المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: البوابات وجداول الصدق والتأخيرات, الجبر البولياني وخرائط كارنو والمضاعِفات, حالات عدم الاكتراث والقلّابات والعدّادات.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
AF

NAND و NOR بوابتان شاملتان: يمكن بناء أي دالة منطقية من إحداهما وحدها. ما أصغر عدد N من بوابات NAND ذات المدخلين اللازمة لبناء الدالة NOT المعروضة؟

F = A′

إجابة دقيقة: عدد صحيح، دون تقريب.

المسألة التالية →
تدرّب على المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات مجانًاتدرّب على المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةالبوابات وجداول الصدق والتأخيرات
  2. متوسطةالجبر البولياني وخرائط كارنو والمضاعِفات
  3. صعبةحالات عدم الاكتراث والقلّابات والعدّادات

كيف تحلّ مسائل المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات

  1. لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
  2. للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
  3. غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
  4. للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.

أخطاء شائعة

  • ترتيب خريطة كارنو 00, 01, 10, 11 بدل شيفرة غراي 00, 01, 11, 10.
  • نسيان أن المجموعات قد تلتف حول الحواف، أو رسم مجموعات من 3 أو 6 خلايا.
  • تغطية حالات عدم اكتراث لا تكبّر مجموعة.
  • نسيان التفاف العدّاد، أو قراءة Q₃Q₂Q₁Q₀ بترتيب خاطئ.

الصيغ الأساسية

البوابات الأساسية
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
القواعد البولية
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
دي مورغان
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
ترتيب خريطة كارنو
00, 01, 11, 10 (Gray code)
مجموعة من 2ᵏ خلية
تفقد k متغيرًا
مضاعِف 4-إلى-1
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
القلّابات
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
العدّادات
n بتّات: 2ⁿ حالة؛ mod-N: أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N؛ fout = fclk/N
العدّاد المتموّج
fmax = 1/(n·tpd)
العدّادان الحلقي وجونسون
n و 2n حالة

تعلّم المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات من البداية

قبل هذا: أنظمة العد

1الآحاد والأصفار والبوابات

تعمل الدارات الرقمية بقيمتين: 0 (جهد منخفض، خطأ) و 1 (جهد مرتفع، صواب). تأخذ البوابة المنطقية مدخلًا واحدًا أو أكثر وتعطي مخرجًا واحدًا.

ABA·BANDABA + BORAA′NOT
  • تعطي AND القيمة 1 فقط عندما تكون كل المداخل 1. تُكتب A·B أو AB.
  • تعطي OR القيمة 1 عندما يكون مدخل واحد على الأقل 1. تُكتب A + B.
  • تقلب NOT القيمة: يصبح 0 واحدًا ويصبح 1 صفرًا. تُكتب A′ (أو بخط فوق A).
  • NAND و NOR هما AND و OR متبوعتين بـ NOT؛ والدائرة الصغيرة على الرمز تعني «معكوس».
  • تعطي XOR (A ⊕ B) القيمة 1 عندما يختلف المدخلان.

يسرد جدول الصدق المخرج لكل تركيبة من المداخل: 2ⁿ صفًا لـ n مدخلًا. الصف ABC = 101 هو الصف رقم 5 ويسمى الحد الأصغري m₅.

تحقّق ذاتي A = 1 و B = 0. ما مخرج بوابة NAND؟
  1. 0
  2. 1
  3. لا شيء: تحتاج NAND إلى أن يكون المدخلان كلاهما 1
  4. يعتمد على المخرج السابق

الإجابة: 1. AND للقيمتين 1 و 0 تساوي 0، وتقلبها NAND إلى 1. تكون NAND صفرًا فقط عندما تكون كل مداخلها 1.

2الجبر البولياني

تتبع التعابير المنطقية قواعد شبيهة بالجبر العادي، مع بعض القواعد الخاصة بها. أكثرها فائدة:

X + X′ = 1 X·X′ = 0 X + X = X X + X·Y = X
X·Y + X·Y′ = X دي مورغان: (X·Y)′ = X′ + Y′، (X + Y)′ = X′·Y′

قاعدة الدمج X·Y + X·Y′ = X هي قلب التبسيط: حدّان يختلفان في متغير واحد يندمجان ويختفي ذلك المتغير.

