المنطق القضوي والبراهين: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في المنطق القضوي والبراهين مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: جداول الصدق, التكافؤات وطرائق البرهان, الكمّمات والحجج.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
pqr(p → r) ↔ (r ∨ q)111?110?101?100?011?010?001?000?

أكمل جدول الصدق (1 = صواب، 0 = خطأ). في كم صفًا N تكون (p → r) ↔ (r ∨ q) صائبة؟

(p → r) ↔ (r ∨ q)

إجابة دقيقة: عدد صحيح، دون تقريب.

المسألة التالية →
تدرّب على المنطق القضوي والبراهين مجانًاتدرّب على المنطق القضوي والبراهين الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةجداول الصدق
  2. متوسطةالتكافؤات وطرائق البرهان
  3. صعبةالكمّمات والحجج

كيف تحلّ مسائل المنطق القضوي والبراهين

  1. عُدّ المتغيرات المختلفة: لجدول الصدق 2ⁿ صفًا، ويبدأ بصف تكون فيه كلها 1.
  2. أعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص واملأ الأعمدة من الداخل إلى الخارج.
  3. طبّق قاعدة كل رابط: → يساوي 0 فقط في الحالة 1 → 0، و ↔ يساوي 1 عندما يتفق الطرفان.
  4. للتكافؤات قارن العمودين الأخيرين صفًا بصف؛ وللحجة انظر فقط إلى الصفوف التي تكون فيها كل المقدمات 1.
  5. لنفي عبارة مكمَّمة، انقل ¬ إلى الداخل، وبدّل ∀ و ∃، وانفِ الصيغة الداخلية.

أخطاء شائعة

  • اعتبار p → q خاطئة عندما تكون p خاطئة.
  • عدّ متغير مكرّر مرتين عند إيجاد عدد الصفوف.
  • الخلط بين العكس النقيض ¬q → ¬p والعكس q → p.
  • نفي ∀x P(x) على أنه ∀x ¬P(x) بدل ∃x ¬P(x).
  • تطبيق دي مورغان دون تبديل ∧ و ∨.

الصيغ الأساسية

صفوف جدول الصدق
2ⁿ
الاستلزام
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
نفي الاستلزام
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
الشرط الثنائي
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
دي مورغان
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
قوانين التوزيع
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
نفي الكمّمات
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
قاعدة الوضع (modus ponens) وقاعدة الرفع (modus tollens)
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

تعلّم المنطق القضوي والبراهين من البداية

1العبارات والروابط

القضية عبارة إما صواب أو خطأ، مثل «7 عدد أولي». نكتبها بحرف، p أو q، ونكتب قيمة صدقها 1 (صواب) أو 0 (خطأ).

تبني الروابط صيغًا أكبر من صيغ أصغر:

  • ¬p (ليس p) تقلب القيمة.
  • p ∧ q (و) تساوي 1 فقط عندما تكون القيمتان 1.
  • p ∨ q (أو) تساوي 0 فقط عندما تكون القيمتان 0. إنها «أو» الشاملة: قد يتحقق الاثنان معًا.
  • p → q (إذا p فإن q) تساوي 0 فقط عندما p = 1 و q = 0.
  • p ↔ q (إذا وفقط إذا) تساوي 1 عندما يكون لـ p و q القيمة نفسها.
pqp → q111100011001

يفاجئ الاستلزام كثيرًا من الطلاب: عندما تكون p خاطئة، تكون p → q صائبة أيًّا كانت q. الوعد «إذا أمطرت آخذ مظلة» لا يُنقض إلا في يوم ممطر دون مظلة.

تحقّق ذاتي p = 0 و q = 1. ما قيمة p → q؟
  1. 0
  2. 1
  3. غير معرَّفة
  4. يعتمد على السياق

الإجابة: 1. لا يكون الاستلزام خاطئًا إلا عندما يتحقق الشرط ويفشل الاستنتاج (p = 1, q = 0). وعندما p = 0 يكون صائبًا أيًّا كانت q.

