النهايات: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في النهايات مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: التعويض المباشر والتحليل إلى عوامل, النهايات عند اللانهاية, قاعدة لوبيتال.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
xy9x = 9

أوجد النهاية L = limx→9 (√x − 3)/(x − 9).

f(x) = (√x − 3)/(x − 9)x → 9
المسألة التالية →
تدرّب على النهايات مجانًاتدرّب على النهايات الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةالتعويض المباشر والتحليل إلى عوامل
  2. متوسطةالنهايات عند اللانهاية
  3. صعبةقاعدة لوبيتال

الصيغ الأساسية

التعويض المباشر
جرّب x = a أولًا؛ 0/0 يعني أنه يجب التبسيط
حلّل واختصر
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
المرافق
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
النهايات عند اللانهاية
اقسم على أعلى قوة لـ x؛ الدرجات المتساوية تعطي نسبة المعاملات الرئيسية
نهاية خاصة
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
قاعدة لوبيتال
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

تعلّم النهايات من البداية

1ما هي النهاية

تصف النهاية القيمة التي تقترب منها الدالة عندما يقترب x من عدد ما. ولا يهم ما يحدث عند ذلك العدد بالضبط.

خذ f(x) = (x² − 1)/(x − 1). عند x = 1 تحصل على 0/0 وهو بلا قيمة. لكن يمكنك تجربة أعداد قريبة من 1.

  • x = 0,9 تعطي f = 1,9.
  • x = 0,99 تعطي f = 1,99.
  • x = 1,01 تعطي f = 2,01.

تقترب القيم أكثر فأكثر من 2. ونكتب:

limx→1 (x² − 1)/(x − 1) = 2
xy12(1, 2)

المنحنى خط مستقيم تنقصه نقطة واحدة، أي ثقب عند (1, 2). والنهاية هي ارتفاع الثقب.

تحقّق ذاتي دالة g فيها g(2,9) = 5,9 وg(2,99) = 5,99 وg(3,01) = 6,01. وهي غير معرّفة عند x = 3. ما النهاية عندما x → 3؟
  1. 3
  2. 5,99
  3. 6
  4. غير موجودة، لأن g(3) غير معرّفة

الإجابة: 6. تقترب القيم من 6 من الجانبين، فالنهاية 6. فالنهاية تنظر فقط إلى القيم القريبة من x = 3، ولا تنظر أبدًا إلى x = 3 نفسها.

2التعويض و0/0 والتحليل إلى عوامل

جرّب دائمًا التعويض المباشر أولًا: ضع العدد. فإذا حصلت على عدد عادي فهو النهاية.

limx→2 (x² + 3x) = 4 + 6 = 10

إذا حصلت على 0/0 فلم تنتهِ. 0/0 تسمى صيغة غير معيّنة: إنها إشارة إلى أن تبسّط، لا جواب.

عادةً يشترك البسط والمقام في عامل يساوي صفرًا عند تلك النقطة. حلّل كليهما إلى عوامل، واختزل العامل المشترك، ثم عوّض مرة أخرى.

(x² − 9)/(x − 3) = (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3

إذن النهاية عندما x → 3 هي 3 + 3 = 6. وأنماط التحليل المفيدة:

  • x² − a² = (x − a)(x + a)
  • x³ − a³ = (x − a)(x² + ax + a²)
  • x³ + a³ = (x + a)(x² − ax + a²)
  • كثيرة الحدود التربيعية مثل x² − x − 30 تُحلَّل إلى (x − 6)(x + 5): ابحث عن عددين حاصل ضربهما −30 ومجموعهما −1.

مع الجذر التربيعي، اضرب البسط والمقام في المرافق: (√x − 2)(√x + 2) = x − 4.

تحقّق ذاتي كم يساوي limx→2 (x² − 4)/(x − 2)؟
  1. 0
  2. 2
  3. 4
  4. غير موجودة، لأنك تحصل على 0/0

الإجابة: 4. التعويض يعطي 0/0، لذا حلّل: (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2، وهي 4 عند x = 2. التوقف عند 0/0 هو الخطأ وراء «غير موجودة».

3النهايات عند اللانهاية وقاعدة لوبيتال

x → ∞ تعني أن x ينمو بلا نهاية. وفي كسر من كثيرات الحدود، لا تهم إلا أعلى القوى عندما يكون x ضخمًا.

اقسم كل حد على أعلى قوة لـ x في المقام. الحدود مثل 4/x و7/x² تؤول إلى 0.

