −3 dB. وهو نفسه لنسختي تمرير المنخفضات وتمرير المرتفعات:
ωc = 1/(R·C) ωc = R/L fc = ωc/(2π)
ωc بـ rad/s وfc بـ Hz. ضع R وC وL في الوحدات الأساسية أولًا: Ω وF وH.
يُظهر المخطط مرشح تمرير منخفضات. دون ωc يكون الكسب نحو 0 dB. وفوقها يسقط الكسب بمقدار 20 dB لكل عقد. ويذهب الطور من 0° إلى −90° ويكون −45° عند الركن.
أوجد التردد الركني fc لمرشح RL لتمرير المرتفعات مع R = 470 Ω وL = 47 mH.
1
الوحدات الأساسية
L = 47 mH = 0,047 H
2
الركن بـ rad/s
ωc = R/L = 470/0,047 = 10 000 rad/s
3
الركن بـ Hz
fc = 10 000/(2π) = 1592 Hz
الإجابة
fc ≈ 1592 Hz (ωc = 10 000 rad/s).
تحقّق ذاتي مرشح RC لتمرير المنخفضات فيه R = 1 kΩ وC = 1 µF. ما تردده الركني fc؟
1000 Hz
159 Hz
159 kHz
6283 Hz
الإجابة: 159 Hz. ωc = 1/(1000·0,000001) = 1000 rad/s، إذن fc = 1000/(2π) = 159 Hz. القيمة 1000 هي ωc بـ rad/s لا Hz. و6283 تضرب في 2π، و159 kHz تنسى الحرف k في kΩ.
3مخططات بود بخطوط مستقيمة
لدالة تحويل G(s) يمكنك رسم المقدار بخطوط مستقيمة. كل عامل يغير الميل عند تردده الركني الخاص.
عامل قطب (s + p) في المقام يثني الخط إلى الأسفل بمقدار 20 dB/decade ابتداءً من ω = p.
عامل صفر (s + z) في البسط يثنيه إلى الأعلى بمقدار 20 dB/decade ابتداءً من ω = z.
العامل s في المقام (مكامل) يعطي −20 dB/decade عند كل تردد، وطورًا قدره −90°.
بلا مكامل يبدأ المخطط مستويًا عند كسب التيار المستمر G(0)، محوّلًا إلى dB.
يُظهر الشكل G(s) = 10 000/((s + 10)(s + 100)). G(0) = 10 000/1000 = 10، لذا يبدأ المخطط عند 20 dB. وينثني إلى −20 dB/decade عند 10 rad/s وإلى −40 dB/decade عند 100 rad/s.
لإيجاد الميل في نطاق: ابدأ بـ −20 dB/decade لكل مكامل، ثم أضف −20 لكل ركن قطب و+20 لكل ركن صفر دون ذلك النطاق.
تحقّق ذاتي G(s) = 20(s + 50)/(s(s + 5)). ما ميل المخطط المستقيم بين 5 و50 rad/s؟
0 dB/decade
−20 dB/decade
−40 dB/decade
−60 dB/decade
الإجابة: −40 dB/decade. يعطي المكامل −20 من البداية. ويضيف القطب عند 5 القيمة −20، فيكون الميل −40 بين 5 و50. والصفر عند 50 يعيده إلى −20 فوق 50. أما −60 فتعامل الصفر كقطب.
4قيم دقيقة عند تردد واحد
الخطوط المستقيمة رسم تقريبي. لقيمة دقيقة عوّض s = jω. كل عامل (jω + a) عدد مركب له:
|jω + a| = √(ω² + a²) ∠(jω + a) = atan(ω/a)
مقدار G هو حاصل ضرب مقادير البسط مقسومًا على حاصل ضرب مقادير المقام. والطور هو مجموع زوايا البسط ناقص مجموع زوايا المقام.