مجموع الجداءات (SOP) هو OR لحدود AND، مثل F = AB′ + C. وجداء المجاميع (POS) هو AND لحدود OR، مثل F = (A + B)(B′ + C). يُبنى كل حد جداء من حروف (literals): متغيرات، مع شرطة أو بدونها.

3خرائط كارنو

خريطة كارنو جدول صدق مرسوم على شكل شبكة تختلف فيها الخلايا المتجاورة في متغير واحد بالضبط. لهذا تجري الصفوف والأعمدة هكذا 00, 01, 11, 10 (شيفرة غراي) وليس بترتيب ثنائي.

ABC00011110000103121140507161F = B
  1. اكتب 1 في خلية كل حد أصغري؛ الرقم الصغير في كل خلية هو رقم حدها الأصغري.
  2. ارسم مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية حول الآحاد. يمكن للمجموعات أن تلتف حول الحواف: العمودان الأيسر والأيمن متجاوران، وكذلك الصفان العلوي والسفلي.
  3. اجعل كل مجموعة أكبر ما يمكن، واستخدم أقل عدد من المجموعات حتى يُغطى كل 1.
  4. اقرأ كل مجموعة على أنها حد جداء: احتفظ فقط بالمتغيرات التي لا تتغير داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا.

في الخريطة أعلاه تشكّل الآحاد الأربعة مجموعة واحدة. داخلها يتغير A ويتغير C، ويبقى B = 1 فقط، إذن F = B.

الخلايا المعلَّمة بـ X هي حالات عدم الاكتراث (don’t-care): تركيبات مداخل لا تحدث أبدًا. استخدم X على أنها 1 عندما تكبّر مجموعة، وتجاهلها في غير ذلك. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.

تحقّق ذاتي في خريطة من 4 متغيرات، كم حرفًا تعطي مجموعة من 4 خلايا؟
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

الإجابة: 2. أربع خلايا هي 2²، فيتغير متغيران داخل المجموعة ويسقطان. من أصل المتغيرات الأربعة يبقى متغيران.

4مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

جد الصيغة الدنيا SOP للدالة F(A, B, C) = Σm(0, 2, 4, 5, 6) وعُدّ حروفها.

1

املأ الخريطة

الصفوف A = 0, 1؛ والأعمدة BC = 00, 01, 11, 10. تُوضع الآحاد في m0 و m2 (الصف 0، العمودان 00 و 10) و m4 و m5 و m6 (الصف 1، الأعمدة 00 و 01 و 10).

2

أكبر مجموعة

العمودان BC = 00 و BC = 10 متجاوران عبر الحافة. معًا يحتويان m0 و m2 و m4 و m6: مجموعة من أربع. فقط C = 0 ثابت، إذن هذه المجموعة هي C′.

3

غطِّ آخر 1

ما زال m5 (A = 1، BC = 01) غير مغطى. اقرنه بجاره m4: في هذا الزوج يبقى A = 1 و B = 0 ثابتين، فالحد هو AB′.

4

اقرأ الجواب

F = C′ + AB′

ثلاثة حروف في حدّين. تجميع m5 وحده كان سيعطي AB′C، وهو حد أطول: اجعل المجموعات دائمًا أكبر ما يمكن حتى لو تداخلت.

الإجابة

F = C′ + AB′، بـ 3 حروف.

5القلّابات والعدّادات

تتفاعل البوابات مع مداخلها فورًا. أما القلّاب (flip-flop) فيخزّن بتًّا واحدًا ولا يتغير إلا عند الحافة الفعالة للساعة (غالبًا الحافة الصاعدة).

