الإحصاء الوصفي: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في الإحصاء الوصفي مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: المتوسط والوسيط, الانحراف المعياري, التوزيع الطبيعي.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
510152025303540

أوجد المتوسط x̄ للبيانات: 4, 14, 15, 20, 40, 37, 14, 33, 33.

n = 9
المسألة التالية →
تدرّب على الإحصاء الوصفي مجانًاتدرّب على الإحصاء الوصفي الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةالمتوسط والوسيط
  2. متوسطةالانحراف المعياري
  3. صعبةالتوزيع الطبيعي

الصيغ الأساسية

المتوسط
x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط
القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z
z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي
68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

تعلّم الإحصاء الوصفي من البداية

1المركز: المتوسط والوسيط

تلخّص الإحصاءات الوصفية قائمة أعداد، تسمى بيانات، ببضع قيم. والسؤال الأول هو: أين المركز؟

المتوسط هو المتوسط الحسابي المعتاد: اجمع كل القيم واقسمها على عددها n.

x̄ = Σx / n

يعني الرمز Σ «اجمعها كلها»، ويُقرأ x̄ «x بار». للأعداد 3 و5 و10 المتوسط هو 18/3 = 6.

الوسيط هو القيمة الوسطى بعد أن ترتّب البيانات من الأصغر إلى الأكبر.

  • n فردية: الوسيط هو القيمة الوسطى الوحيدة. للأعداد 3 و5 و10 هو 5.
  • n زوجية: الوسيط هو متوسط القيمتين الوسطيين.

قيمة متطرفة واحدة، أي قيمة شاذة، تسحب المتوسط نحوها لكنها بالكاد تحرك الوسيط. ولهذا السبب تُلخَّص الدخول غالبًا بالوسيط.

تحقّق ذاتي ما وسيط الأعداد 4، 40، 29، 22، 17، 20؟
  1. 20
  2. 21
  3. 22
  4. 25,5

الإجابة: 21. بعد الترتيب: 4، 17، 20، 22، 29، 40. القيمتان الوسطيان هما 20 و22، إذن الوسيط 21. أما 25,5 فتأتي من أخذ منتصف القائمة غير المرتبة؛ و22 هي المتوسط.

2التشتت: الانحراف المعياري

قد يكون لمجموعتين من البيانات المتوسط نفسه وتشتت مختلف جدًا. يقيس الانحراف المعياري s مدى بُعد القيم عادةً عن المتوسط.

لكل قيمة انحراف x − x̄. وتجمع الانحرافات إلى صفر، لذا تربّعها أولًا فتصبح كلها موجبة.

s = √( Σ(x − x̄)² / (n − 1) )

هذا هو الانحراف المعياري للعينة: تقسم على n − 1 لا على n. ويسمى مربع s التباين.

للأعداد 2 و4 و6: المتوسط 4، والانحرافات −2 و0 و2، ومجموع المربعات 8، و8/2 = 4، وs = √4 = 2.

تحقّق ذاتي ما الانحراف المعياري للعينة 2 و4 و6؟
  1. 0
  2. 1,633
  3. 2
  4. 4

الإجابة: 2. Σ(x − x̄)² = 8، مقسومة على n − 1 = 2 تعطي 4، و√4 = 2. القسمة على n = 3 تعطي 1,633؛ و4 تنسى الجذر التربيعي، و0 هي مجموع الانحرافات قبل التربيع.

3الدرجات المعيارية z والتوزيع الطبيعي

كثير من القياسات، مثل الأطوال أو درجات الامتحانات، تتبع منحنى جرسيًا: التوزيع الطبيعي. مركزه المتوسط μ وعرضه الانحراف المعياري σ.

تبيّن الدرجة المعيارية z كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط:

z = (x − μ) / σ

مع μ = 70 وσ = 10، تكون لدرجة 74 القيمة z = 4/10 = 0,4. وz السالبة تعني أن القيمة تقع تحت المتوسط.