2جداول الصدق

يسرد جدول الصدق كل تركيبة من قيم صدق المتغيرات. مع n متغيرًا مختلفًا يوجد 2ⁿ صفًا: 4 لمتغيرين، 8 لثلاثة، 16 لأربعة. المتغير الذي يظهر مرتين يُعدّ مرة واحدة.

اعمل من الداخل إلى الخارج. أعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص، فيحتاج كل عمود جديد إلى تطبيق رابط واحد فقط على أعمدة موجودة لديك.

  1. اسرد المتغيرات واكتب كل التركيبات الـ 2ⁿ، بادئًا بالآحاد كلها.
  2. أضف عمودًا لكل صيغة جزئية، بدءًا بالأعمق.
  3. املأ كل عمود بقاعدة رابطه الرئيسي.
  4. اقرأ الجواب من العمود الأخير: عُدّ الآحاد، أو جد الصف المطلوب.
تحقّق ذاتي كم صفًا في جدول الصدق للصيغة (p ∧ q) → (r ∨ p)؟
  1. 16
  2. 4
  3. 6
  4. 8

الإجابة: 8. في الصيغة ثلاثة متغيرات مختلفة، p و q و r، إذن 2³ = 8 صفوف. يظهر p مرتين لكنه متغير واحد؛ و16 تساوي 2⁴ لأربعة ظهورات.

3مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

في كم صفًا من جدول صدقها تكون (p → q) ∧ ¬q صائبة؟

1

المتغيرات والصفوف

متغيران، p و q، إذن 4 صفوف: (1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0).

2

العمود p → q

تساوي 0 فقط في الصف p = 1, q = 0:

p → q: 1, 0, 1, 1
3

العمود ¬q

¬q: 0, 1, 0, 1
4

الوصل (∧)

يجب أن يكون العمودان 1 معًا. وهذا يحدث فقط في الصف الأخير، p = 0 و q = 0.

(p → q) ∧ ¬q: 0, 0, 0, 1
الإجابة

الصيغة صائبة في 1 صف، هو الصف p = 0, q = 0. لهذا فإن p → q مع ¬q تعطيان معًا ¬p (قاعدة الرفع، modus tollens).

4التكافؤات وطرائق البرهان

تكون صيغتان متكافئتين (≡) عندما يتطابق عمودا جدولي صدقهما. الحشو (tautology) يساوي 1 في كل صف، والتناقض (contradiction) يساوي 0 في كل صف، والممكن (contingency) ليس هذا ولا ذاك.

أكثر القوانين استخدامًا:

¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

هذه القوانين أساس طرائق البرهان. البرهان بالعكس النقيض للقضية p → q يبرهن ¬q → ¬p بدلًا منها، وهي مكافئة. والبرهان بالتناقض يفترض p ∧ ¬q، وهي الطريقة الوحيدة التي يفشل بها الاستلزام، ويستنتج شيئًا مستحيلًا.

انتبه: العكس q → p والمعكوس ¬p → ¬q غير مكافئين لـ p → q.

تحقّق ذاتي أي صيغة تكافئ ¬(p ∧ q)؟
  1. p ∨ q
  2. ¬p ∧ q
  3. ¬p ∧ ¬q
  4. ¬p ∨ ¬q

الإجابة: ¬p ∨ ¬q. بحسب دي مورغان تتحول ∧ إلى ∨ ويُنفى الجزآن. أما ¬p ∧ ¬q فهي نفي p ∨ q، أي عبارة مختلفة: تكون خاطئة عندما تكون إحدى p و q صائبة فقط، بينما ¬(p ∧ q) صائبة.

5الكمّمات والحجج الصحيحة

مع متغيرات على مجال، تقول ∀x P(x) «P تتحقق لكل x» وتقول ∃x P(x) «P تتحقق لـ x واحد على الأقل». ويبدّل النفي الكمّم:

¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)

انقل النفي إلى الداخل خطوة خطوة؛ وفي الداخل استخدم قوانين المنطق القضوي. مثلًا ¬∀x (P(x) → Q(x)) ≡ ∃x (P(x) ∧ ¬Q(x)): «ليس كل P هو Q» تعني «بعض P ليس Q».