دارة RLC على التوالي مع الخرج على R هي مرشح تمرير نطاق. تمرر الترددات القريبة من تردد الرنين ω₀ = 1/√(LC). وعرض النطاق BW = R/L بـ rad/s، وعامل الجودة Q = ω₀/BW.
اكتب G(s) أو H(jω). لمرشح RC أو RL أوجد أولًا ωc والنسبة x = ω/ωc.
لكل عامل أوجد مقداره √(ω² + a²) وزاويته atan(ω/a).
تحقق بمقارنته بالرسم المستقيم: يجب أن تقع القيمة الدقيقة قريبة منه، وأقل منه بـ 3 dB عند ركن وحيد.
5مثال محلول
هذا سؤال متوسط نموذجي. جرّب كل خطوة قبل أن تفتحها.
مثال محلول
مرشح RC لتمرير المنخفضات فيه R = 10 kΩ وC = 100 nF. تُطبَّق موجة جيبية 480 Hz. أوجد الكسب |H| بـ dB وإزاحة الطور φ.
1
تردد الركن
استخدم الوحدات الأساسية: R = 10 000 Ω وC = 0,0000001 F.
ωc = 1/(10 000·0,0000001) = 1000 rad/s
fc = 1000/(2π) = 159,2 Hz
2
نسبة التردد
x = f/fc = 480/159,2 = 3,016
الدخل فوق الركن، فتوقع خسارة واضحة في الكسب.
3
الكسب
|H| = 1/√(1 + 3,016²) = 1/3,177 = 0,315
20·log₁₀(0,315) = −10,0 dB
4
الطور
يجعل مرشح تمرير المنخفضات الخرج يتأخر، لذا فالطور سالب.
φ = −atan(3,016) = −71,7°
5
تحقّق من الإجابة
يعطي الخط المستقيم −20·log₁₀(3,016) = −9,6 dB، قريبًا من القيمة الدقيقة −10,0 dB.
الإجابة
|H| ≈ −10,0 dB وφ ≈ −71,7°.
6أخطاء شائعة
استخدام 10·log₁₀ لكسب جهد. كسوب الإشارات تستخدم 20·log₁₀.
الخلط بين ω وf. ωc = 1/(RC) بـ rad/s؛ واقسم على 2π للحصول على Hz.
استخدام L/R لتردد ركني في RL. L/R هو ثابت الزمن؛ والركن هو ωc = R/L.
جمع المقادير مثل ω + a. حجم jω + a هو √(ω² + a²).
نسيان المكامل: 1/s يعطي −20 dB/decade و−90° عند كل تردد.
إعطاء قيمة الخط المستقيم حين يطلب السؤال المقدار الدقيق.
تحقّق ذاتي ما كسب التيار المستمر لـ G(s) = 400/((s + 2)(s + 5)) بـ dB؟
16,0 dB
32,0 dB
40 dB
52,0 dB
الإجابة: 32,0 dB. G(0) = 400/(2·5) = 40، و20·log₁₀(40) = 32,0 dB. القيمة 16,0 dB تستخدم 10·log₁₀. و40 هي النسبة لا dB. و52,0 dB تنسى وضع s = 0 في المقام.
7كيف تبدو أسئلة الامتحان
سهل: المرشحات والخطوط المقاربة. التردد الركني لمرشح RC أو RL بـ Hz أو rad/s، أو ميل مخطط مستقيم في نطاق، أو كسب التيار المستمر بـ dB.
متوسط: المقدار والطور. كسب مرشح بـ dB أو طوره عند تردد معطى، أو |G(jω)| أو ∠G(jω) الدقيق لدالة تحويل، أو f₀ وBW وQ لمرشح RLC لتمرير نطاق.
صعب: هوامش الاستقرار لحلقة L(s)، مثل 85/(s(s + 5)) أو K/(s(s + a)(s + b)).
في المستوى الصعب تحتاج إلى ترددين. عند تقاطع الكسب ωc، |L(jω)| = 1 (0 dB). وعند تقاطع الطور ω180، ∠L(jω) = −180°.
