الأعداد المركبة: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في الأعداد المركبة مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: الحساب بالصيغة الديكارتية, الصيغتان القطبية والأسية, دي موافر والجذور والمعادلات.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
ReIm22−2−244−4−466−6−6z₁z₂

للعددين z₁ = 1 + j4 و z₂ = 5 + j6، جد الجزء التخيلي لـ w = 2z₁ + 5z̄₂.

z₁ = 1 + j4z₂ = 5 + j6
المسألة التالية →
تدرّب على الأعداد المركبة مجانًاتدرّب على الأعداد المركبة الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةالحساب بالصيغة الديكارتية
  2. متوسطةالصيغتان القطبية والأسية
  3. صعبةدي موافر والجذور والمعادلات

كيف تحلّ مسائل الأعداد المركبة

  1. قرّر أي صيغة تناسب العملية: الصيغة الديكارتية a + jb للجمع والطرح، والقطبية r∠θ للضرب والقسمة والقوى والجذور.
  2. اضرب بالفك مع j² = −1؛ واقسم بضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
  3. حوّل بـ r = √(a² + b²) و θ من رسم للنقطة (a, b) (تحقق من الربع)، وعد بـ a = r cos θ، b = r sin θ.
  4. للقوى استخدم دي موافر، (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ؛ ولـ zⁿ = R∠φ اسرد كل الجذور الـ n: R1/n∠((φ + 360°k)/n).

أخطاء شائعة

  • اعتبار j² تساوي +1 عند الضرب بالفك.
  • قسمة الجزأين الحقيقي والتخيلي كلًّا على حدة.
  • أخذ atan(b/a) على أنها السعة لنقطة في نصف المستوى الأيسر.
  • خلط الدرجات والراديان، خاصة في ejθ.
  • إعطاء جذر واحد فقط لـ zⁿ = w، أو نسيان أخذ الجذر النوني للطويلة.

الصيغ الأساسية

الصيغة الديكارتية
z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
الطويلة والسعة
|z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
الصيغتان القطبية والأسية
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
القسمة
z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
حاصل الضرب وناتج القسمة
r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
دي موافر
(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
الجذور النونية
zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
معادلة تربيعية مع p² < 4q
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

تعلّم الأعداد المركبة من البداية

1ما العدد المركب

المعادلة x² = −1 ليس لها حل حقيقي. يضيف المهندسون عددًا جديدًا j حيث j² = −1. يكتب الرياضيون i؛ وتستخدم الهندسة j لأن i تعني التيار أصلًا.

العدد المركب له الشكل z = a + jb. العدد a هو الجزء الحقيقي و b هو الجزء التخيلي: Re(z) = a و Im(z) = b.

يمكنك رسم z كنقطة (a, b) في مخطط أرغاند: الجزء الحقيقي على المحور الأفقي، والجزء التخيلي على المحور الرأسي.

ReImθz = 3 + j2|z|z̄ = 3 − j232

المسافة من نقطة الأصل هي الطويلة |z| = √(a² + b²). والزاوية من المحور الحقيقي الموجب هي السعة θ. وصورة المرآة في المحور الحقيقي، z̄ = a − jb، هي المرافق.

تحقّق ذاتي ما طويلة z = 3 − j4؟
  1. 25
  2. 5
  3. 7
  4. −1

الإجابة: 5. |z| = √(3² + (−4)²) = √25 = 5. جمع 3 و 4 يعطي 7، ونسيان الجذر التربيعي يعطي 25.

2الجمع والضرب والقسمة

اجمع واطرح جزءًا بجزء: (2 + j3) + (1 − j4) = 3 − j.

اضرب بفك الأقواس واستبدال j² بـ −1:

(2 + j3)(1 − j4) = 2 − j8 + j3 − j²12 = 2 + 12 − j5 = 14 − j5

العدد مضروبًا في مرافقه حقيقي دائمًا: (a + jb)(a − jb) = a² + b².

