لإشارة f(t) تحويل لابلاس F(s) = 28/(s(s² + 2s + 23)). استخدم نظرية القيمة النهائية لإيجاد القيمة f(∞) التي تستقر عندها f(t).
المطلوب: f(∞)
أظهر التلميحات
- نظرية القيمة النهائية: f(∞) = lim s·F(s) عندما s → 0.
- تحقّق أولًا من أن كل أقطاب s·F(s) تقع في نصف المستوى الأيسر، لكي تستقر f(t) فعلًا.
- s·F(s) = 28/(s² + 2s + 23).
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة
تحويل لابلاس: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt يحوّل المشتقات إلى ضرب في s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0)، ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). الأزواج القياسية: 1 ↔ 1/s، e−at ↔ 1/(s + a)، t·e−at ↔ 1/(s + a)²، sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)، cos ωt ↔ s/(s² + ω²)، والإزاحة s → s + σ تضرب دالة الزمن في e−σt. لعكس F(s) كسرية، جزّئها إلى كسور جزئية: باقي القطب البسيط p هو A = [(s − p)·F(s)] عند s = p. نظرية القيمة النهائية: f(∞) = lims→0 s·F(s)، وتصحّ فقط عندما تقع كل أقطاب s·F(s) في نصف المستوى الأيسر. نظرية القيمة الابتدائية: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
تحقّق من انطباق النظرية
النظرية لا تصحّ إلا عندما تستقر f(t)؛ والقطب على المحور التخيّلي أو في نصف المستوى الأيمن يعطي إجابة خاطئة.