الاستجابة الخطوية: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

Q: ما هو الاستجابة الخطوية؟

المنحنى a يرتفع بسلاسة ولا يتجاوز أبدًا. هذا نظام من الرتبة الأولى، مثل دارة RC أو خزان مسخَّن. المنحنى b يتجاوز ويتأرجح عدة مرات ثم يستقر. هذا نظام ناقص التخميد من الرتبة الثانية، مثل تعليق سيارة أو كتلة على نابض.

Q: كيف تحل مسائل الاستجابة الخطوية خطوة بخطوة؟

الاستجابة للدخل الخطوي: النظام من الرتبة الأولى G(s) = K/(τs + 1) يستجيب لخطوة مقدارها U بالعلاقة y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): يبلغ 63,2 % من القيمة النهائية K·U بعد ثابت زمني واحد τ و98 % بعد 4τ. والنظام من الرتبة الثانية G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) له القطبان s = −ζωₙ ± jωd مع ωd = ωₙ√(1 − ζ²). وعندما 0 −ζπ/√(1−ζ²)، وزمن الذروة tp = π/ωd، وزمن الاستقرار عند 2 % هو ts ≈ 4/(ζωₙ). قارن المقام مع s² + 2ζωₙs + ωₙ² لقراءة ωₙ وζ. وفي نظام كتلة–نابض–مخمّد ωₙ = √(k/m) وζ = c/(2√(km))؛ وفي دائرة RLC على التسلسل ωₙ = 1/√(LC) وζ = (R/2)·√(C/L).

Q: ما الأخطاء الشائعة في الاستجابة الخطوية؟

يستقر الخرج عند K·U وليس عند U: كسب التيار المستمر هو G(0) = 2. عبّر عن التجاوز بالنسبة المئوية: اضرب في 100. الأس هو −ζπ/√(1 − ζ²).

Q: ماذا تغطي تمارين الاستجابة الخطوية؟

سهلة: أنظمة الرتبة الأولى متوسطة: معاملات الرتبة الثانية صعبة: الأنظمة الفيزيائية والتصميم لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

مسائل تدريبية مجانية في الاستجابة الخطوية مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: أنظمة الرتبة الأولى, معاملات الرتبة الثانية, الأنظمة الفيزيائية والتصميم.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة

يُشحن مكثف غير مشحون C = 47 µF من مصدر خطوة 5 V عبر مقاومة R = 4,7 kΩ. أوجد جهد المكثف v_C عند t = 220,9 ms.

R = 4,7 kΩC = 47 µFV = 5 Vt = 220,9 ms

المسألة التالية →

تدرّب على الاستجابة الخطوية مجانًا تدرّب على الاستجابة الخطوية الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

سهلةأنظمة الرتبة الأولى
متوسطةمعاملات الرتبة الثانية
صعبةالأنظمة الفيزيائية والتصميم

تعلّم الاستجابة الخطوية من البداية

قبل هذا: الحالات العابرة RC و RL, تحويلات لابلاس

1ما هي استجابة الخطوة

الخطوة دخل يقفز من 0 إلى قيمة ثابتة عند t = 0 ثم يبقى هناك. تخيل تشغيل مدفأة، أو الضغط على دواسة الوقود وإبقاءها.

استجابة الخطوة هي كيف يتبعها الخرج. لا يستطيع القفز دفعة واحدة: يتحرك نحو قيمة نهائية جديدة y(∞) ويستقر عندها.

المنحنى a يرتفع بسلاسة ولا يتجاوز أبدًا. هذا نظام من الرتبة الأولى، مثل دارة RC أو خزان مسخَّن.

المنحنى b يتجاوز ويتأرجح عدة مرات ثم يستقر. هذا نظام ناقص التخميد من الرتبة الثانية، مثل تعليق سيارة أو كتلة على نابض.

تأتي القيمة النهائية من كسب التيار المستمر G(0): خطوة حجمها U تستقر عند y(∞) = G(0)·U. وهذه نظرية القيمة النهائية من تحويلات لابلاس.