(6x² + x)/(3x² − 5) = (6 + 1/x)/(3 − 5/x²) → 6/3 = 2
  • أعلى قوة نفسها في البسط والمقام: النهاية هي نسبة المعاملين الرئيسيين.
  • قوة أعلى في المقام: النهاية 0.
  • قوة أعلى في البسط: ينمو الكسر بلا نهاية، فلا توجد نهاية منتهية.

بالنسبة لـ √(x² + 6x) − x، اضرب في المرافق. تحصل على 6x/(√(x² + 6x) + x)، وتؤول إلى 6/(1 + 1) = 3.

قاعدة لوبيتال: إذا أعطى التعويض 0/0 أو ∞/∞، يجوز لك استبدال البسط والمقام بمشتقتيهما، كلًا على حدة.

limx→0 (eˣ − 1)/x = limx→0 eˣ/1 = 1

إذا حصلت على 0/0 مرة أخرى، طبّق القاعدة مرة ثانية. والنهايات المثلثية تستخدم دائمًا x بالراديان.

تحقّق ذاتي كم يساوي limx→∞ (4x² + 1)/(2x² + 3x)؟
  1. 0
  2. 2
  3. ½
  4. ∞

الإجابة: 2. أعلى القوى متساوية (x²)، فالنهاية هي نسبة المعاملين الرئيسيين: 4/2 = 2. أما ½ فتأتي من القسمة في الاتجاه الخطأ.

4الطريقة خطوة بخطوة

  1. عوّض بالعدد. والعدد العادي هو الجواب.
  2. إذا حصلت على 0/0، فحلّل البسط والمقام، أو اضرب في المرافق إذا وُجد جذر.
  3. اختزل العامل المشترك وعوّض مرة أخرى.
  4. إذا كان x → ∞، فاقسم كل حد على أعلى قوة لـ x ودع الحدود مثل a/x تؤول إلى 0.
  5. إذا لم ينفع التحليل (eˣ وsin وcos وln)، فاستخدم قاعدة لوبيتال على الصيغة 0/0 أو ∞/∞.
  6. تحقّق بعدد قريب جدًا من النقطة، مثل x = 1,001.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

أوجد L = limx→−2 (x³ + 8)/(x + 2).

1

جرّب التعويض

((−2)³ + 8)/(−2 + 2) = (−8 + 8)/0 = 0/0

هذه الصيغة غير المعيّنة 0/0، لذا عليك التبسيط أولًا.

2

حلّل البسط

8 = 2³، فالبسط مجموع مكعبين مع a = 2.

x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4)
3

اختزل العامل المشترك

(x + 2)(x² − 2x + 4)/(x + 2) = x² − 2x + 4

هذا جائز لأن x يقترب من −2 فقط، فلا يكون x + 2 صفرًا تمامًا أبدًا.

4

عوّض مرة أخرى

(−2)² − 2·(−2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
5

تحقّق من الإجابة

جرّب x = −1,99: (−7,880599 + 8)/0,01 = 11,94، وهو قريب من 12.

xy−212

المنحنى هو القطع المكافئ x² − 2x + 4 مع ثقب عند (−2, 12).

الإجابة

L = 12

6أخطاء شائعة

  • كتابة 0/0 كجواب، أو القول إن النهاية غير موجودة. 0/0 تعني: بسّط أولًا.
  • استخدام قاعدة لوبيتال حين لا يعطي التعويض 0/0 أو ∞/∞.
  • استخدام قاعدة القسمة في قاعدة لوبيتال. اشتق البسط والمقام كلًا على حدة.
  • عند اللانهاية، مقارنة الحدود الأولى المكتوبة بدلًا من أعلى القوى.
  • استخدام الدرجات بدلًا من الراديان في نهايات فيها sin أو cos.
تحقّق ذاتي كم يساوي limx→1 (x² + 1)/(x + 1)؟
  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. غير موجودة

الإجابة: 1. التعويض يعطي 2/2 = 1، وهو عدد عادي، فهذه هي النهاية. واستخدام لوبيتال هنا (2x/1 = 2) خطأ، لأن الصيغة لم تكن 0/0.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: التعويض المباشر والتحليل إلى عوامل. يعطي التعويض 0/0، ثم تحلّل وتختزل، كما في المثال.
  • متوسط: النهايات عند اللانهاية. اقسم على أعلى قوة، أو استخدم المرافق لجذر مثل √(x² + 4x) − x.
  • صعب: قاعدة لوبيتال، مثل (eˣ − 1 − x)/x² أو (1 − cos 3x)/x² عندما x → 0. وقد تحتاج القاعدة مرتين.

