حاسبة القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

أدخل قيمك. تتحدّث الإجابة والحل المفصّل الكامل أثناء الكتابة.

النتيجة

λ15
λ23
λ32
كثير الحدود المميِّزλ³ − 10λ² + 31λ − 30
الأثر10
المحدِّد30
القيمة الذاتيةالتضاعفالمتجه الذاتيالمتجه الذاتي الواحدي
51(2, 0, 1)(0,8944, 0, 0,4472)
31(1, 1, −1)(0,5774, 0,5774, −0,5774)
21(1, 0, −1)(0,7071, 0, −0,7071)

أوجد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لمصفوفة 2×2 أو 3×3. تفكّ الحاسبة det(A − λI) إلى كثيرة الحدود المميِّزة، وتحلّها لإيجاد القيم الذاتية الحقيقية أو المركّبة مع تضاعفها، وتجد المتجهات الذاتية لكل قيمة ذاتية حقيقية بحل (A − λI)v = 0. ويُتحقَّق من كل متجه ذاتي بحساب A·v، وفي حالة القيم الذاتية المتكررة تبيّن هل يمكن قطرنة المصفوفة.

الحل خطوة بخطوة

المعادلة المميِّزة det(A − λI) = 0

det(A − λI) = (4 − λ)[(3 − λ)(3 − λ) − 0·(−1)] − 1[0(3 − λ) − 0·1] + 2[0·(−1) − (3 − λ)·1]
= −(λ³ − 10λ² + 31λ − 30)
tr A = 10, مجموع المصغّرات الرئيسية 2×2 = 31, det A = 30
λ³ − (tr A)λ² + (ΣM)λ − det A = λ³ − 10λ² + 31λ − 30 = 0

القيم الذاتية

(λ − 5)(λ − 3)(λ − 2) = 0
λ = 5, 3, 2
تحقّق: Σλ = 10 = tr A

المتجه الذاتي (λ = 5)

A − λI = [−1 1 2; 0 −2 0; 1 −1 −2]
(A − λI)·v = 0 → v = (2, 0, 1)
A·(2, 0, 1) = (10, 0, 5) = 5·(2, 0, 1) ✓

المتجه الذاتي (λ = 3)

A − λI = [1 1 2; 0 0 0; 1 −1 0]
(A − λI)·v = 0 → v = (1, 1, −1)
A·(1, 1, −1) = (3, 3, −3) = 3·(1, 1, −1) ✓

المتجه الذاتي (λ = 2)

A − λI = [2 1 2; 0 1 0; 1 −1 1]
(A − λI)·v = 0 → v = (1, 0, −1)
A·(1, 0, −1) = (2, 0, −2) = 2·(1, 0, −1) ✓

الصيغ الأساسية

القيم الذاتية
det(A − λI) = 0

كيف تجد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

  1. اطرح λ من كل عنصر على القطر الرئيسي في A لتحصل على A − λI.
  2. ساوِ المحدِّد بالصفر: det(A − λI) = 0. وفي المصفوفة 2×2 تصبح λ² − (tr A)λ + det A = 0؛ وفي المصفوفة 3×3 تصبح معادلة من الدرجة الثالثة.
  3. حلّ المعادلة المميِّزة. تحقّق: مجموع القيم الذاتية يساوي الأثر، وحاصل ضربها يساوي المحدِّد.
  4. لكل قيمة ذاتية، حلّ (A − λI)v = 0 بالاختزال الصفّي. تشكّل الحلول مستقيمًا (أو مستويًا)؛ وأي متجه غير صفري فيه هو متجه ذاتي.
  5. تحقّق من كل متجه ذاتي: يجب أن يساوي A·v القيمة λ·v.

أسئلة وأجوبة

كيف أدخل المصفوفة؟

اكتب الصفوف مفصولة بفواصل منقوطة والأعداد في كل صف مفصولة بمسافات، مثل 4 1 2; 0 3 0; 1 -1 3 لمصفوفة 3×3. يُسمح بالأعداد العشرية والسالبة.

لماذا يمكن أن تكون للمصفوفة قيم ذاتية مركّبة؟

يمكن أن تكون لكثيرة الحدود المميِّزة جذور مركّبة، وفي المصفوفة الحقيقية تأتي دائمًا في أزواج مترافقة. لمصفوفة الدوران 0 -1; 1 0 القيمتان الذاتيتان ±i، لأنه لا يوجد متجه حقيقي يحتفظ باتجاهه بعد الدوران.

ماذا تعني القيمة الذاتية المتكررة؟

هي جذر لكثيرة الحدود المميِّزة تضاعفه 2 أو 3. وقد يبقى للمصفوفة العدد نفسه من المتجهات الذاتية المستقلة، كما في المصفوفة الوحدة، أو عدد أقل. وإذا كان أقل فالمصفوفة معيبة ولا يمكن قطرنتها.

هل المتجه الذاتي وحيد؟

لا. فأي مضاعف غير صفري لمتجه ذاتي هو أيضًا متجه ذاتي. تعرض الحاسبة صيغة بسيطة، بأعداد صحيحة حيثما أمكن، والمتجه الواحدي الذي طوله 1.

فيمَ تُستخدم القيم الذاتية؟

تعطي الترددات الطبيعية للأنظمة المهتزة، والإجهادات الرئيسية لموتّر الإجهاد، واستقرار أنظمة المعادلات التفاضلية، والاتجاهات الرئيسية في تحليل المكوّنات الرئيسية.

تدرّب بنفسك

المصفوفات والمحددات: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوةكيف تحلّ مسائل المصفوفات والمحدداتورقة عمل المصفوفات والمحددات مع الإجابات

تدرّب على المصفوفات والمحددات

الآلة الحاسبة تعطي الإجابة. أما في الامتحان فتحتاج إلى الطريقة: تدرّب عليها بمسائل جديدة وتلميحات وحلول مفصّلة.

تدرّب على المصفوفات والمحددات مجانًاتدرّب على المصفوفات والمحددات الآنأمثلة محلولة
</> تضمين

مجانًا للمعلمين والمدارس: الصق هذا الرمز في صفحة مقررك أو نظام إدارة التعلم أو موقعك. يمكن للطلاب استخدام الحاسبة وحلها خطوة بخطوة دون حساب.

مزيد من الآلات الحاسبة

حاسبة الدرجة المعيارية والاحتمال الطبيعيحاسبة فترة الثقةحاسبة حجم العيّنةحاسبة المتوسط والوسيط والانحراف المعياريحاسبة الانحدار الخطيحاسبة اختبار مربع كاي لجودة المطابقةحاسبة محدِّد المصفوفة ومعكوسهاحاسبة التوزيع الطبيعيحاسبة التوزيع ذي الحدينحاسبة توزيع بواسون