قاعدة 68–95–99,7: نحو 68% من القيم تقع ضمن 1σ من المتوسط، و95% ضمن 2σ، و99,7% ضمن 3σ.

4045505560μ−1σ+1σ−2σ+2σ68%2,5%

مع μ = 50 وσ = 5، للقيمة 60 القيمة z = 2. نحو 95% تقع بين 40 و60، فنحو 2,5% تقع فوق 60. ويعطي جدول z القيمة الدقيقة 0,0228.

تحقّق ذاتي درجات الذكاء IQ طبيعية بـ μ = 100 وσ = 15. ما النسبة المئوية التقريبية للناس الذين تزيد درجاتهم على 115؟
  1. 16%
  2. 32%
  3. 34%
  4. 68%

الإجابة: 16%. 115 تعلو المتوسط بـ 1σ. 68% تقع ضمن 1σ، فـ 32% تقع خارجها، موزعة بالتساوي على الذيلين: 16% فوق. والقيمة 32% تنسى تقسيم الذيلين.

4الطريقة خطوة بخطوة

  1. اكتب البيانات في صف وعدّ n.
  2. المتوسط: اجمع كل شيء واقسم على n.
  3. الوسيط: رتّب أولًا، ثم خذ القيمة الوسطى، أو متوسط القيمتين الوسطيين.
  4. الانحراف المعياري: اطرح المتوسط من كل قيمة، ثم ربّع، واجمع، واقسم على n − 1، وخذ الجذر التربيعي.
  5. الدرجة المعيارية z: اطرح μ واقسم على σ. ثم استخدم قاعدة 68–95–99,7 أو جدول z للحصول على نسبة.

جدول بالأعمدة x وx − x̄ و(x − x̄)² يُبقي حساب الانحراف المعياري مرتبًا.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

أوجد المتوسط والوسيط والانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 4، 8، 6، 5، 7.

1

المتوسط

x̄ = (4 + 8 + 6 + 5 + 7) / 5 = 30 / 5 = 6
2

الوسيط

بعد الترتيب: 4، 5، 6، 7، 8. مع n = 5 تكون القيمة الوسطى هي الثالثة.

الوسيط = 6
3

الانحرافات ومربعاتها

اطرح المتوسط من كل قيمة: −2، 2، 0، −1، 1. تحقق: مجموعها 0.

2345678910x̄ = 6+2−2

ربّعها: 4، 4، 0، 1، 1.

Σ(x − x̄)² = 4 + 4 + 0 + 1 + 1 = 10
4

اقسم على n − 1

s² = 10 / (5 − 1) = 2,5
5

خذ الجذر التربيعي

s = √2,5 ≈ 1,58

تحقق: تبعد القيم 0 أو 1 أو 2 عن المتوسط، فمسافة نموذجية نحو 1,6 منطقية.

الإجابة

المتوسط x̄ = 6، والوسيط 6، وs ≈ 1,58.

6أخطاء شائعة

  • أخذ منتصف القائمة دون ترتيبها أولًا.
  • القسمة على n بدل n − 1 لحساب الانحراف المعياري للعينة.
  • نسيان الجذر التربيعي في النهاية، فيخرج التباين بدل s.
  • الخطأ في إشارة الدرجة المعيارية z: القيمة التي تحت المتوسط لها z سالبة.
  • نسيان القسمة على σ في الدرجة المعيارية.
تحقّق ذاتي متوسط درجات الامتحان 70 وانحرافها المعياري 10. ما الدرجة المعيارية لدرجة 60؟
  1. 1
  2. 6
  3. −10
  4. −1

الإجابة: −1. z = (60 − 70)/10 = −10/10 = −1. تقع الدرجة تحت المتوسط، فـ z سالبة. والقيمة −10 تنسى القسمة على σ.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: المتوسط أو الوسيط لقائمة قصيرة من البيانات.
  • متوسط: الانحراف المعياري للعينة لخمس أو ست قيم. اقسم على n − 1.
  • صعب: التوزيع الطبيعي. أوجد درجة معيارية z، أو نسبة القيم فوق قيمة معطاة أو تحتها.

