حلّال أنظمة المعادلات الخطية (2×2 و3×3)

أدخل قيمك. تتحدّث الإجابة والحل المفصّل الكامل أثناء الكتابة.

النتيجة

x2
y3
z−1
رتبة مصفوفة المعاملات3
المحدِّد−1

حلّ نظامًا من معادلتين أو ثلاث معادلات خطية. اكتب المعادلات كما تكتبها، مثل 2x + y − z = 8، أو أدخل المصفوفة الموسَّعة. تعرض الحاسبة كل عملية صفية في حذف غاوس–جوردان، أو محددات قاعدة كرامر، وتعمل بكسور دقيقة، وتتعرف على الأنظمة التي لا حل لها أو لها حلول لا نهائية، وتكتبها بوسيط.

الحل خطوة بخطوة

النظام

2x + y − z = 8
−3x − y + 2z = −11
−2x + y + 2z = −3

المصفوفة الموسَّعة

[ 2   1   −1  │  8 ]
[ −3   −1   2  │  −11 ]
[ −2   1   2  │  −3 ]

عمود 1 (x): المحور في الصف 1

R1 → (1/2)·R1
R2 → R2 + 3·R1
R3 → R3 + 2·R1
[ 1   1/2   −1/2  │  4 ]
[ 0   1/2   1/2  │  1 ]
[ 0   2   1  │  5 ]

عمود 2 (y): المحور في الصف 2

R2 → 2·R2
R1 → R1 − (1/2)·R2
R3 → R3 − 2·R2
[ 1   0   −1  │  3 ]
[ 0   1   1  │  2 ]
[ 0   0   −1  │  1 ]

عمود 3 (z): المحور في الصف 3

R3 → (−1)·R3
R1 → R1 + R3
R2 → R2 − R3
[ 1   0   0  │  2 ]
[ 0   1   0  │  3 ]
[ 0   0   1  │  −1 ]

اقرأ الحل

x = 2
y = 3
z = −1

تحقق في المعادلات الأصلية

2·2 + 1·3 + (−1)·(−1) = 8 ✓
(−3)·2 + (−1)·3 + 2·(−1) = −11 ✓
(−2)·2 + 1·3 + 2·(−1) = −3 ✓

الصيغ الأساسية

محدد 2×2
det = ad − bc
معكوس مصفوفة 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
قاعدة كرامر
xi = det(Ai)/det(A)

كيف تحل نظامًا من المعادلات الخطية بالحذف

  1. اكتب النظام على شكل مصفوفة موسَّعة: صف لكل معادلة، ومعاملات x و y و z، والطرف الأيمن بعد الخط.
  2. اختر محورًا في العمود الأول (مدخلًا غير صفري، ويفضَّل 1) وبدّله إلى الصف الأول عند اللزوم.
  3. اقسم صف المحور على المحور، ثم اطرح مضاعفات منه من الصفوف الأخرى لتصفير بقية العمود.
  4. كرّر للعمود التالي والصف التالي حتى يصبح جزء المعاملات في الصيغة الصفية الدرجية المختزلة.
  5. اقرأ الحل. الصف 0 = c مع c ≠ 0 يعني أنه لا حل؛ والعمود بلا محور يعني متغيرًا حرًا وحلولًا لا نهائية.
  6. تحقق بتعويض الحل في المعادلات الأصلية.

أسئلة وأجوبة

متى أستخدم قاعدة كرامر؟

للأنظمة الصغيرة ذات المحدد غير الصفري، خاصة 2×2. كل مجهول نسبة محددات: x = Dx/D. وللأنظمة الأكبر، أو عندما D = 0، يكون الحذف أسرع ويخبرك أيضًا هل لا حل أم حلول لا نهائية.

كيف أعرف أن النظام لا حل له؟

عندما ينتج الحذف صفًا كل معاملاته صفرية وطرفه الأيمن غير صفري، مثل 0 = 3. هندسيًا لا تشترك المستقيمات أو المستويات في نقطة مشتركة، مثل مستقيمين متوازيين.

ماذا تعني الحلول اللانهائية؟

إحدى المعادلات تركيبة من الأخريات، فعدد المعادلات المستقلة أقل من عدد المجاهيل. تشكل الحلول مستقيمًا أو مستويًا، يُكتب بوسيط t: مثلًا x = 2 − t و y = 1 + t و z = t.

كيف أدخل المعادلات؟

افصل المعادلات بفواصل منقوطة واكتب المعامل قبل كل متغير: 2x + 3y − z = 5; x − y = 1; 4y + z = 0. الكسور مثل 1/2x والأعداد العشرية مسموحة، ويمكن أن يظهر المتغير في الطرفين.

ما الرتبة؟

عدد المحاور بعد الحذف، وهو عدد المعادلات المستقلة. للنظام المربع حل وحيد بالضبط عندما تساوي الرتبة عدد المجاهيل، أي عندما يكون المحدد غير صفري.

تدرّب بنفسك

المصفوفات والمحددات: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوةكيف تحلّ مسائل المصفوفات والمحدداتورقة عمل المصفوفات والمحددات مع الإجابات

تدرّب على المصفوفات والمحددات

الآلة الحاسبة تعطي الإجابة. أما في الامتحان فتحتاج إلى الطريقة: تدرّب عليها بمسائل جديدة وتلميحات وحلول مفصّلة.

تدرّب على المصفوفات والمحددات مجانًاتدرّب على المصفوفات والمحددات الآنأمثلة محلولة
</> تضمين

مجانًا للمعلمين والمدارس: الصق هذا الرمز في صفحة مقررك أو نظام إدارة التعلم أو موقعك. يمكن للطلاب استخدام الحاسبة وحلها خطوة بخطوة دون حساب.

مزيد من الآلات الحاسبة

حاسبة الدرجة المعيارية والاحتمال الطبيعيحاسبة فترة الثقةحاسبة حجم العيّنةحاسبة المتوسط والوسيط والانحراف المعياريحاسبة الانحدار الخطيحاسبة اختبار مربع كاي لجودة المطابقةحاسبة محدِّد المصفوفة ومعكوسهاحاسبة التوزيع الطبيعيحاسبة التوزيع ذي الحدينحاسبة توزيع بواسون