حاسبة تحويل لابلاس
أدخل قيمك. تتحدّث الإجابة والحل المفصّل الكامل أثناء الكتابة.
النتيجة
أوجد تحويل لابلاس لدالة مكوّنة من حدود شائعة: قوى t والدوال الأسية وsin وcos (مع طور) وsinh وcosh ودوال الخطوة المزاحة u(t − c) والنبضات δ(t − c). تحوّل الحاسبة كل حدّ بالجدول القياسي ومبرهنتي الإزاحة، وتبيّن المدخلات التي استخدمتها، وتعطي F(s) مع منطقة تقاربها.
الحل خطوة بخطوة
حوّل كل حدّ
مدخلات الجدول المستخدمة
اجمع التحويلات (الخطية)
كيف تجد تحويل لابلاس بالجدول
- قسّم f(t) إلى مجموع حدود؛ فتحويل لابلاس خطي.
- استخدم الأزواج الأساسية: L{tⁿ} = n!/sⁿ⁺¹ وL{sin ωt} = ω/(s² + ω²) وL{cos ωt} = s/(s² + ω²).
- الضرب في e^(at) يزيح s: L{e^(at) f(t)} = F(s − a).
- الحدّ المتأخر g(t)·u(t − c) يتحول إلى e^(−cs)·L{g(t + c)}.
- اجمع تحويلات الحدود؛ وتوجد F(s) عندما يكون Re(s) أكبر من أكبر أُس a.
أسئلة وأجوبة
كيف أكتب f(t)؟
مثلًا 3t^2 e^(-2t) + 5sin(4t) - 2e^(-t)cos(3t) + 4u(t-1). استخدم ^ للقوى، وe^(at) أو exp(at) للدوال الأسية، وu(t-c) للخطوة، وδ(t-c) أو delta(t-c) للنبضة. ويُسمح بالطور كما في sin(2t + 1).
ما الفرق بين t·u(t − 1) و(t − 1)·u(t − 1)؟
الثانية منحدر متأخر وتتحول إلى e^(−s)/s². أما الأولى فهي t·u(t − 1) = ((t − 1) + 1)·u(t − 1)، وتتحول إلى e^(−s)(1/s² + 1/s). وتعالج الحاسبة الاثنتين بكتابة g(t + c).
كيف تُحوَّل t·sin(ωt) وt·cos(ωt)؟
عبر L{tⁿ e^(jωt)} = n!/(s − jω)ⁿ⁺¹: الجزء التخيلي يعطي sin والجزء الحقيقي يعطي cos، مثلًا L{t sin ωt} = 2ωs/(s² + ω²)².
ما منطقة التقارب؟
قيم s التي يتقارب عندها تكامل التحويل: Re(s) أكبر من أكبر معدل نمو في f(t). وفي e^(3t) تكون Re(s) > 3.
هل يمكنني إدخال حاصل ضرب جيبين؟
ليس مباشرة. أعد كتابته أولًا بمتطابقة تحويل الضرب إلى جمع، مثلًا sin(at)·cos(bt) = ½[sin((a + b)t) + sin((a − b)t)].
تدرّب بنفسك
تدرّب على تحويلات لابلاس
الآلة الحاسبة تعطي الإجابة. أما في الامتحان فتحتاج إلى الطريقة: تدرّب عليها بمسائل جديدة وتلميحات وحلول مفصّلة.