PM = 180° + ∠L(jωc) GM = −20·log₁₀|L(jω180)|
لـ L(s) = K/(s(s + a)(s + b)) يقع تقاطع الطور عند ω180 = √(a·b). وتكون الحلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.
كسب التيار المستمر
G(0) = 0,3
بالديسيبل
20·log₁₀(0,3) = −10,46 dB
الإجابة
|G(0)| = −10,46 dB
مثال 2متوسطة
لـ مرشح RC لتمرير الترددات المنخفضة الموضح R = 1 kΩ, C = 1 nF. يُطبَّق دخل جيبي مقداره 1600 kHz. أوجد إزاحة الطور φ للجهد vout بالنسبة إلى vin، بالدرجات.
R = 1 kΩC = 1 nFf = 1600 kHz
المطلوب: φ(°)
أظهر التلميحات
أوجد تردد الركن أولًا: fc = 159155 Hz.
H(jω) = 1/(1 + jω/ωc)
f/fc = 10,05.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.
حُلّ المعادلة التربيعية في x = ω²: x = (−a² + √(a⁴ + 4K²))/2.
ωc = 13,15 rad/s; ∠L = −90° − atan(ωc/5).
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.
تقاطع الكسب
ω⁴ + 25ω² − 34225 = 0
ω² = (−25 + √(625 + 4·34225))/2 = 172,9
ωc = 13,15 rad/s
هامش الطور
∠L(jωc) = −90° − atan(13,15/5) = −159,2°
PM = 180° + ∠L = 20,82°
الإجابة
PM = 20,82°
أسئلة وأجوبة
ما هو مخططات بودي والهوامش؟
أدخل موجة جيبية في مرشح أو مكبر، تخرج موجة جيبية بالتردد نفسه. شيئان فقط يتغيران: حجمها وتوقيتها.
كلاهما يعتمد على التردد. يرسمهما مخطط بود مقابل التردد: الكسب بالديسيبل في الأعلى، والطور تحته. ومحور التردد لوغاريتمي، فيحصل كل عقد (×10) على العرض نفسه.
كيف تحل مسائل مخططات بودي والهوامش خطوة بخطوة؟
الاستجابة الترددية: عوّض s = jω في دالة النقل. المقدار بالديسيبل هو 20·log₁₀|H(jω)| والطور هو مجموع زوايا عوامل البسط ناقص زوايا عوامل المقام. مرشح RC أو RL من الرتبة الأولى له تردد الركن (−3 dB) عند ωc = 1/(RC) أو R/L، وfc = ωc/(2π)؛ ومرشح تمرير الترددات المنخفضة يعطي |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) وφ = −atan(ω/ωc). وفي مخطط بودي التقريبي (الخطوط المستقيمة) ينحني كل قطب بالمقدار إلى الأسفل بـ 20 dB/decade عند تردد ركنه، وينحني كل صفر إلى الأعلى بـ 20 dB/decade، ويعطي المكامل 1/s ميلًا قدره −20 dB/decade عند كل الترددات. تردد تقاطع الكسب ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB)؛ وهامش الطور PM = 180° + ∠L(jωc). تردد تقاطع الطور ω180: ∠L(jω) = −180°؛ وهامش الكسب GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. تكون الحلقة المغلقة مستقرة حين يكون الهامشان موجبين.
ما الأخطاء الشائعة في مخططات بودي والهوامش؟
هذا هو الكسب كنسبة. حوّله: 20·log₁₀(0,3).
لنسبة جهد أو إشارة استخدم 20·log₁₀، لا 10·log₁₀ (فهذه للقدرة).
ضع s = 0 في كل عامل: G(0) = 0,3، لا 12.
ماذا تغطي تمارين مخططات بودي والهوامش؟
سهلة: المرشحات والخطوط المقاربة
متوسطة: المقدار والطور
صعبة: هوامش الاستقرار
لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
كيف يعمل التدريب
لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.