فترات الثقة: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في فترات الثقة مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: فترة z, فترة t, حجم العينة.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
LU = ?p̂ = 55/100E90%

في استطلاع لـ 100 ناخبًا مختارين عشوائيًا، يؤيّد 55 اقتراحًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 90% لنسبة المؤيدين.

n = 100x = 5590%
المسألة التالية →
تدرّب على فترات الثقة مجانًاتدرّب على فترات الثقة الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةفترة z
  2. متوسطةفترة t
  3. صعبةحجم العينة

كيف تحلّ مسائل فترات الثقة

  1. اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
  2. أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
  3. هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
  4. الفترة: x̄ ± E.

أخطاء شائعة

  • نسيان القسمة على √n.
  • استخدام z عندما تكون العيّنة صغيرة و σ مجهولة.
  • تقريب حجم العيّنة إلى الأسفل بدل الأعلى.

الصيغ الأساسية

σ معلومة
x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة
n = (z·σ/E)², rounded up

تعلّم فترات الثقة من البداية

قبل هذا: التوزيع الطبيعي

1ما هو فاصل الثقة

تريد المتوسط μ لـمجتمع كامل، مثلًا متوسط عمر كل البطاريات التي ينتجها مصنع. لا تستطيع اختبارها كلها، فتختبر عينة من n بطارية.

متوسط العينة x̄ هو أفضل تخمين لديك لـ μ، لكن عينة أخرى ستعطي x̄ مختلفًا قليلًا. والرقم الواحد يخفي هذه الريبة.

يعطي فاصل الثقة مدى بدلًا من ذلك: من x̄ ناقص هامش، إلى x̄ زائد هامش.

55x̄52,0657,94E = 2,94E = 2,94

فاصل الثقة 95% يُبنى بطريقة تلتقط μ الحقيقية في 95% من جميع العينات. ومستوى الثقة الأعلى يعطي فاصلًا أوسع.

تحقّق ذاتي تحسب فاصلي ثقة 90% و99% من العينة نفسها. أيهما أوسع؟
  1. فاصل 90%
  2. فاصل 99%
  3. متساويان في العرض
  4. يعتمد على متوسط العينة

الإجابة: فاصل 99%. لكي تزداد ثقتك بأن الفاصل يحتوي μ يجب أن يكون أوسع. والقيمة الحرجة 2,576 لـ 99% أكبر من قيمة 90%، وهي 1,645.

2فاصل z

حين يكون الانحراف المعياري للمجتمع σ معلومًا، يكون الفاصل:

x̄ ± z · σ / √n

الحد σ/√n هو الخطأ المعياري: مقدار تغيّر x̄ من عينة إلى أخرى. والعينة الأكبر تعطي خطأ معياريًا أصغر.

تعتمد القيمة الحرجة z على مستوى الثقة. احفظ هذه الثلاث:

  • 90%: z = 1,645
  • 95%: z = 1,96
  • 99%: z = 2,576

هامش الخطأ هو E = z · σ/√n. ويمتد الفاصل من x̄ − E (الحد الأدنى) إلى x̄ + E (الحد الأعلى).

تحقّق ذاتي عينة من 64 متوسطها 55. وσ للمجتمع 12. ما الحد الأعلى لفاصل الثقة 95%؟
  1. 55,37
  2. 57,47
  3. 57,94
  4. 78,52

الإجابة: 57,94. E = 1,96 · 12/√64 = 1,96 · 1,5 = 2,94، إذن الحد الأعلى 57,94. نسيان √n يعطي 78,52، والقيمة 57,47 تستخدم قيمة 90%، وهي 1,645.

3فاصل t وحجم العينة

عادةً لا تكون σ معلومة. عندئذٍ تستخدم الانحراف المعياري للعينة s، وتأتي القيمة الحرجة من توزيع t:

x̄ ± t · s / √n, df = n − 1

عدد درجات الحرية df هو n − 1. وقيمة t أكبر من z، فيكون الفاصل أوسع: فهو يراعي الريبة الإضافية في s. وعندما تكون n كبيرة تقترب t من z.

عند 95%: t = 2,262 لـ df = 9، وt = 2,131 لـ df = 15، وt = 2,045 لـ df = 29.

