حلّال المعادلة التربيعية (ax² + bx + c = 0)

أدخل قيمك. تتحدّث الإجابة والحل المفصّل الكامل أثناء الكتابة.

النتيجة

الجذورx₁ = 5/2, x₂ = −1
x₁2,5
x₂−1
المميِّز Δ49
طبيعة الجذورجذران حقيقيان مختلفان
الرأس(0,75, −6,125)
محور التناظرx = 0,75
التقاطع مع المحور y−5
يفتح القطع المكافئإلى الأعلى (نهاية صغرى عند الرأس)
الصيغة المحلَّلة(2x − 5)(x + 1)

حلّ أي معادلة تربيعية ax² + bx + c = 0. تحسب الحاسبة المميِّز وتستخدم القانون العام وتعطي الجذور بصيغة عشرية ودقيقة معًا، ككسور أو جذور تربيعية مبسَّطة مثل 2 ± √3، بما فيها الجذور المركبة. وتجد أيضًا الرأس ومحور التناظر والصيغة المحلَّلة، وتتحقق من الجذور بصيغ فييت.

الحل خطوة بخطوة

حدد a و b و c

2x² − 3x − 5 = 0: a = 2, b = −3, c = −5

المميِّز

Δ = b² − 4ac = (−3)² − 4·2·(−5) = 49
Δ > 0 → جذران حقيقيان مختلفان

قانون المعادلة التربيعية

x = (−b ± √Δ)/(2a) = (3 ± √49)/4
بالضبط: x₁ = 5/2, x₂ = −1
x₁ = 2,5, x₂ = −1

الرأس ومحور التناظر

h = −b/(2a) = 3/4 ≈ 0,75
k = c − b²/(4a) = −49/8 ≈ −6,125
صيغة الرأس: y = 2(x − 0,75)2 − 6,125

الصيغة المحلَّلة

2x² − 3x − 5 = (2x − 5)(x + 1)

تحقق بصيغ فييت

x₁ + x₂ = −b/a = 1,5
x₁·x₂ = c/a = −2,5

الصيغ الأساسية

معادلة تربيعية مع p² < 4q
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

كيف تحل معادلة تربيعية

  1. اكتب المعادلة بالصيغة القياسية ax² + bx + c = 0 واقرأ a و b و c مع إشاراتها.
  2. احسب المميِّز Δ = b² − 4ac. إذا كان Δ > 0 فهناك جذران حقيقيان، وإذا كان Δ = 0 فجذر واحد مكرر، وإذا كان Δ < 0 فجذران مركبان مترافقان.
  3. استخدم القانون العام x = (−b ± √Δ)/(2a). بسّط الجذر التربيعي بإخراج العوامل المربعة: √12 = 2√3.
  4. عندما Δ < 0 اكتب √Δ = i·√|Δ|، فيكون الجذران −b/(2a) ± i·√|Δ|/(2a).
  5. رأس القطع المكافئ y = ax² + bx + c عند x = −b/(2a)؛ عوّضه لإيجاد الإحداثي y.
  6. تحقق: مجموع الجذرين −b/a وحاصل ضربهما c/a.

أسئلة وأجوبة

متى يمكنني التحليل بدل استخدام القانون؟

عندما يكون المميِّز مربعًا كاملًا وتكون المعاملات أعدادًا صحيحة، تكون الجذور نسبية وتتحلل التربيعية إلى عوامل صحيحة، مثل 2x² − 3x − 5 = (2x − 5)(x + 1). وفي غير ذلك يكون القانون العام الطريقة الموثوقة.

ماذا يعني المميِّز السالب؟

لا يقطع القطع المكافئ المحور x، فلا جذور حقيقية. والجذران مركبان مترافقان p ± qi، وهما مهمان مثلًا في الاهتزازات المخمَّدة وتحليل الدارات.

ما صيغة الرأس؟

y = a(x − h)² + k، حيث (h, k) هي الرأس. تُظهر مباشرةً النهاية الصغرى (a > 0) أو العظمى (a < 0) للقطع المكافئ، وتُوجد بإكمال المربع.

ماذا لو كان a = 0؟

عندئذ تكون المعادلة خطية، bx + c = 0، بحل وحيد x = −c/b. وسيقسم القانون العام على صفر، لذا تطلب الحاسبة a غير صفرية.

لماذا تعطي الحاسبة جذورًا دقيقة؟

تطلب الامتحانات غالبًا إجابات مثل (3 ± √17)/4 لا أعدادًا عشرية. وعندما تكون a و b و c أعدادًا صحيحة أو عشرية، تعمل الحاسبة بكسور دقيقة وتبسّط الجذر التربيعي.

تدرّب بنفسك

الأعداد المركبة: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوةكيف تحلّ مسائل الأعداد المركبةورقة عمل الأعداد المركبة مع الإجابات

تدرّب على الأعداد المركبة

الآلة الحاسبة تعطي الإجابة. أما في الامتحان فتحتاج إلى الطريقة: تدرّب عليها بمسائل جديدة وتلميحات وحلول مفصّلة.

تدرّب على الأعداد المركبة مجانًاتدرّب على الأعداد المركبة الآنأمثلة محلولة
</> تضمين

مجانًا للمعلمين والمدارس: الصق هذا الرمز في صفحة مقررك أو نظام إدارة التعلم أو موقعك. يمكن للطلاب استخدام الحاسبة وحلها خطوة بخطوة دون حساب.

مزيد من الآلات الحاسبة

حاسبة الدرجة المعيارية والاحتمال الطبيعيحاسبة فترة الثقةحاسبة حجم العيّنةحاسبة المتوسط والوسيط والانحراف المعياريحاسبة الانحدار الخطيحاسبة اختبار مربع كاي لجودة المطابقةحاسبة محدِّد المصفوفة ومعكوسهاحاسبة التوزيع الطبيعيحاسبة التوزيع ذي الحدينحاسبة توزيع بواسون