فحص سريع: عوّض بعدد قريب جدًا من النقطة بآلة حاسبة. يجب أن تكون النتيجة قريبة من جوابك.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
xyx = 1

أوجد النهاية L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1).

f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1

المطلوب: L

أظهر التلميحات
  1. التعويض يعطي 0/0. حلّل البسط.
  2. xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
  3. x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

جرّب التعويض المباشر

البسط → 0 والمقام → 0، لذا الصيغة 0/0.

حلّل واختصر

(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1

عوّض

L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4

الإجابة

L = 4

هذه مشتقة xⁿ عند x = a: n·aⁿ⁻¹.

مثال 2متوسطة
xyy = L

أوجد النهاية L = limx→∞ (1 + 1/x)x. أعطِ قيمة عشرية.

f(x) = (1 + 1/x)xx → ∞

المطلوب: L

أظهر التلميحات
  1. الصيغة 1^∞. اكتب L = e^(ln L) وأوجد ln L.
  2. ln L = limx→∞ x·ln(1 + 1/x).
  3. لقيم u الصغيرة، ln(1 + u) ≈ u. هنا u = 1/x.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

خذ اللوغاريتم

ln L = limx→∞ x·ln(1 + 1/x)

احسب

ln(1 + u)/u → 1 عندما u → 0، لذا x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·1 = 1

أزل اللوغاريتم

L = e1 = 2,718

الإجابة

L = 2,718
مثال 3صعبة
xyx = 0

أوجد النهاية L = limx→0 ln(1 + 2x)/sin(3x)، مع x بالراديان.

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(3x)x → 0

المطلوب: L

أظهر التلميحات
  1. عند x = 0: ln 1 = 0 و sin 0 = 0، لذا الصيغة 0/0.
  2. (ln(1 + 2x))′ = 2/(1 + 2x), (sin 3x)′ = 3·cos 3x.
  3. عوّض x = 0 في f′/g′.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

قاعدة لوبيتال

L = limx→0 [2/(1 + 2x)]/[3·cos 3x]

عوّض x = 0

L = 2/3 = 0,6667

الإجابة

L = 0,6667

أسئلة وأجوبة

ما هو النهايات؟

تصف النهاية القيمة التي تقترب منها الدالة عندما يقترب x من عدد ما. ولا يهم ما يحدث عند ذلك العدد بالضبط.

خذ f(x) = (x² − 1)/(x − 1). عند x = 1 تحصل على 0/0 وهو بلا قيمة. لكن يمكنك تجربة أعداد قريبة من 1.

كيف تحل مسائل النهايات خطوة بخطوة؟

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

ما الأخطاء الشائعة في النهايات؟
  • احتفظ بكل حدود العامل الثاني: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)، وعند x = a تتساوى كل الحدود الـ n.
  • الصيغة 1^∞ غير معيّنة، وليست 1. خذ اللوغاريتم الطبيعي أولًا.
  • أبقِ مشتقة البسط في الأعلى: lim f/g = lim f′/g′.
ماذا تغطي تمارين النهايات؟
  • سهلة: التعويض المباشر والتحليل إلى عوامل
  • متوسطة: النهايات عند اللانهاية
  • صعبة: قاعدة لوبيتال

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

ثم تابع مع

المشتقاتالمتتاليات والمتسلسلات

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

التفاضل والتكامل 1الرياضيات الهندسيةمسائل تدريب AP Calculus

مواضيع أخرى في الرياضيات والإحصاء

المشتقاتالتحسين (القيم القصوى)التكاملاتالمتتاليات والمتسلسلاتالتفاضل والتكامل لعدة متغيراتالمعادلات التفاضليةالأعداد المركبةالطرائق العدديةالمصفوفات والمحدداتالمتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيالمنطق القضوي والبراهينالمجموعات والعلاقات والدوالنظرية البياناتنظرية الأعداد والحساب المودوليالاحتمالالإحصاء الوصفيالتوزيع الطبيعيفترات الثقةاختبارات الفرضيات وفترات الثقةالانحدار الخطي والارتباطاختبارات مربع كاي

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل النهايات مع الإجابات
تدرّب على النهايات مجانًاتدرّب على النهايات الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.