الرياضيات الهندسية 2: مسائل تدريبية وأسئلة امتحانات

مقرر الرياضيات الثاني للمهندسين: المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية، والمصفوفات والمتجهات، وتقنيات التكامل مع حجوم الدوران، والمشتقات الجزئية والتكاملات الثنائية، والمتسلسلات وكثيرات حدود تايلور، وتحويل لابلاس والالتفاف. هذه هي الأدوات التي تبني عليها مقررات الدارات والاهتزازات والتحكم.

تدرّب على هذا المقرّر مجانًاتدرّب على هذا المقرّرخُض امتحانًا تجريبيًا5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

حزمة المراجعة المكثفة (PDF)أوراق قوانين وخطوات الحل ومسائل تدريبية بحلولها الكاملة، جاهزة للطباعة.

مواضيع هذا المقرّر

  1. المعادلات التفاضليةالنمو والاضمحلال الأسّي · قانون نيوتن للتبريد · الخطية من الرتبة الأولىحسابات
  2. المصفوفات والمحدداتمحدد 2×2 · 3×3 والضرب · القيم الذاتية والأنظمةحسابات
  3. المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيالمقدار والمركّبات · الضرب القياسي · الضرب الاتجاهي والعزومحسابات
  4. التكاملاتكثيرات الحدود · الدوال الأسية واللوغاريتمات والتعويض · المساحات بين المنحنياتحسابات
  5. التفاضل والتكامل لعدة متغيراتالمشتقات الجزئية والتكاملات الثنائية · التدرج والمستوى المماس وقاعدة السلسلة · النقاط الحرجة والتكاملات على المناطقحسابات
  6. المتتاليات والمتسلسلاتالمتسلسلات الحسابية والهندسية · التقارب ومتسلسلات القوى · كثيرات حدود تايلور وماكلورينحسابات
  7. تحويلات لابلاسأزواج الجدول ونظريات القيم · التحويل العكسي بالكسور الجزئية · المعادلات التفاضلية ودوال التحويلحسابات
  8. الالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًاالالتفاف المتقطع · الالتفاف المستمر · استجابة النبضة ومتسلسلة فورييهحسابات

نصائح امتحان الرياضيات الهندسية 2

  • في المعادلة التفاضلية الخطية، اكتب المعادلة المميِّزة أولًا: جذورها تحدد شكل الحل.
  • في التكامل بالتجزئة اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه.
  • استخدم جدول لابلاس والكسور الجزئية بدلًا من تكامل التحويل يدويًا.

أمثلة محلولة

المعادلات التفاضليةسهلة
rr² + br + c?

للمعادلة y″ + 4y′ + 3y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.

y″ + 4y′ + 3y = 0

المطلوب: r

أظهر التلميحات
  1. عوّض y = ert.
  2. r² + 4r + 3 = 0.
  3. حلّل إلى عوامل أو استخدم قانون المعادلة التربيعية.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = ert: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·er₁t + B·er₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·ert (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 تكون ωn التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

المعادلة المميزة

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

الجذور

r = −1, r = −3
الأقرب إلى الصفر: r = −1

الإجابة

r = −1

الحل العام هو y = A·e−1t + B·e−3t.

المصفوفات والمحدداتمتوسطة
A =−153−5−1−3−513

أوجد المحدد det A للمصفوفة A ذات 3×3 المعروضة.

A = [−1 5 3; −5 −1 −3; −5 1 3]

المطلوب: det A

أظهر التلميحات
  1. انشر على الصف الأول بالإشارات + − +.
  2. كل حد هو عنصر مضروب في محدد 2×2 المتبقي عند شطب صفه وعموده.
  3. المصغّرات: 0, −30, −10.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.

مصغّرات 2×2 للصف الأول

M₁₁ = 0, M₁₂ = −30, M₁₃ = −10

النشر بالمعاملات المرافقة

det A = (−1)·0 − 5·(−30) + 3·(−10) = 120

الإجابة

det A = 120

كيف يعمل التدريب

  • يمزج «تدرّب على هذا المقرّر» مسائل من كل مواضيعه، كما في امتحان حقيقي.
  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • الامتحانات التجريبية محدّدة بوقت ومن دون تلميحات، وتحصل في النهاية على درجتك ومراجعة كاملة.

آلات حاسبة لهذا المقرّر

حاسبة تحويل لابلاس العكسي (الكسور الجزئية)حاسبة تحويل لابلاسحاسبة محدِّد المصفوفة ومعكوسهاحاسبة القيم الذاتية والمتجهات الذاتيةحاسبة عمر النصف والاضمحلال الأسّيحلّال أنظمة المعادلات الخطية (2×2 و3×3)حاسبة التكامل (المحدد وغير المحدد)

مقرّرات ذات صلة

الرياضيات الهندسيةالتفاضل والتكامل 2الطرائق العدديةمسائل تدريب AP Calculusالمعادلات التفاضليةالإشارات والأنظمةالتفاضل والتكامل 1الاستاتيكا
تدرّب على هذا المقرّر مجانًاتدرّب على هذا المقرّرخُض امتحانًا تجريبيًا5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.