اقسم بضرب البسط والمقام في مرافق المقام. يصبح المقام عندئذ عددًا حقيقيًا:

(4 + j2)/(1 + j) = (4 + j2)(1 − j)/((1 + j)(1 − j)) = (6 − j2)/2 = 3 − j
تحقّق ذاتي ما قيمة (1 + j)(1 − j)؟
  1. 0
  2. 1 − j
  3. 2
  4. 2j

الإجابة: 2. إنه عدد مضروب في مرافقه: 1² + 1² = 2. كتابة 1 − j² على أنها 1 − 1 = 0 تنسى أن j² = −1، فَ −j² = +1.

3الصيغتان القطبية والأسية

يمكن أيضًا إعطاء نقطة بمسافتها وزاويتها: z = r∠θ، حيث r = |z| و θ = arg z. والعودة إلى الصيغة الديكارتية بـ a = r cos θ و b = r sin θ.

z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ

تستخدم الصيغة الأخيرة صيغة أويلر ejθ = cos θ + j sin θ. وفي الصيغة الأسية يجب أن تكون θ بالراديان.

انتبه للربع. تعطي الآلة الحاسبة atan(b/a) بين −90° و 90°. إذا كان a < 0 فالنقطة على اليسار، فأضف 180° أو اطرحها.

مثال: z = −2 + j2. إذن r = √8 = 2,828. الزاوية المرجعية هي atan(2/2) = 45°، والنقطة في الربع الثاني، إذن θ = 180° − 45° = 135°.

تحقّق ذاتي ما سعة z = −1 − j، بين −180° و 180°؟
  1. 135°
  2. 45°
  3. −135°
  4. −45°

الإجابة: −135°. تقع النقطة في الربع الثالث. الزاوية المرجعية 45°، إذن θ = −(180° − 45°) = −135°. atan(−1/−1) = 45° تشير إلى الربع المقابل.

4الضرب بالصيغة القطبية والقوى والجذور

بالصيغة القطبية الضرب سهل: اضرب الطويلتين واجمع السعتين. وللقسمة اقسم الطويلتين واطرح السعتين.

(r₁∠θ₁)(r₂∠θ₂) = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂)

بتكرار ذلك نحصل على مبرهنة دي موافر: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ.

للمعادلة zⁿ = R∠φ بالضبط n جذرًا. لها كلها الطويلة R1/n والسعات (φ + 360°·k)/n لـ k = 0, 1, …, n − 1.

ReIm2−1 + j1,732−1 − j1,732120°

لـ z³ = 8 = 8∠0°: الطويلة 2 والسعات 0° و 120° و 240° (أي −120°). تشكل الجذور مثلثًا منتظمًا على الدائرة.

للمعادلة التربيعية z² + pz + q = 0 مع p² < 4q جذران مركبان −p/2 ± j√(q − p²/4). كثيرات الحدود الحقيقية تأتي جذورها المركبة دائمًا في أزواج مترافقة.

5مثال محلول

قوى أعداد مثل 1 + j أسرع بكثير بالصيغة القطبية من الضرب بالفك.

مثال محلول

احسب (1 + j)6 بمبرهنة دي موافر.

1

اكتب 1 + j بالصيغة القطبية

r = √(1² + 1²) = √2. النقطة في الربع الأول، إذن θ = atan(1/1) = 45°.

1 + j = √2∠45°
2

طبّق دي موافر

ارفع الطويلة إلى القوة 6 واضرب الزاوية في 6.

(√2)6 = 8, 6·45° = 270°
3

أدخل الزاوية في المجال

270° هي الاتجاه نفسه لـ −90°.

(1 + j)6 = 8∠−90°
4

العودة إلى الصيغة الديكارتية

8(cos(−90°) + j sin(−90°)) = 8(0 − j) = −j8
الإجابة

(1 + j)6 = −j8: الجزء الحقيقي 0، والجزء التخيلي −8.

6أخطاء شائعة وأسئلة الامتحان

  • نسيان أن j² = −1 عند الفك، فينتهي حد بإشارة خاطئة.
  • القسمة جزءًا بجزء: (a + jb)/(c + jd) ليست a/c + jb/d. استخدم المرافق.
  • أخذ atan(b/a) على أنها السعة عندما a < 0. ارسم النقطة أولًا.
  • استخدام الدرجات في ejθ، أو ترك الآلة الحاسبة على الراديان لـ r∠θ المعطاة بالدرجات.
  • في دي موافر: نسيان رفع الطويلة إلى القوة، أو إعطاء جذر واحد فقط لـ zⁿ = w.