أحيانًا يجب أن تخطط لحجم العينة: ما مدى كِبَر n لهامش خطأ لا يزيد على E؟ حُلّ E = zσ/√n لإيجاد n:

n = (z · σ / E)²

قرّب دائمًا إلى أعلى إلى العدد الصحيح التالي. التقريب إلى أسفل يعطي هامشًا أكبر قليلًا من E.

تحقّق ذاتي σ = 13. ما حجم العينة اللازم لفاصل 95% بهامش خطأ لا يزيد على 2؟
  1. 13
  2. 162
  3. 163
  4. 650

الإجابة: 163. (1,96 · 13/2)² = 12,74² = 162,3، يُقرَّب إلى 163. التقريب إلى أسفل 162 يعطي هامشًا أكبر من 2 قليلًا، و13 تنسى التربيع.

4الطريقة خطوة بخطوة

  1. دوّن n وx̄ وσ أو s.
  2. اختر z (σ معلومة) أو t مع df = n − 1 (s فقط معلومة).
  3. أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
  4. احسب الخطأ المعياري: σ/√n أو s/√n.
  5. هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الخطأ المعياري.
  6. الفاصل: من x̄ − E إلى x̄ + E. أعطِ الحد المطلوب.

لسؤال حجم العينة: n = (zσ/E)²، مقرَّبة إلى أعلى.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

عينة من 16 عنصرًا متوسطها 40 وانحرافها المعياري s = 6. المجتمع تقريبًا طبيعي. أوجد فاصل الثقة 95% للمتوسط.

1

z أم t؟

معلوم فقط الانحراف المعياري للعينة s، لا σ. لذا استخدم t مع df = n − 1 = 15.

t(15) = 2,131 at 95%
2

الخطأ المعياري

s / √n = 6 / √16 = 6 / 4 = 1,5
3

هامش الخطأ

E = 2,131 · 1,5 = 3,197
4

الفاصل

40 − 3,197 = 36,80, 40 + 3,197 = 43,20
40x̄36,8043,20E = 3,20E = 3,20
5

تحقّق من الإجابة

مع z = 1,96 كان الهامش 2,94. فاصل t أوسع قليلًا، كما يجب أن يكون حين تكون σ مجهولة.

الإجابة

فاصل الثقة 95% هو [36,80, 43,20].

6أخطاء شائعة

  • نسيان القسمة على √n.
  • استخدام z عندما تكون العيّنة صغيرة و σ مجهولة.
  • استخدام df = n بدل df = n − 1 لـ t.
  • استخدام قيمة 90% وهي 1,645 لفاصل 95%.
  • تقريب حجم العيّنة إلى الأسفل بدل الأعلى.
تحقّق ذاتي عينة n = 10 انحرافها المعياري s = 5. σ مجهولة. أي قيمة حرجة تستخدم لفاصل 95%؟
  1. t = 2,228 (df = 10)
  2. t = 2,262 (df = 9)
  3. z = 1,645
  4. z = 1,96

الإجابة: t = 2,262 (df = 9). σ مجهولة، لذا استخدم t مع df = n − 1 = 9. استخدام z يتجاهل الريبة في s، وdf = 10 تنسى طرح الواحد.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: فاصل z. σ معلومة؛ أوجد الحد الأدنى أو الأعلى.
  • متوسط: فاصل t. المعطى s فقط؛ وقيمة t بدرجات حرية n − 1 معطاة أو تؤخذ من جدول.
  • صعب: حجم العينة. أوجد أصغر n لهامش خطأ معطى، وقرّب إلى أعلى.

فحص سريع: يقع متوسط العينة دائمًا في منتصف الفاصل تمامًا.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
n = 200, σ = 30LU = ?x̄ = 174,5E90%

عينة من 200 قياسًا متوسطها 174,5. الانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 30. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 90% للمتوسط.

n = 200x̄ = 174,5σ = 3090%

المطلوب: الحد الأعلى

أظهر التلميحات
  1. σ معلومة، لذا استخدم القيمة الحرجة z.
  2. z = 1,645 (90%).
  3. E = z·σ/√n.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

هامش الخطأ

E = 1,645·30/√200 = 3,49

الفترة

x̄ ± E = 174,5 ± 3,49 → [171, 178]