تكون الحجة صحيحة عندما يكون الاستنتاج 1 في كل صف تكون فيه كل المقدمات 1. الصيغ الصحيحة الكلاسيكية هي قاعدة الوضع (p → q, p, إذن q) وقاعدة الرفع (p → q, ¬q, إذن ¬p) والقياس الافتراضي (p → q, q → r, إذن p → r).

الصف الذي تكون فيه كل المقدمات 1 والاستنتاج 0 هو مثال مضاد. إثبات التالي (p → q, q, إذن p) غير صحيح: الصف p = 0, q = 1 مثال مضاد.

تحقّق ذاتي ما نفي «كل الطلاب نجحوا»، ∀x P(x)؟
  1. ¬P(x) لطالب واحد ثابت x
  2. ∀x ¬P(x): لم ينجح أي طالب
  3. ∃x P(x): نجح بعض الطلاب
  4. ∃x ¬P(x): بعض الطلاب لم ينجح

الإجابة: ∃x ¬P(x): بعض الطلاب لم ينجح. يكفي طالب واحد راسب لتصبح «كل الطلاب نجحوا» خاطئة. و«لم ينجح أي طالب» أقوى بكثير من النفي.

6أخطاء شائعة

  • اعتبار p → q خاطئة عندما تكون p خاطئة. هي خاطئة فقط عندما p = 1 و q = 0.
  • عدّ متغير مكرّر مرتين عند إيجاد عدد الصفوف.
  • الخلط بين العكس النقيض ¬q → ¬p والعكس q → p أو المعكوس ¬p → ¬q.
  • نفي ∀x P(x) على أنه ∀x ¬P(x): يجب أن يتحول الكمّم إلى ∃.
  • كتابة ¬(p ∧ q) على أنها ¬p ∧ ¬q: يبدّل دي مورغان الرابط أيضًا.
تحقّق ذاتي أي عبارة هي العكس النقيض لـ «إذا كان n² زوجيًا فإن n زوجي»؟
  1. n² زوجي و n فردي
  2. إذا كان n زوجيًا فإن n² زوجي
  3. إذا كان n فرديًا فإن n² فردي
  4. إذا كان n² فرديًا فإن n فردي

الإجابة: إذا كان n فرديًا فإن n² فردي. بدّل الجزأين وانفِ كليهما: ليس (n زوجيًا) → ليس (n² زوجيًا). أما «إذا كان n زوجيًا فإن n² زوجي» فهي العكس؛ والخيار الأخير هو ما يفترضه البرهان بالتناقض.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: جداول الصدق. تجد عدد الصفوف، وتعدّ الصفوف التي تكون فيها صيغة صائبة، أو تنقر على الصف الوحيد الذي يجعل صيغة صائبة أو خاطئة.
  • متوسط: التكافؤات وطرائق البرهان. تحدد هل صيغة حشو أم تناقض أم ممكنة، وتختار الصيغة المكافئة، أو العبارة الواجب إثباتها في برهان بالعكس النقيض أو بالتناقض.
  • صعب: الكمّمات والحجج. تنفي عبارات مكمَّمة، وتختار الاستنتاج الذي يلزم عن المقدمات، وتنقر على صف المثال المضاد في حجة غير صحيحة، أو تعدّ الصفوف الصائبة في جدول من أربعة متغيرات.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
pq¬(p ∨ q) → q11100100

يوجد صف واحد بالضبط في جدول الصدق يجعل ¬(p ∨ q) → q خاطئة. انقر على ذلك الصف.