تطلب الأسئلة السهلة جزءًا من حاصل ضرب أو ناتج قسمة أو مجموع. وتحوّل المتوسطة بين الصيغ الديكارتية والقطبية والأسية. وتستخدم الصعبة دي موافر والجذور النونية ومعادلات كثيرات الحدود.

تحقّق ذاتي z₁ = 2∠30° و z₂ = 4∠50°. ما قيمة z₁·z₂؟
  1. 6∠80°
  2. 8∠1500°
  3. 8∠20°
  4. 8∠80°

الإجابة: 8∠80°. اضرب الطويلتين (2·4 = 8) واجمع السعتين (30° + 50° = 80°). جمع الطويلتين يعطي 6، وضرب الزاويتين لا معنى له.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
ReIm55−5−5z₁z₂

للعددين z₁ = −7 + j و z₂ = 4 + j2، جد الجزء الحقيقي لحاصل الضرب z₁·z₂.

z₁ = −7 + jz₂ = 4 + j2

المطلوب: Re(z₁z₂)

أظهر التلميحات
  1. فُكّ الأقواس مثل (a + b)(c + d)، فتحصل على أربعة حدود.
  2. استبدل j² بـ −1 ليصبح أحد الحدود الأربعة حقيقيًا.
  3. (−7 + j)(4 + j2) = (−28) + j(−14) + j4 + j²·2
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الأعداد المركبة: للعدد z = a + jb جزء حقيقي a وجزء تخيلي b، مع j² = −1 (يكتب الرياضيون i). اجمع واطرح جزءًا بجزء؛ وللضرب فُكّ الأقواس واستبدل j² بـ −1؛ وللقسمة اضرب البسط والمقام في مرافق المقام، z̄ = a − jb، لأن z·z̄ = a² + b² حقيقي. على مخطط أرغاند يمثل z النقطة (a, b): بُعدها عن نقطة الأصل هو الطويلة |z| = √(a² + b²)، والزاوية من المحور الحقيقي الموجب هي السعة θ.

فُكّ الأقواس

(−7 + j)(4 + j2) = (−7)·4 + j·(−7)·2 + j·1·4 + j²·1·2

استخدم j² = −1

Re = (−28) − 2 = −30
Im = (−14) + 4 = −10
z₁z₂ = −30 − j10
Re(z₁z₂) = −30

الإجابة

Re(z₁z₂) = −30
مثال 2متوسطة
ReIm22−2−244−4−4θz

اكتب z = 4∠160° بالصيغة الديكارتية a + jb وأعطِ الجزء التخيلي b.

r = 4θ = 160°

المطلوب: b

أظهر التلميحات
  1. a = r·cos θ و b = r·sin θ.
  2. sin(160°) = 0,342
  3. اضرب في r = 4.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الصيغة القطبية: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ، حيث r = |z| و θ = arg z. والعودة إلى الصيغة الديكارتية: a = r cos θ، b = r sin θ. تحتاج السعة إلى الربع: θ = atan(b/a) فقط عندما a > 0؛ وعندما a < 0 أضف 180° أو اطرحها. في الصيغة القطبية الضرب سهل: اضرب الطويلتين واجمع السعتين؛ وللقسمة اقسم الطويلتين واطرح السعتين.

المركّبات

a = 4·cos(160°) = −3,759
b = 4·sin(160°) = 1,368

الصيغة الديكارتية

z = −3,759 + j1,368
b = 1,368

الإجابة

b = 1,368
مثال 3صعبة
ReIm11−1−122−2−2z₀z₁z₂z₃

جذور zⁿ = w مع n = 4 و w = 16∠−60° هي zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n)، k = 0, 1, 2, 3. جد الجزء الحقيقي لـ z₂.

w = 16∠−60°n = 4k = 2

المطلوب: Re(z₂)