  • قلّاب D: يصبح Q مساويًا D عند كل حافة ساعة (Q⁺ = D).
  • قلّاب T: يتبدّل عندما T = 1، ويحتفظ بقيمته عندما T = 0.
  • قلّاب JK: JK = 00 يحتفظ، 01 يصفّر إلى 0، 10 يضبط إلى 1، 11 يتبدّل.
CLKQ

القلّاب المتبدّل يتغير عند كل حافة صاعدة، فيكون تردد خرجه نصف تردد الساعة. وتسلسل n منها يعطي عدّادًا ثنائيًا بـ n بتّات له 2ⁿ حالة. يعدّ عدّاد mod-N من 0 و 1 … حتى N − 1 ثم يعود إلى 0؛ ويحتاج إلى أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N، ويعمل خرجه الأخير بتردد fclk/N.

في العدّاد المتموّج (ripple) تُؤقَّت كل مرحلة بالتي قبلها، فتتراكم التأخيرات: يجب ألا تقل دورة الساعة عن n·tpd. تستخدم عدّادات مسجّل الإزاحة حالات أقل: عدّاد حلقي من n قلّابات له n حالة، وعدّاد جونسون له 2n.

تحقّق ذاتي يُظهر عدّاد ثنائي تصاعدي من 4 بتّات القيمة 13. ما العدّ الذي يُظهره بعد 5 نبضات ساعة إضافية؟
  1. 18
  2. 2
  3. 3
  4. 8

الإجابة: 2. لعدّاد من 4 بتّات 16 حالة ويلتف من 15 إلى 0: 13 + 5 = 18، و 18 mod 16 = 2. كتابة 18 تنسى الالتفاف.

6أخطاء شائعة

  • كتابة أعمدة خريطة كارنو هكذا 00, 01, 10, 11. الترتيب هو شيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
  • نسيان أن المجموعات تلتف حول حواف الخريطة.
  • تكوين مجموعات من 3 أو 6 خلايا. للمجموعات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية.
  • تغطية حالة عدم اكتراث لا تفيد: لا يجب أبدًا تغطية X.
  • قراءة مجموعة بالاحتفاظ بالمتغيرات التي تتغير. احتفظ فقط بالتي تبقى ثابتة.
  • نسيان أن العدّاد يلتف: العدّاد ذو n بتّات يعدّ بالنمط 2ⁿ.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: تقييم دارة بوابات لمداخل معطاة، وعدّ الآحاد في جدول صدقها، ووضع حد أصغري في خريطة كارنو، وعدد بوابات NAND لدالة، أو أسوأ تأخير انتشار.
  • متوسط: تبسيط تعبير، وإيجاد الصيغة الدنيا SOP أو POS بخريطة كارنو، ودالة مبنية بمضاعِف (multiplexer)، أو الواحد المعزول في خريطة.
  • صعب: خرائط بحالات عدم اكتراث، والأعداد الأولية الجوهرية (essential prime implicants)، ومخططات توقيت القلّابات، والعدّادات بعد نبضات كثيرة، وعدد القلّابات أو تردد الخرج، ومسجّلات الإزاحة.

تحقق من تعبير مبسَّط باختبار صف أو صفين من جدول الصدق: يجب أن يعطي الأصلي والمبسَّط الخرج نفسه.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
BAF

NAND و NOR بوابتان شاملتان: يمكن بناء أي دالة منطقية من إحداهما وحدها. ما أصغر عدد N من بوابات NAND ذات المدخلين اللازمة لبناء الدالة AND المعروضة؟

F = A·B

المطلوب: N

أظهر التلميحات
  1. بوابة NAND بمدخلين موصولين معًا هي عاكس.
  2. AND = NAND متبوعة بعاكس؛ و OR = NAND للمداخل المعكوسة (دي مورغان).
  3. عُدّ كل بوابة، بما فيها المستخدمة كعاكسات.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

البوابات المنطقية: كل مدخل ومخرج هو 0 أو 1. تعطي AND القيمة 1 فقط عندما تكون كل المداخل 1؛ وتعطي OR القيمة 1 عندما يكون مدخل واحد على الأقل 1؛ وتقلب NOT القيمة. NAND و NOR هما AND و OR متبوعتين بـ NOT، وتعطي XOR القيمة 1 عندما يختلف المدخلان. اتبع الدارة من المداخل إلى المخرج، بوابة بوابة. يسرد جدول الصدق المخرج لكل تركيبات المداخل الـ 2ⁿ؛ ورقم الصف هو القيمة الثنائية للمداخل، فالصف ABC = 101 هو الحد الأصغري m₅.