فحص سريع: يقع المتوسط والوسيط بين أصغر قيمة وأكبرها، ولا يكون s سالبًا أبدًا.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
510152025303540

أوجد الوسيط M للبيانات: 39, 11, 3, 28, 18, 17, 40, 40, 5.

n = 9

المطلوب: M

أظهر التلميحات
  1. رتّب القيم من الأصغر إلى الأكبر.
  2. مع عدد فردي من القيم، الوسيط هو القيمة الوسطى.
  3. مرتبة: 3, 5, 11, 17, 18, 28, 39, 40, 40.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

رتّب

3, 5, 11, 17, 18, 28, 39, 40, 40

القيمة الوسطى

M = 18

الإجابة

M = 18
مثال 2متوسطة
152025303540455055

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 26, 57, 34, 22, 53, 13, 59.

n = 7

المطلوب: s

أظهر التلميحات
  1. أوجد المتوسط أولًا.
  2. ربّع كل انحراف عن المتوسط، واجمعها، واقسم على n − 1 وخذ الجذر التربيعي.
  3. x̄ = 37,71.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 264/7 = 37,71

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−11,71)² + 19,29² + (−3,714)² + (−15,71)² + 15,29² + (−24,71)² + 21,29² = 2067

الانحراف المعياري

s = √(2067/6) = 18,56

الإجابة

s = 18,56
مثال 3صعبة
z −2−1012

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 12. ما نسبة P القيم الأقل من 36؟

μ = 60σ = 12x = 36

المطلوب: P

أظهر التلميحات
  1. حوّل إلى درجة معيارية أولًا.
  2. z = (36 − 60)/12 = −2.
  3. اقرأ Φ(z) من جدول التوزيع الطبيعي المعياري.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −2

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275

الإجابة

P = 0,02275

أسئلة وأجوبة

ما هو الإحصاء الوصفي؟

تلخّص الإحصاءات الوصفية قائمة أعداد، تسمى بيانات، ببضع قيم. والسؤال الأول هو: أين المركز؟

يعني الرمز Σ «اجمعها كلها»، ويُقرأ x̄ «x بار». للأعداد 3 و5 و10 المتوسط هو 18/3 = 6.

كيف تحل مسائل الإحصاء الوصفي خطوة بخطوة؟

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

ماذا تغطي تمارين الإحصاء الوصفي؟
  • سهلة: المتوسط والوسيط
  • متوسطة: الانحراف المعياري
  • صعبة: التوزيع الطبيعي

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

ثم تابع مع

التوزيع الطبيعيالانحدار الخطي والارتباط

الآلات الحاسبة

حاسبة المتوسط والوسيط والانحراف المعياريحاسبة الأرقام المعنوية (العدّ والتقريب والحساب)حاسبة الخطأ المئوي (وفرق النسبة المئوية)

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

مناهج البحث والإحصاء في علم النفسمبادئ الإحصاءالرياضيات الهندسيةالممارسة المبنية على الأدلةمسائل تدريب AP Statisticsالتدريب على الأساليب الكمية والدخل الثابت في CFA Level I

مواضيع أخرى في الرياضيات والإحصاء

النهاياتالمشتقاتالتحسين (القيم القصوى)التكاملاتالمتتاليات والمتسلسلاتالتفاضل والتكامل لعدة متغيراتالمعادلات التفاضليةالأعداد المركبةالطرائق العدديةالمصفوفات والمحدداتالمتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيالمنطق القضوي والبراهينالمجموعات والعلاقات والدوالنظرية البياناتنظرية الأعداد والحساب المودوليالاحتمالالتوزيع الطبيعيفترات الثقةاختبارات الفرضيات وفترات الثقةالانحدار الخطي والارتباطاختبارات مربع كاي

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل الإحصاء الوصفي مع الإجابات
تدرّب على الإحصاء الوصفي مجانًاتدرّب على الإحصاء الوصفي الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.