¬(p ∨ q) → q
  1. 1p = 1, q = 1
  2. 2p = 1, q = 0
  3. 3p = 0, q = 1
  4. 4p = 0, q = 0
أظهر التلميحات
  1. a → b تساوي 0 فقط عندما a = 1 و b = 0. ¬a تقلب القيمة. a ∨ b تساوي 0 فقط عندما تكون القيمتان 0.
  2. جد الرابط الرئيسي أولًا: ما الذي يجب أن يكون عليه طرفاه لتكون الصيغة كلها 0؟
  3. أعطِ كل جزء عموده الخاص: p ∨ q; ¬(p ∨ q); ¬(p ∨ q) → q.
أظهر الإجابة والشرح

جداول الصدق: للصيغة ذات n متغيرًا مختلفًا 2ⁿ صفًا، صف لكل تركيبة من قيم الصدق (1 = صواب، 0 = خطأ). اعمل من الداخل إلى الخارج وأعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص. ¬a تقلب القيمة؛ و a ∧ b تساوي 1 فقط عندما تكون القيمتان 1؛ و a ∨ b تساوي 0 فقط عندما تكون القيمتان 0؛ و a → b تساوي 0 فقط عندما a = 1 و b = 0؛ و a ↔ b تساوي 1 عندما يتساوى الطرفان.

جدول الصدق صفًا صفًا

p = 1, q = 1: p ∨ q = 1, ¬(p ∨ q) = 0, ¬(p ∨ q) → q = 1
p = 1, q = 0: p ∨ q = 1, ¬(p ∨ q) = 0, ¬(p ∨ q) → q = 1
p = 0, q = 1: p ∨ q = 1, ¬(p ∨ q) = 0, ¬(p ∨ q) → q = 1
p = 0, q = 0: p ∨ q = 0, ¬(p ∨ q) = 1, ¬(p ∨ q) → q = 0

الصف

p = 0, q = 0 → ¬(p ∨ q) → q = 0

الإجابة

p = 0, q = 0
مثال 2متوسطة
(b → a) ∧ (c → a)b → (c → a)b ∧ (c → a)(b → c) → a

أي صيغة تكافئ (b ∧ c) → a منطقيًا؟ انقر عليها.

(b ∧ c) → a
  1. 1(b → a) ∧ (c → a)
  2. 2b → (c → a)
  3. 3b ∧ (c → a)
  4. 4(b → c) → a
أظهر التلميحات
  1. تتفق الصيغ المتكافئة في كل صف من جدول الصدق. صف واحد تختلف فيه يستبعد خيارًا.
  2. جرّب صفًا يجعل (b ∧ c) → a تساوي 0 وتحقق أي الخيارات تساوي 0 فيه أيضًا.
  3. التصدير: (a ∧ b) → c ≡ a → (b → c). كلتاهما 0 فقط عندما a = 1 و b = 1 و c = 0.
أظهر الإجابة والشرح

التكافؤ المنطقي: تتكافأ صيغتان (≡) عندما يكون لهما القيمة نفسها في كل صف من جدول الصدق. الحشو يساوي 1 في كل صف، والتناقض يساوي 0 في كل صف، والممكن ليس هذا ولا ذاك. قوانين مفيدة: دي مورغان، ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b و ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b؛ و a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (العكس النقيض)؛ و ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b؛ وقوانين التوزيع، a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

القانون

التصدير: (a ∧ b) → c ≡ a → (b → c). كلتاهما 0 فقط عندما a = 1 و b = 1 و c = 0.
(b ∧ c) → a ≡ b → (c → a)

تحقق بجدول الصدق

a = 1, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1
a = 1, b = 1, c = 0: 1 | 1 1 1 1
a = 1, b = 0, c = 1: 1 | 1 1 0 1
a = 1, b = 0, c = 0: 1 | 1 1 0 1
a = 0, b = 1, c = 1: 0 | 0 0 0 0
a = 0, b = 1, c = 0: 1 | 0 1 1 1
a = 0, b = 0, c = 1: 1 | 0 1 0 0
a = 0, b = 0, c = 0: 1 | 1 1 0 0

الإجابة

b → (c → a)

الأعمدة بعد الشريط هي الخيارات بالترتيب المعروض.

مثال 3صعبة
pp ∧ ¬r¬pr

المقدمات (q ∧ p) → r; q; ¬r معطاة. أي استنتاج يلزم عنها؟ انقر عليه.