تحقّق ذاتي يتلقى نظام G(s) = 3/(2s + 1) خطوة حجمها 4. ما القيمة النهائية y(∞)؟

الإجابة: 12. G(0) = 3/(0 + 1) = 3، إذن y(∞) = 3·4 = 12. القيمة 4 تنسى الكسب، و3 تنسى حجم الخطوة، و6 تقسم على العدد 2 في 2s، الذي يختفي عند s = 0.

2أنظمة الرتبة الأولى

لنظام الرتبة الأولى الصيغة القياسية أدناه. K هو الكسب الساكن وτ ثابت الزمن بالثواني.

G(s) = K/(τs + 1) y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ)

إذا كُتبت G(s) بالصورة b/(s + a)، فاقسم البسط والمقام على a. عندئذ K = b/a وτ = 1/a.

بعد 1τ يكون الخرج قد أنجز 63% من تغيره، وبعد 3τ 95%، وبعد 5τ أكثر من 99%.
الزمن لبلوغ كسر x من القيمة النهائية: t = −τ·ln(1 − x). لـ 90%، t = τ·ln 10 = 2,3τ.
زمن الصعود من 10 إلى 90% هو t_r = τ·ln 9 ≈ 2,2τ.
في دارة RC، τ = R·C. لاحظ أن kΩ مضروبة في µF تعطي ميلي ثانية.

إذا قست الاستجابة فيمكنك إيجاد τ بالعكس. إذا بلغ الخرج كسرًا x عند الزمن t، فإن τ = −t/ln(1 − x).

مثال محلول

تتلقى G(s) = 10/(s + 5) خطوة حجمها 2 عند t = 0. أوجد القيمة النهائية والزمن لبلوغ 90% منها.

الصيغة القياسية

اقسم البسط والمقام على 5:

G(s) = 2/(0,2s + 1) ⇒ K = 2, τ = 0,2 s

القيمة النهائية

y(∞) = K·U = 2·2 = 4

الزمن لبلوغ 90%

حل 1 − e^−t/τ = 0,9، إذن e^−t/τ = 0,1:

t = −τ·ln(0,1) = 0,2·2,303 = 0,461 s

الإجابة

y(∞) = 4 ويبلغ الخرج 90% بعد t ≈ 0,461 s.

تحقّق ذاتي ما ثابت الزمن لـ G(s) = 10/(s + 5)؟

0,2 s
10 s
2 s
5 s

الإجابة: 0,2 s. بكتابتها 2/(0,2s + 1)، يكون ثابت الزمن τ = 1/5 = 0,2 s. القيمة 5 s تخلط τ مع a، و2 هي الكسب K لا زمن.

3أنظمة الرتبة الثانية

لنظام الرتبة الثانية مقام تربيعي. قارنه بالصيغة القياسية:

G(s) = K/(s² + 2ζω_ns + ω_n²)

الحد الثابت هو ω_n²، إذن التردد الطبيعي هو ω_n = √(الحد الثابت)، بـ rad/s.
معامل s هو 2ζω_n، إذن نسبة التخميد هي ζ = (معامل s)/(2ω_n).
لـ 0 < ζ < 1 تتجاوز الاستجابة وتتذبذب. وζ الأصغر تعني تجاوزًا أكبر.

لخطوة وحدة تكون القيمة النهائية G(0) = K/ω_n². وتصف خمسة أعداد شكل الاستجابة:

ω_d = ω_n·√(1 − ζ²) t_p = π/ω_d
%OS = 100·e^{−ζπ/√(1 − ζ²)} t_s ≈ 4/(ζω_n)

ω_d هو التردد المخمَّد: مدى سرعة تذبذب الاستجابة.
t_p هو زمن الذروة، حين يكون الخرج في أعلى قيمة. و%OS هي نسبة التجاوز المئوية فوق القيمة النهائية.
t_s هو زمن الاستقرار، الذي يبقى الخرج بعده ضمن 2% من القيمة النهائية.

القطبان هما s = σ ± jω_d، بجزء حقيقي σ = −ζω_n. وبعدهما عن نقطة الأصل ω_n، وcos θ = ζ.