ابنِها من بوابات NAND

دي مورغان: A + B = (A′·B′)′، فـ OR هي NAND للمداخل المعكوسة.

F = A·B = NOT(NAND(A, B))

عُدّ البوابات

N = 2

الإجابة

N = 2
مثال 2متوسطة
ABCD00011110000111101111111

في خريطة كارنو هذه يوجد 1 واحد بالضبط لا جار 1 له، فيبقى مجموعة من خلية واحدة (حد أصغري كامل من أربعة حروف) في الصيغة الدنيا SOP. الجيران عبر حواف الخريطة تُحسب. انقر على تلك الخلية.

F = Σm(0, 3, 4, 10, 13, 14, 15)
  1. 1AB = 00, CD = 00
  2. 2AB = 00, CD = 01
  3. 3AB = 00, CD = 11
  4. 4AB = 00, CD = 10
  5. 5AB = 01, CD = 00
  6. 6AB = 01, CD = 01
  7. 7AB = 01, CD = 11
  8. 8AB = 01, CD = 10
  9. 9AB = 11, CD = 00
  10. 10AB = 11, CD = 01
  11. 11AB = 11, CD = 11
  12. 12AB = 11, CD = 10
  13. 13AB = 10, CD = 00
  14. 14AB = 10, CD = 01
  15. 15AB = 10, CD = 11
  16. 16AB = 10, CD = 10
أظهر التلميحات
  1. تختلف الخلايا المتجاورة في متغير واحد بالضبط.
  2. العمودان الأقصى اليسار والأقصى اليمين متجاوران، وكذلك الصفان العلوي والسفلي.
  3. افحص الجيران الأربعة (أعلى وأسفل ويسار ويمين، مع الالتفاف) لكل 1.
أظهر الإجابة والشرح

خرائط كارنو: ترتَّب الخلايا بشيفرة غراي (00, 01, 11, 10)، فتختلف الخلايا المتجاورة، بما فيها تلك التي عبر الحواف، في متغير واحد بالضبط. جمّع الآحاد في مستطيلات من 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، بأكبر حجم وأقل عدد ممكنين، حتى يُغطى كل 1. كل مجموعة حد جداء واحد: المتغيرات التي تبقى ثابتة داخلها. المجموعة من 2ᵏ خلية تفقد k متغيرًا. يجوز استخدام حالات عدم الاكتراث (X) لتكبير المجموعات لكن لا يجب تغطيتها أبدًا. أما تجميع الأصفار فيعطي الصيغة الدنيا POS.

جيران كل 1

يمكن لـ 1 له جار 1 أن ينضم إلى مجموعة من اثنين أو أكثر.

m3: m2, m1, m7, m11 → 0
ABCD00011110000111101111111

الـ 1 المعزول

m3 = A′B′CD → AB = 00, CD = 11

الإجابة

AB = 00, CD = 11
مثال 3صعبة
TQ0​Q0​TQ1​Q1​TQ2​Q2​TQ3​Q3​CLKMOD-12

عدّاد mod-12 متزامن يعدّ 0 و 1 … حتى 11 ثم يعود إلى 0. يبدأ من 8. أي عدّ Q (بالنظام العشري) يُظهر بعد 36 نبضات ساعة؟

Q0 = 836N = 12

المطلوب: Q

أظهر التلميحات
  1. للعدّاد 12 حالة ويكرر نفسه بعد 12 نبضات.
  2. بعد k نبضة يكون العدّ (8 + k) mod 12.
  3. 36 mod 12 = 0.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

القلّابات والعدّادات: لا يتغير القلّاب إلا عند الحافة الفعالة للساعة. يَنسخ D مدخله (Q⁺ = D)؛ و T يتبدّل عندما T = 1؛ و JK يحتفظ عند 00، ويصفّر عند 01، ويضبط عند 10، ويتبدّل عند 11. للعدّاد الثنائي ذي n بتّات 2ⁿ حالة ويعدّ بالنمط 2ⁿ؛ وعدّاد mod-N يعدّ 0 و 1 … حتى N − 1 ثم يعود إلى 0، ويحتاج إلى أصغر n يحقق 2ⁿ ≥ N قلّابات. تُنصّف كل مرحلة في العدّاد المتموّج التردد، فيعمل الخرج الأخير لعدّاد mod-N بالتردد fclk/N. لعدّاد جونسون من n قلّابات 2n حالة، وللعدّاد الحلقي n.