(q ∧ p) → rq¬r
  1. 1p
  2. 2p ∧ ¬r
  3. 3¬p
  4. 4r
أظهر التلميحات
  1. يلزم الاستنتاج عندما يساوي 1 في كل صف تكون فيه كل المقدمات 1.
  2. جد الصفوف التي تجعل كل المقدمات 1، ثم اختبر كل خيار في تلك الصفوف.
  3. هذه قاعدة معيارية: قاعدة الرفع مع وصل.
أظهر الإجابة والشرح

الكمّمات والحجج: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) و ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). انقل النفي إلى الداخل، وبدّل كل كمّم يمرّ به، وانفِ الصيغة الداخلية بقوانين المنطق القضوي، مثل ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. تكون الحجة صحيحة عندما يكون الاستنتاج 1 في كل صف تكون فيه كل المقدمات 1. صف واحد بمقدمات صائبة واستنتاج خاطئ هو مثال مضاد ويبيّن أن الحجة غير صحيحة.

الصفوف التي كل مقدماتها صائبة

p = 0, q = 1, r = 0: p = 0, p ∧ ¬r = 0, ¬p = 1, r = 0

الخلاصة

¬p (قاعدة الرفع مع وصل)

الإجابة

¬p

أسئلة وأجوبة

ما هو المنطق القضوي والبراهين؟

تبني الروابط صيغًا أكبر من صيغ أصغر:

يفاجئ الاستلزام كثيرًا من الطلاب: عندما تكون p خاطئة، تكون p → q صائبة أيًّا كانت q. الوعد «إذا أمطرت آخذ مظلة» لا يُنقض إلا في يوم ممطر دون مظلة.

كيف تحل مسائل المنطق القضوي والبراهين خطوة بخطوة؟
  1. عُدّ المتغيرات المختلفة: لجدول الصدق 2ⁿ صفًا، ويبدأ بصف تكون فيه كلها 1.
  2. أعطِ كل صيغة جزئية عمودها الخاص واملأ الأعمدة من الداخل إلى الخارج.
  3. طبّق قاعدة كل رابط: → يساوي 0 فقط في الحالة 1 → 0، و ↔ يساوي 1 عندما يتفق الطرفان.
  4. للتكافؤات قارن العمودين الأخيرين صفًا بصف؛ وللحجة انظر فقط إلى الصفوف التي تكون فيها كل المقدمات 1.
  5. لنفي عبارة مكمَّمة، انقل ¬ إلى الداخل، وبدّل ∀ و ∃، وانفِ الصيغة الداخلية.
ما الأخطاء الشائعة في المنطق القضوي والبراهين؟
  • اعتبار p → q خاطئة عندما تكون p خاطئة.
  • عدّ متغير مكرّر مرتين عند إيجاد عدد الصفوف.
  • الخلط بين العكس النقيض ¬q → ¬p والعكس q → p.
  • نفي ∀x P(x) على أنه ∀x ¬P(x) بدل ∃x ¬P(x).
  • تطبيق دي مورغان دون تبديل ∧ و ∨.
ماذا تغطي تمارين المنطق القضوي والبراهين؟
  • سهلة: جداول الصدق
  • متوسطة: التكافؤات وطرائق البرهان
  • صعبة: الكمّمات والحجج

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

ثم تابع مع

المجموعات والعلاقات والدوال

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

أساسيات علوم الحاسوبالرياضيات المتقطعة

مواضيع أخرى في الرياضيات والإحصاء

النهاياتالمشتقاتالتحسين (القيم القصوى)التكاملاتالمتتاليات والمتسلسلاتالتفاضل والتكامل لعدة متغيراتالمعادلات التفاضليةالأعداد المركبةالطرائق العدديةالمصفوفات والمحدداتالمتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيالمجموعات والعلاقات والدوالنظرية البياناتنظرية الأعداد والحساب المودوليالاحتمالالإحصاء الوصفيالتوزيع الطبيعيفترات الثقةاختبارات الفرضيات وفترات الثقةالانحدار الخطي والارتباطاختبارات مربع كاي

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل المنطق القضوي والبراهين مع الإجابات
تدرّب على المنطق القضوي والبراهين مجانًاتدرّب على المنطق القضوي والبراهين الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.