تحقّق ذاتي مقام نظام s² + 4s + 25. ما نسبة التخميد ζ؟

0,08
0,4
0,8
2

الإجابة: 0,4. ω_n = √25 = 5، و2ζω_n = 4 تعطي ζ = 4/(2·5) = 0,4. القيمة 0,8 تنسى العدد 2، و0,08 تقسم على ω_n² بدل ω_n، و2 هي ζω_n.

4الطريقة خطوة بخطوة

حدد الرتبة: مقام من الدرجة 1 رتبة أولى، ومن الدرجة 2 رتبة ثانية.
الرتبة الأولى: اكتب G(s) بالصورة K/(τs + 1) واقرأ K وτ.
الرتبة الثانية: قارن المقام بـ s² + 2ζω_ns + ω_n². أوجد ω_n أولًا، ثم ζ.
أوجد القيمة النهائية y(∞) = G(0)·U.
طبق الصيغة لما هو مطلوب: y(t) أو زمن أو t_p أو %OS أو t_s أو σ.
تحقق من الوحدات: الأزمنة بالثواني، وω بـ rad/s، والزاوية في صيغ e^… وπ بالراديان.

5مثال محلول

هذا سؤال متوسط نموذجي. جرّب كل خطوة قبل أن تفتحها.

مثال محلول

تتلقى G(s) = 16/(s² + 4s + 16) خطوة وحدة. أوجد ζ وω_n ونسبة التجاوز المئوية وزمن الذروة.

التردد الطبيعي

الحد الثابت هو ω_n² = 16.

ω_n = √16 = 4 rad/s

نسبة التخميد

معامل s هو 2ζω_n = 4.

ζ = 4/(2·4) = 0,5

ζ بين 0 و1، إذن تتجاوز الاستجابة.

نسبة التجاوز المئوية

ζπ/√(1 − ζ²) = 0,5·π/√0,75 = 1,814

%OS = 100·e^−1,814 = 16,3%

زمن الذروة

ω_d = 4·√(1 − 0,25) = 3,464 rad/s

t_p = π/3,464 = 0,907 s

تحقّق من الإجابة

القيمة النهائية هي G(0) = 16/16 = 1، إذن الذروة نحو 1,163. ويستخدم الشكل في القسم السابق هذا النظام نفسه.

زمن الاستقرار 4/(ζω_n) = 4/2 = 2 s يأتي بعد الذروة، كما يجب.

الإجابة

ω_n = 4 rad/s وζ = 0,5 و%OS ≈ 16,3% وt_p ≈ 0,907 s.

6أخطاء شائعة

معاملة الصعود كأنه خطي. الدالة الأسية تبلغ 90% بعد 2,3τ لا بعد 0,9τ: استخدم t = −τ·ln(1 − x).
استخدام ln(x) بدل ln(1 − x). يأخذ اللوغاريتم الجزء الذي ما زال ناقصًا.
قراءة τ = a من b/(s + a). ثابت الزمن هو 1/a.
استخدام ω_n² بدل ω_n. خذ الجذر التربيعي للحد الثابت.
نسيان العدد 2 في 2ζω_n، أو استخدام ω_n بدل ω_d في t_p = π/ω_d.
إعطاء التجاوز ككسر (0,163) حين يطلب السؤال نسبة مئوية (16,3%).

تحقّق ذاتي تتلقى G(s) = 2/(s + 4) خطوة. كم يستغرق الخرج لبلوغ 90% من قيمته النهائية؟

0,026 s
0,225 s
0,576 s
9,21 s

الإجابة: 0,576 s. τ = 1/4 = 0,25 s وt = −0,25·ln(0,1) = 0,576 s. القيمة 0,225 s تعامل الصعود كأنه خطي (0,9τ). و0,026 s تستخدم ln(0,9) بدل ln(0,1). و9,21 s تستخدم a = 4 بدل τ.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

سهل: أنظمة الرتبة الأولى. تجد y(∞) أو الخرج عند زمن معطى أو الزمن لبلوغ نسبة معينة أو τ من نقطة مقيسة أو زمن شحن دارة RC.
متوسط: معاملات الرتبة الثانية. من G(s) = K/(s² + a₁s + a₀) تجد ζ أو ω_n أو %OS أو t_p أو t_s أو الجزء الحقيقي σ للأقطاب.
صعب: الأنظمة الفيزيائية والتصميم. نظام كتلة–نابض–مخمِّد أو دارة RLC، أو ζ وω_n محسوبتان بالعكس من تجاوز وزمن ذروة مقيسين.