أظهر التلميحات
  1. لكل جذر الطويلة R1/n = 161/4 = 2.
  2. سعة z₂ هي (φ + 360°·k)/n مع φ = −60° و k = 2 و n = 4.
  3. a = R1/n·cos(165°).
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

دي موافر والجذور: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. للمعادلة zⁿ = R∠φ بالضبط n جذرًا، كلها بطويلة R1/n، عند السعات (φ + 360°·k)/n لـ k = 0, 1, …, n − 1: تقع متباعدة بانتظام على دائرة، بفارق 360°/n. للمعادلة التربيعية z² + pz + q = 0 مع p² < 4q جذران مركبان z = −p/2 ± j√(q − p²/4)؛ وكثير الحدود ذو المعاملات الحقيقية تأتي جذوره المركبة دائمًا في أزواج مترافقة a ± jb.

طويلة الجذور

161/4 = 2

سعة الجذر

θ₂ = (−60° + 360°·2)/4 = 165°

الصيغة الديكارتية

z₂ = 2·(cos 165° + j sin 165°) = −1,932 + j0,5176
Re(z₂) = −1,932

الإجابة

Re(z₂) = −1,932

تقع الجذور الـ 4 على دائرة نصف قطرها 2، تفصل بين كل جذرين زاوية 90°.

أسئلة وأجوبة

ما هو الأعداد المركبة؟

المعادلة x² = −1 ليس لها حل حقيقي. يضيف المهندسون عددًا جديدًا j حيث j² = −1. يكتب الرياضيون i؛ وتستخدم الهندسة j لأن i تعني التيار أصلًا.

يمكنك رسم z كنقطة (a, b) في مخطط أرغاند: الجزء الحقيقي على المحور الأفقي، والجزء التخيلي على المحور الرأسي.

كيف تحل مسائل الأعداد المركبة خطوة بخطوة؟
  1. قرّر أي صيغة تناسب العملية: الصيغة الديكارتية a + jb للجمع والطرح، والقطبية r∠θ للضرب والقسمة والقوى والجذور.
  2. اضرب بالفك مع j² = −1؛ واقسم بضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
  3. حوّل بـ r = √(a² + b²) و θ من رسم للنقطة (a, b) (تحقق من الربع)، وعد بـ a = r cos θ، b = r sin θ.
  4. للقوى استخدم دي موافر، (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ؛ ولـ zⁿ = R∠φ اسرد كل الجذور الـ n: R1/n∠((φ + 360°k)/n).
ما الأخطاء الشائعة في الأعداد المركبة؟
  • اعتبار j² تساوي +1 عند الضرب بالفك.
  • قسمة الجزأين الحقيقي والتخيلي كلًّا على حدة.
  • أخذ atan(b/a) على أنها السعة لنقطة في نصف المستوى الأيسر.
  • خلط الدرجات والراديان، خاصة في ejθ.
  • إعطاء جذر واحد فقط لـ zⁿ = w، أو نسيان أخذ الجذر النوني للطويلة.
ماذا تغطي تمارين الأعداد المركبة؟
  • سهلة: الحساب بالصيغة الديكارتية
  • متوسطة: الصيغتان القطبية والأسية
  • صعبة: دي موافر والجذور والمعادلات

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

الآلات الحاسبة

حلّال المعادلة التربيعية (ax² + bx + c = 0)

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المترددالرياضيات الهندسية

مواضيع أخرى في الرياضيات والإحصاء

النهاياتالمشتقاتالتحسين (القيم القصوى)التكاملاتالمتتاليات والمتسلسلاتالتفاضل والتكامل لعدة متغيراتالمعادلات التفاضليةالطرائق العدديةالمصفوفات والمحدداتالمتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيالمنطق القضوي والبراهينالمجموعات والعلاقات والدوالنظرية البياناتنظرية الأعداد والحساب المودوليالاحتمالالإحصاء الوصفيالتوزيع الطبيعيفترات الثقةاختبارات الفرضيات وفترات الثقةالانحدار الخطي والارتباطاختبارات مربع كاي

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل الأعداد المركبة مع الإجابات
تدرّب على الأعداد المركبة مجانًاتدرّب على الأعداد المركبة الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.