الدورات الكاملة

كل 12 نبضة تعيد العدّاد إلى الحالة نفسها.

36 = 3·12 + 0

العدّ بعد النبضات المتبقية

Q = (8 + 0) mod 12 = 8
Q = 1000₂

الإجابة

Q = 8

أسئلة وأجوبة

ما هو المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات؟

تعمل الدارات الرقمية بقيمتين: 0 (جهد منخفض، خطأ) و 1 (جهد مرتفع، صواب). تأخذ البوابة المنطقية مدخلًا واحدًا أو أكثر وتعطي مخرجًا واحدًا.

يسرد جدول الصدق المخرج لكل تركيبة من المداخل: 2ⁿ صفًا لـ n مدخلًا. الصف ABC = 101 هو الصف رقم 5 ويسمى الحد الأصغري m₅.

كيف تحل مسائل المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات خطوة بخطوة؟
  1. لدارة ما، اعمل من المداخل إلى المخرج بوابةً بوابةً واكتب القيمة على كل سلك، أو اكتب تعبيرها واملأ جدول الصدق.
  2. للتبسيط ضع الآحاد (وحالات عدم الاكتراث على شكل X) في خريطة كارنو بصفوف وأعمدة بشيفرة غراي: 00, 01, 11, 10.
  3. غطِّ الآحاد بأقل عدد ممكن وأكبر حجم ممكن من المجموعات ذات 1 أو 2 أو 4 أو 8 أو 16 خلية، مع الالتفاف حول الحواف؛ كل مجموعة حد جداء واحد من المتغيرات التي تبقى ثابتة. جمّع الأصفار للصيغة POS.
  4. للقلّابات والعدّادات اقرأ المداخل عند كل حافة ساعة فعالة، واكتب الحالة بعد كل حافة، وتذكّر أن عدّادًا ذا n بتّات يلتف بعد 2ⁿ حالة.
ما الأخطاء الشائعة في المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات؟
  • ترتيب خريطة كارنو 00, 01, 10, 11 بدل شيفرة غراي 00, 01, 11, 10.
  • نسيان أن المجموعات قد تلتف حول الحواف، أو رسم مجموعات من 3 أو 6 خلايا.
  • تغطية حالات عدم اكتراث لا تكبّر مجموعة.
  • نسيان التفاف العدّاد، أو قراءة Q₃Q₂Q₁Q₀ بترتيب خاطئ.
ماذا تغطي تمارين المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات؟
  • سهلة: البوابات وجداول الصدق والتأخيرات
  • متوسطة: الجبر البولياني وخرائط كارنو والمضاعِفات
  • صعبة: حالات عدم الاكتراث والقلّابات والعدّادات

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

أنظمة العد

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

أساسيات علوم الحاسوبالإلكترونيات 1الإلكترونيات الرقميةالتدريب لاختبار FE للهندسة الكهربائية والحاسوب

مواضيع أخرى في الكهربائية

المقاومات على التوالي والتوازيالتراكبثيفنن ونورتنتحليل العقدتحليل الحلقاتالحالات العابرة RC و RLمعاوقة التيار المتردد والطورياتقدرة التيار المتردد ومعامل القدرةرنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقالقدرة ثلاثية الطورالمحوّلاتمحركات التيار المستمردوائر مكبّرات العملياتالثنائيات والترانزستوراتمحولات التيار المستمر إلى التيار المستمرقنطرة ويتستون ومقاييس الانفعالاكتساب البيانات وأخذ العيناتتحويلات لابلاسالمخططات الصندوقيةالاستجابة الخطويةمخططات بودي والهوامشالاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذورخطأ الحالة المستقرة والتحكم PIDالالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًا

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات مع الإجابات
تدرّب على المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات مجانًاتدرّب على المنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّابات الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.