لكتلة m ومخمِّد c ونابض k، تعطي المعادلة m·x″ + c·x′ + k·x = F:

ω_n = √(k/m) ζ = c/(2√(k·m)) x(∞) = F/k

للرجوع من تجاوز مقيس، حل صيغة %OS لإيجاد ζ:

ζ = −ln(OS)/√(π² + ln²(OS)), OS = %OS/100

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة

يتلقى نظام من الرتبة الأولى G(s) = 2/(2s + 1) دخلًا خطويًا مقداره 2 عند t = 0، بادئًا من السكون. أوجد القيمة النهائية y(∞) للخرج.

G(s) = 2/(2s + 1)U = 2

المطلوب: y(∞)

أظهر التلميحات

نظرية القيمة النهائية: y(∞) = lim s·G(s)·U/s = G(0)·U.
G(0) هو كسب التيار المستمر.
G(0) = 2.

أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الاستجابة للدخل الخطوي: النظام من الرتبة الأولى G(s) = K/(τs + 1) يستجيب لخطوة مقدارها U بالعلاقة y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ): يبلغ 63,2 % من القيمة النهائية K·U بعد ثابت زمني واحد τ و98 % بعد 4τ. والنظام من الرتبة الثانية G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) له القطبان s = −ζωₙ ± jω_d مع ω_d = ωₙ√(1 − ζ²). وعندما 0 < ζ < 1 تتجاوز الاستجابة الخطوية القيمة النهائية: النسبة المئوية للتجاوز %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}، وزمن الذروة t_p = π/ω_d، وزمن الاستقرار عند 2 % هو t_s ≈ 4/(ζωₙ). قارن المقام مع s² + 2ζωₙs + ωₙ² لقراءة ωₙ وζ. وفي نظام كتلة–نابض–مخمّد ωₙ = √(k/m) وζ = c/(2√(km))؛ وفي دائرة RLC على التسلسل ωₙ = 1/√(LC) وζ = (R/2)·√(C/L).

كسب التيار المستمر

G(0) = 2

القيمة النهائية

y(∞) = G(0)·U = 2·2 = 4

الإجابة

y(∞) = 4

مثال 2متوسطة

لنظام دالة النقل G(s) = 213/(s² + 8s + 71) ويتلقى دخلًا خطويًا وحدويًا. أوجد النسبة المئوية للتجاوز %OS في الاستجابة الخطوية.

G(s) = 213/(s² + 8s + 71)

المطلوب: %OS (%)

أظهر التلميحات

قارن المقام مع s² + 2ζωₙs + ωₙ².
ωₙ = √71 = 8,426 rad/s, ζ = 8/(2ωₙ).
ζ = 0,4747.

أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

قارن مع الصيغة القياسية

يجب أن يطابق المقام s² + 2ζωₙs + ωₙ².

ωₙ² = 71 → ωₙ = 8,426 rad/s

2ζωₙ = 8 → ζ = 8/(2·8,426) = 0,4747

النتيجة

%OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)} = 100·e^−1,694 = 18,37 %

الإجابة

%OS = 18,37 %

مثال 3صعبة

كتلة m = 2,5 kg معلّقة بنابض k = 800 N/m مع مخمّد لزج c = 9 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F). وهي ساكنة في وضع الاتزان، تُطبَّق عليها فجأةً قوة ثابتة F = 10 N. أوجد الزمن t_p الذي تبلغ عنده الإزاحة أكبر قيمة.

m = 2,5 kgk = 800 N/mc = 9 N·s/mF = 10 N

المطلوب: t_p (s)

أظهر التلميحات