الإجابة

الحد الأعلى = 178
مثال 2متوسطة
x̄E₁ = 7,895%, n = 50x̄E₂ = ?95%, n = 100

فترة ثقة 95% لمتوسط، مبنية على 50 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 7,8. ما هامش الخطأ E₂ إذا استخدمت الدراسة نفسها 100 مشاهدة بدلًا من ذلك؟

95%n₁ = 50E₁ = 7,8n₂ = 100

المطلوب: E₂

أظهر التلميحات
  1. E = z·σ/√n، و σ تبقى كما هي.
  2. E₂/E₁ = (z₂/z₁)·√(n₁/n₂).
  3. z₁ = 1,96, z₂ = 1,96.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

نسبة الهامشين

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(50/100) = 0,7071

الهامش الجديد

E₂ = 7,8·0,7071 = 5,515

الإجابة

E₂ = 5,515
مثال 3صعبة
n = 21Lσ = ?s = 1,295%

لأقطار 21 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 1,2 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأعلى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 20، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 9,591 و 2,5% فوق 34,17.

n = 21s = 1,2 µmχ² = 9,591, 34,17

المطلوب: σ (µm)

أظهر التلميحات
  1. لمجتمع طبيعي، يتبع (n − 1)s²/σ² توزيع χ² بدرجات حرية n − 1.
  2. الفترة لـ σ²: من (n − 1)s²/34,17 إلى (n − 1)s²/9,591. خذ الجذرين التربيعيين للحصول على σ.
  3. (n − 1)s² = 28,8.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.

مجموع المربعات

(n − 1)s² = 20·1,2² = 28,8

حدّا σ²

28,8/34,17 = 0,8428
28,8/9,591 = 3,003

حدّ σ

σ = √3,003 = 1,733 µm

الإجابة

σ = 1,733 µm

فترة 95% لـ σ: [0,9181, 1,733] µm.

أسئلة وأجوبة

ما هو فترات الثقة؟

تريد المتوسط μ لـمجتمع كامل، مثلًا متوسط عمر كل البطاريات التي ينتجها مصنع. لا تستطيع اختبارها كلها، فتختبر عينة من n بطارية.

متوسط العينة x̄ هو أفضل تخمين لديك لـ μ، لكن عينة أخرى ستعطي x̄ مختلفًا قليلًا. والرقم الواحد يخفي هذه الريبة.

كيف تحل مسائل فترات الثقة خطوة بخطوة؟
  1. اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
  2. أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
  3. هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
  4. الفترة: x̄ ± E.
ما الأخطاء الشائعة في فترات الثقة؟
  • نسيان القسمة على √n.
  • استخدام z عندما تكون العيّنة صغيرة و σ مجهولة.
  • تقريب حجم العيّنة إلى الأسفل بدل الأعلى.
ماذا تغطي تمارين فترات الثقة؟
  • سهلة: فترة z
  • متوسطة: فترة t
  • صعبة: حجم العينة

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

التوزيع الطبيعي

ثم تابع مع

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الآلات الحاسبة

حاسبة فترة الثقةحاسبة حجم العيّنة

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

مناهج البحث والإحصاء في علم النفسمبادئ الإحصاءالإحصاء 2: الاستدلال الإحصائيالممارسة المبنية على الأدلةمسائل تدريب AP Statisticsالتدريب على الأساليب الكمية والدخل الثابت في CFA Level I

مواضيع أخرى في الرياضيات والإحصاء

النهاياتالمشتقاتالتحسين (القيم القصوى)التكاملاتالمتتاليات والمتسلسلاتالتفاضل والتكامل لعدة متغيراتالمعادلات التفاضليةالأعداد المركبةالطرائق العدديةالمصفوفات والمحدداتالمتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيالمنطق القضوي والبراهينالمجموعات والعلاقات والدوالنظرية البياناتنظرية الأعداد والحساب المودوليالاحتمالالإحصاء الوصفيالتوزيع الطبيعياختبارات الفرضيات وفترات الثقةالانحدار الخطي والارتباطاختبارات مربع كاي

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل فترات الثقة مع الإجابات
تدرّب على فترات الثقة مجانًاتدرّب على فترات الثقة الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.