حاسبة التكامل (المحدد وغير المحدد)
أدخل قيمك. تتحدّث الإجابة والحل المفصّل الكامل أثناء الكتابة.
النتيجة
الدالة الأصلية لـ 1/x هي ln|x|: القيمة المطلقة تجعلها صالحة لـ x السالبة أيضًا.
جد دالة أصلية أو احسب تكاملًا محددًا. لمجاميع الحدود المعيارية، مثل قوى x و 1/x و e^(ax + b) و sin و cos و sec² لـ ax + b و (ax + b)ⁿ و ln(ax + b)، تكامل الحاسبة حدًا حدًا وتحسب F(b) − F(a) بدقة. وأي دالة مستمرة أخرى تُكامَل عدديًا بقاعدة سيمبسون التكيفية، وتحذّر الحاسبة من التكاملات المعتلة.
الحل خطوة بخطوة
اقرأ الدالة والحدين
جد دالة أصلية، حدًا حدًا
احسب F(b) − F(a)
تحقق عددي
الصيغ الأساسية
- قاعدة القوة
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- التكامل المحدد
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- تكاملات شائعة
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- المساحة بين منحنيين
- ∫ab (f − g) dx
كيف تحسب تكاملًا محددًا
- قسّم التابع المكامَل إلى مجموع حدود وكامل كلًّا منها على حدة؛ وتبقى العوامل الثابتة في مكانها.
- استخدم قاعدة القوة ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) لـ n ≠ −1، و ∫ 1/x dx = ln|x|.
- لدالة في ax + b اقسم على a: ∫ e^(ax + b) dx = e^(ax + b)/a و ∫ cos(ax + b) dx = sin(ax + b)/a.
- احسب الدالة الأصلية عند الحدين الأعلى والأدنى واطرح: ∫ f(x) dx من a إلى b = F(b) − F(a). الثابت C يُختزل.
- تحقق من أن التابع المكامَل مستمر على [a, b]. إذا كان له خط تقارب رأسي هناك، مثل 1/x عند x = 0، فالتكامل معتل ويحتاج إلى نهاية.
أسئلة وأجوبة
أي التكاملات تحلها الحاسبة بدقة؟
مجاميع مضاعفات ثابتة لـ xⁿ (أي n نسبي) و 1/x و e^(ax + b) و kˣ و sin(ax + b) و cos(ax + b) و sec²(ax + b) و csc²(ax + b) و sec·tan و csc·cot لـ ax + b و (ax + b)ⁿ و ln(ax + b). أما حواصل مثل x·eˣ فتحتاج إلى التكامل بالتجزئة وتُحسب عدديًا بدلًا من ذلك.
ما دقة التكامل العددي؟
تواصل قاعدة سيمبسون التكيفية تنصيف أجزاء المجال التي يتغير فيها التقدير، حتى يتفق إلى نحو عشرة أرقام معنوية للدوال الملساء. وتعرض الحاسبة عدد تقييمات الدالة وتقدير الخطأ.
ما + C؟
ثابت التكامل. لكل دالة عدد لا نهائي من الدوال الأصلية تختلف بثابت، لأن مشتقة الثابت صفر. وفي التكامل المحدد يُختزل.
لماذا أحصل على خطأ بشأن تكامل معتل؟
التابع المكامَل غير معرَّف أو لا نهائي في موضع ما من [a, b]، مثل 1/x على [−1, 1] أو tan(x) عبر π/2. تحتاج هذه التكاملات إلى نهاية وقد تتباعد، لذا لا تعطي الحاسبة قيمة لها.
هل يمكنني استخدام π في الحدين؟
نعم. اكتب pi أو pi/2 أو 2pi، أو e، حدًا؛ مثلًا تكامل sin(x) من 0 إلى pi يساوي 2.
تدرّب بنفسك
تدرّب على التكاملات
الآلة الحاسبة تعطي الإجابة. أما في الامتحان فتحتاج إلى الطريقة: تدرّب عليها بمسائل جديدة وتلميحات وحلول مفصّلة.