النهاياتسهلة
أوجد النهاية L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1).
f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1
المطلوب: L
أظهر التلميحات
- التعويض يعطي 0/0. حلّل البسط.
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
- x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة
النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).
جرّب التعويض المباشر
البسط → 0 والمقام → 0، لذا الصيغة 0/0.
حلّل واختصر
(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1
عوّض
L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4
الإجابة
L = 4
هذه مشتقة xⁿ عند x = a: n·aⁿ⁻¹.