أنظمة العد: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

1ما هو نظام العدّ

في الحياة اليومية تعدّ بالنظام العشري، أساسه 10. له عشرة أرقام، من 0 إلى 9، وقيمة كل خانة تساوي عشرة أمثال قيمة الخانة التي على يمينها.

في العدد 352 قيمة الرقم 3 تساوي 300، وقيمة الرقم 5 تساوي 50، وقيمة الرقم 2 تساوي 2. وقيم الخانات من اليمين هي 1 و10 و100.

يخزّن الحاسوب كل شيء على شكل مفاتيح إما مفتوحة أو مغلقة. لذلك يعدّ بالنظام الثنائي، أساسه 2، وفيه الرقمان 0 و1 فقط.

الرقم الثنائي الواحد هو بت. ومجموعة من 8 بتات هي بايت.

القاعدة نفسها في كل نظام: قيمة كل رقم تساوي قيمته مضروبة في قوة من قوى الأساس.

2النظام الثنائي والسداسي عشري

في النظام الثنائي تكون قيم الخانات من اليمين 1 و2 و4 و8 و16 وهكذا. قيمة كل خانة ضعف قيمة الخانة التي على يمينها.

في العدد ذي 8 بتات تكون قيم الخانات 128 و64 و32 و16 و8 و4 و2 و1.

لقراءة عدد ثنائي اجمع قيم الخانات لكل بت يساوي 1. في 0011 0010 يكون الناتج 32 + 16 + 2 = 50.

يصعب قراءة صفوف البتات الطويلة. لذلك يكتبها المبرمجون غالبًا بالنظام السداسي عشري (hex)، أساسه 16.

يحتاج النظام السداسي عشري إلى 16 رقمًا. فيستخدم 0 إلى 9 ثم الحروف A = 10 وB = 11 وC = 12 وD = 13 وE = 14 وF = 15.

قيم الخانات السداسية عشرية من اليمين 1 و16 و256 و4096. وكثيرًا ما يُكتب العدد السداسي عشري مسبوقًا بـ 0x، مثل 0x2F.

الرقم السداسي عشري الواحد يساوي 4 بتات بالضبط، لذا فإن 0011 0010 هو 0x32: إذ 0011 يساوي 3 و0010 يساوي 2.

3الأعداد السالبة: المتمّم الثنائي

البايت الذي تكون قيم خاناته كلها موجبة يخزّن الأعداد من 0 إلى 255. وهذا يسمى بلا إشارة.

لتخزين الأعداد السالبة تستخدم الحواسيب المتمّم الثنائي (two’s complement). والتغيير الوحيد أن البت الأيسر تكون قيمته −128 بدلًا من +128.

إذن 1000 0011 يساوي −128 + 2 + 1 = −125. ويسمى البت الأيسر بت الإشارة: فإذا كان 1 يكون العدد سالبًا.

العدد ذو 8 بتات بالمتمّم الثنائي يمتد من −128 (1000 0000) إلى +127 (0111 1111).

لكتابة عدد سالب −x، ابدأ بـ +x بالنظام الثنائي، واعكس كل بت (يصبح 0 إلى 1 و1 إلى 0) ثم أضف 1.

مثال للعدد −5: العدد 5 هو 0000 0101. وبعد العكس يصبح 1111 1010. وبإضافة 1 نحصل على 1111 1011.

النمط نفسه عند قراءته بلا إشارة قيمته 256 − x. وللعدد −5 يكون ذلك 251، وفعلًا 1111 1011 يساوي 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 251.

4الطريقة خطوة بخطوة

من الثنائي أو السداسي عشري إلى العشري:

1. اكتب قيمة الخانة تحت كل رقم: قوى العدد 2 للثنائي وقوى العدد 16 للسداسي عشري، بدءًا بالعدد 1 من اليمين.
2. في النظام السداسي عشري استبدل كل حرف بقيمته: من A = 10 إلى F = 15.
3. اضرب كل رقم في قيمة خانته ثم اجمع كل شيء.

المتمّم الثنائي:

1. لقراءة نمط ما، أعطِ البت الأيسر القيمة −128 (في 8 بتات) واجمع قيم خانات كل البتات التي تساوي 1.
2. لكتابة −x، اكتب +x في 8 بتات، واعكس كل بت ثم أضف 1.
3. القيمة بلا إشارة لذلك النمط هي 256 − x. استخدمها للتحقق من بتاتك.

البتات والمدى والذاكرة:

1. تعطي n بتات 2ⁿ نمطًا مختلفًا.
2. بلا إشارة تخزّن من 0 إلى 2ⁿ − 1. وبالمتمّم الثنائي تخزّن من −2ⁿ⁻¹ إلى 2ⁿ⁻¹ − 1.
3. لإعطاء k عنصرًا رمزًا خاصًا لكل منها، أوجد أصغر b يحقق 2^b ≥ k.
4. للذاكرة اضرب عدد العناصر في عدد البتات لكل عنصر، ثم اقسم على 8 للحصول على البايتات وعلى 1024 للحصول على KiB.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

6أخطاء شائعة

• نسيان إضافة 1 بعد عكس البتات. فتحصل على قيمة أقل بواحد.
• قراءة نمط المتمّم الثنائي بلا إشارة، مثل قراءة 1111 1111 على أنه 255 بدلًا من −1.
• معاملة بت الإشارة كعلامة سالبة أمام بقية البتات. في المتمّم الثنائي قيمته −128.
• كتابة قيم الخانات بترتيب خاطئ. الخانة التي قيمتها 1 تكون دائمًا في أقصى اليمين.
• استخدام A = 11 في النظام السداسي عشري. تبدأ الحروف من A = 10.
• الخلط بين البتات والبايتات في مسائل الذاكرة. اقسم عدد البتات على 8.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

• سهل: من الثنائي والسداسي عشري إلى العشري. حوّل عددًا ثنائيًا من 8 بتات أو عددًا سداسيًا عشريًا من 3 أرقام إلى النظام العشري.
• متوسط: المتمّم الثنائي. اقرأ قيمة نمط مُشار من 8 بتات، أو اكتب عددًا سالبًا على شكل نمط وأعطِ قيمته بلا إشارة.
• صعب: البتات والمدى والذاكرة. أكبر أو أصغر قيمة تتسع في n بتات، أو عدد البتات اللازمة لـ k رمزًا، أو الذاكرة التي تشغلها صورة.

مثال على سؤال صعب: صورة 256 × 256 بـ 24 بت لكل بكسل تشغل 256 · 256 · 24 / 8 / 1024 = 192 KiB.